1.1.1　基本定理及其证明

极限是高等数学（或数学分析）中非常重要的内容，而极限的类型又比较多，因此，有些极限求起来很困难，甚至所求结果不知对错，是初学者的难点.如求形如的极限，经常要用对数恒等式变形、等价无穷小代换，再用已知的结果，有时使用L’Hospital法则才能得到极限结果，非常麻烦，为了使求极限公式化，于是给出如下定理.

定理1.1.1 设当x→x0时f（x）→0，则

证 因

而

故

定理1.1.2 设当x→x0时f（x）→0，则

证 因

而

而

ln（1＋x）～x（x→0），

故此，当f（x）→0时，

所以，

故

定理1.1.3 设当x→x0时f（x）→0，则

证 因

而

所以，

为了使用公式叙述方便，因此，把极限依次分别叫作“第一类极限”、“第二类极限”、“第三类极限”.