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建筑力学
1.7.3.3 3.3 多结点力矩分配法——渐进运算
3.3 多结点力矩分配法——渐进运算

（1）锁住。加入刚臂，锁住刚结点，将体系转化成一组单跨超静定梁，计算各杆固端弯矩M，由结点力矩平衡方程求解刚臂内的约束力矩，如图6－70（a）所示。图6－70（b）与原结构的差别是：在受力上，结点B、C上多了不平衡力矩MB、MC；在变形上，结点B、C不能转动。

（2）放松结点B。为了取消结点B的刚臂，放松结点B（结点C仍锁住），在结点B加上－MB，如图6－70（c）所示，此时ABC部分只有一个角位移，并且受结点集中力偶作用，可按基本运算进行力矩分配和传递。结点B处于暂时的平衡状态。此时C点的不平衡力矩为MC＋M传。

图6－70

（3）放松结点C。为了取消结点C的刚臂，放松结点C，在结点C加上－（MC＋M传），如图6－70（d）所示，为了使BCD部分只有一个角位移，将结点B再锁住，按基本运算进行力矩分配和传递。结点C处于暂时的平衡状态。

（4）传递力矩。传递力矩的出现，打破了B点的平衡，B点又有了新的约束力矩M传，重复（2）、（3）两个步骤，经多次循环后各结点的约束力矩都趋于零，恢复到了原结构的受力状态和变形状态。一般2～3个循环就可获得足够的精度。

（5）叠加。最后杆端弯矩M＝∑M分配＋∑M传递＋MF。

【注意】

①多结点结构的力矩分配法得到的是渐近解。

②首先从结点不平衡力矩较大的结点开始，以加速收敛。

③不能同时放松相邻的结点（因为两相邻结点同时放松时，它们之间的杆的转动刚度和传递系数不能确定）；可以同时放松所有不相邻的结点，这样可以加速收敛。

④每次要将结点不平衡力矩变号分配。

⑤结点i的不平衡力矩Mi总等于附加刚臂上的约束力矩，可由结点平衡方程来求解。

在第一轮第一个分配结点：Mi＝∑MF－M（结点力偶荷载以顺时针为正）

在第一轮其他分配结点：Mi＝∑MF＋M传－M（结点力偶荷载以顺时针为正）

以后各轮的各分配结点：Mi＝M传

【例6－22】 试用力矩分配法计算图6－71（a）所示的刚架，并作M图。

图6－71

【解】 （1）计算分配系数。

杆AB和BC的线刚度均为

EI i＝l

结点B处各杆端转动刚度为

SBA＝4i，SBC＝3i

分配系数为

μBA＝4i4i＋3i＝47，μBA＝3i4i＋3i＝37，∑μB＝1

（2）计算固端弯矩。

在结点B加上附加刚臂（见图6－71（b））由荷载产生的固端弯矩为

MFAB＝－Pl100×6 8＝－MFBA＝Pl kN·m＝－75kN·m 8 100×6 8＝MFBC＝－ql 2 kN·m＝75kN·m 8 10×62 8＝－ kN·m＝－45kN·m 8

由结点B平衡求得附加刚臂上的反力矩，即结点B的不平衡力矩为

MB＝MBA＋MBC＝（75－45）kN·m＝30kN·m

（3）分配、传递弯矩。

原结构结点B处并没有附加刚臂，也不存在不平衡力矩。为了与原结构相同，抵消约束力矩MB的作用，在结点B处施加一个与MB大小相等转向相反的外力矩，即－MB。

分配弯矩为

MBA＝47×（－MB）＝－120kN·m 7 MBC＝37×（－MB）＝－90kN·m 7

传递弯矩为

（MAB＝12MBA＝－12×1207）kN·m＝－607kN·m

MCB＝0

（4）计算各杆端最后弯矩，画出结构弯矩图，如图6－72所示。

图6－72

上述计算过程可用表6－3来表示。

表6－3 例6－22的计算过程

【例6－23】 用力矩分配法作图6－73（a）所示结构的弯矩图。

图6－73

【解】 转动刚度为

SBA＝2EIl， SBC＝3×EIl

分配系数为

SBA μBA＝SBA＋SBC＝0.4， μBC＝SBC＝0.6 SBA＋SBC

固端弯矩为

MFAB＝1 6 ql 2， MFBA＝1 3 ql 2， MFCB＝－ql 2， MFBC＝－1 2 ql 2

不平衡力矩为

MB＝MFBA＋MFBC＝－1 6 ql 2

被分配力矩为

M＝－MB＝1 6 ql 2

分配弯矩为

l 2， Mq15′BA＝μABM＝1 ′BC＝μBCM＝110 ql 2M

传递弯矩为

M′AB＝－M′BA＝－1 15 ql 2

杆端弯矩为

将同一端弯矩进行叠加

由区段叠加法作最终弯矩图，如图6－73（c）所示。

上述计算过程可用表6－4来表示。

表6－4 例6－23的计算过程

复习题

1.试确定图6－74所示各结构的超静定次数。

图6－74

2.试用力法计算图6－75所示的超静定梁，并绘出M图、FQ图。

图6－75

3.试用力法计算图6－76所示结构，并绘其内力图。

图6－76

4.试用力法计算图6－77所示结构，并绘出M图。

图6－77

5.试用力法求解图6－78所示超静定桁架，并计算1、2杆的内力。设各杆的EA均相同。

图6－78

6.试用力法计算图6－79所示组合结构，求出链杆轴力并绘出M图。

图6－79

7.试利用对称性计算图6－80所示结构，并绘出M图。

图6－80

8.试绘出图6－81所示结构因支座移动产生的弯矩图。设各杆EI相同。

图6－81

9.图6－82所示平面链杆系各杆l及EA均相同，杆AB的制作长度短了Δ，现将其拉伸（在弹性范围内）拼装就位，试求该杆轴力和长度。

10.刚架各杆正交于结点，荷载垂直于结构平面，结构如图6－83所示，各杆为相同圆形截面，G＝0.4E，试作弯矩图和扭矩图。

图6－82

图6－83

11.试判断图6－84所示超静定结构的弯矩图形是否正确，并说明理由。

图6－84

12.试求图6－85所示等截面半圆形两铰拱结构的支座水平推力，并画出M图。设EI＝常数，并只考虑弯曲变形对位移的影响。

图6－85

13.位移法基本未知量选取的原则是什么？为何将这些基本未知位移称为关键位移？

14.试说出位移法方程的物理意义，并说明使用位移法时是如何运用变形协调条件的。

15.若考虑刚架杆件的轴向变形，位移法基本未知量的数目有无变化？如何变化？

16.试确定图6－86所示结构的位移法基本未知量数目，并绘出基本结构。

图6－86

17.试用位移法分析图6－87所示结构，并绘出其内力图。

图6－87

18.试用位移法分析图6－88所示结构，并绘出M图。

19.试分析图6－89所示结构内力的特点，并说明原因。若考虑杆件的轴向变形，结构内力有何变化？

图6－88

图6－89

20.试分析图6－90所示具有牵连位移关系的结构，并绘出M图。

图6－90

续图6－90

21.试不经计算迅速画出图6－91所示结构的弯矩图形。

图6－91

22.试分析图6－92所示有剪力静定杆的刚架，并绘出M图。

图6－92

23.试利用对称性分析图6－93所示刚架，并绘出M图。

图6－93

24.试计算图6－94所示结构在支座位移作用下的弯矩，并绘出M图。

图6－94

25.试用混合法作图6－95所示刚架的M图。

图6－95

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