2.6 对称性的利用

由力法计算可知，对称结构在正对称荷载作用下，其弯矩图、轴力图及变形图都是正对称图形，剪力为反对称图形；在反对称荷载作用下，弯矩图、轴力图及变形图都是反对称图形，而剪力图则为正对称图形。这些规律在位移法中仍将得到应用。

2.6.1 奇数跨对称结构

用位移法计算图6－63（a）所示刚架，在正对称荷载作用下，如图6－63（b）所示，变形为正对称，φC＝－φD，结点C、D的线位移Δ＝0，因此基本未知量只有一个，Z1＝φC＝－φD。在反对称荷载作用下，如图6－63（c）所示，由于变形为反对称，故φC＝φD，C、D两结点的线位移Δ≠0，所以基本未知数为两个，Z1＝φC＝φD，Z2＝Δ。若取半个结构作为计算简图，如图6－63（d）、（e）所示，分别与图6－63（b）、（c）比较，基本未知量的数目并没有改变，但由于杆件数目的减少而使计算工作量也得到相应的减少。

2.6.2 偶数跨对称结构

如图6－64（a）所示的刚架，在正对称荷载作用下，如图6－64（b）所示，因变形为正对称，则φD＝－φF，φE＝0，结点线位移Δ＝0，即基本未知量只有一个，Z1＝φD＝－φF。在反对称荷载作用下，如图6－64（c）所示，因变形为反对称，则φD＝φF，φE≠0，Δ≠0，基本未知量为Z1＝φD＝－φF，Z2＝φE，Z3＝Δ，若取部分结构进行计算，计算简图如图6－64（d）、（e）所示。

【例6－20】 用位移法求作图6－64（a）所示连续梁的M图。

【解】 本题取梁的一半进行计算，计算简图如图6－64（b）所示。

（1）nφ＝1、nl＝0。

（2）确定基本结构，如图6－64（c）所示。设i＝EI／12，则

（3）列典型方程。

r11Z1＋R1P＝0

（4）绘1图、MP图，如图6－64（d）、（e）所示，并计算r11、R1P。

r11＝9i， R1P＝－15

（5）解方程求Z1。

9i Z1－15＝0

Z1＝5／3i （顺时针转）

（6）绘M图。首先由M＝1Z1＋MP绘出AE部分的M图，再根据对称性绘出ED部分的M图，即得如图6－64（a）所示连续梁的弯矩图，如图6－64（f）所示。

【例6－21】 用位移法计算如图6－65（a）所示的刚架，并作M图。EI＝常数。

【解】 由于该结构有两个对称轴，故可取1／4结构作为计算简图，如图6－65（b）所示。

（1）nφ＝1、nl＝0。

（2）确定基本结构，如图6－65（c）所示。设

（3）列典型方程。

r11Z1＋R1P＝0

（4）绘M1图、MP图，如图6－66（d）、（e）所示，并计算r11、R1P。

r11＝2i，R1P＝Fa／8

（5）解方程求Z1。

2i Z1＋Fa／8＝0

Z1＝－Fa／16i（逆时针转）

（6）由M＝1Z1＋MP，并根据对称性绘出图6－66（a）所示刚架的M图，如图6－66（f）所示。