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1.7.2.4 2.4 位移法典型方程及计算步骤

2.4 位移法典型方程及计算步骤

以图6－57（a）所示的刚架为例，说明位移法的计算思路。设原结构C结点的角位移为Z1，C、D结点的线位移为Z2，基本结构如图6－57（b）所示。基本结构的变形与原结构的变形是相同的，要使它们受力也相同，则基本结构在荷载与Z1、Z2的共同作用下，附加联系（含附加刚臂及附加链杆）处的反力矩及反力应为零（因为原结构不存在这些约束），假设附加刚臂处的反力矩为R1，附加链杆处的反力为R2，则

图6－57

设由Z1、Z2及荷载引起的附加刚臂上的反力矩为R11、R12、R1P，引起的附加链杆上的反力为R21、R22、R2P，如图6－57（c）、（d）、（e）所示，根据叠加原理式（6－28）可写为

式（6－29）中R的两个脚标含义是：第一个表示反力或反力矩所属附加联系；第二个表示引起反力或反力矩的原因。若设r11、r12表示时引起的附加刚臂反力矩，r21、r22表示时引起的附加链杆反力，则（6－29）式又可写为

■r11Z1＋r12Z2＋R1P＝0■■（6－30） r21Z1＋r22Z2＋R2P＝0

当结构有n个独立的结点位移时，基本结构就有n个附加联系，根据每个附加联系的反力或反力矩均应为零，则可写出n个方程

■■r11Z1＋r12Z2＋r13Z3＋…＋r1nZn＋R1P＝0 r21Z1＋r22Z2＋r23Z3＋…＋r2nZn＋R2P＝0 r31Z1＋r32Z2＋r33Z3＋…＋r3nZn＋R3P＝0（6－31）■rn1Z1＋rn2Z2＋rn3Z3＋…＋rnnZn＋Rn P＝0

式（6－31）称为位移法的典型方程。其中主对角线上的系数rii称为主系数（主反力或主反力矩），因rii的方向始终与的方向一致，故恒为正值且不会为零。位于主对角线两侧的系数称为副系数（副反力或副反力矩），其值可能为正、为负或为零。根据反力互等定理，rij＝rji。Ri P称为自由项，它是由荷载或其他外因引起的，其值同样可能为正、为负或为零。

位移法典型方程的物理意义是：基本结构在荷载等外因和各结点位移Z1，Z2，Z3，…，Zn共同影响下，每个附加联系的反力或反力矩均为零。因此，典型方程实质上就是力的平衡方程。由于每个系数都是单位位移引起的附加联系上的反力或反力矩，它与结构的刚度成正比，因此这些系数也称为刚度系数，上述典型方程也称为结构的刚度方程，位移法又称为刚度法。

典型方程中的系数及自由项计算仍以图6－57（a）为例，首先可利用表2－1绘出基本结构在＝1、＝1及荷载单独作用下的图、图、MP图，如图6－58（a）、（b）、（c）所示，然后取图6－58（d）～（i）所示分离体，利用平衡条件求出系数及自由项。为使计算简化，各杆线刚度仍取相对值进行计算，如本例设i＝，则i AC＝i BC＝i，i CD＝2i。r11、r12、R1P表示附加刚臂上的反力矩，可分别由平衡方程∑MC＝0求出