2.2 等截面直杆的转角位移方程

2.2.1 杆端力、杆端位移的有关规定

为了计算方便，对杆端力及位移的正、负号作一些新规定：杆端弯矩以顺时针方向为正，反之为负；杆端剪力的规定同以前规定，如图6－51（a）所示（最后内力图的绘制仍按项目三的规定不变），支座处的反力应与杆端力的方向相反。杆端转角位移φA、φB也均以顺时针方向为正，两端相对线位移ΔAB则以使整个杆件顺时针转动为正，根据位移连续条件，支座（或结点）处的位移方向应与杆端力方向一样，如图6－51（b）所示。由荷载或温度变化等外因引起的杆端弯矩及杆端剪力分别称为固端弯矩MF及固端剪力FSF。

2.2.2 公式推导

（1）两端固定梁

用力法计算图6－52（a）所示单跨梁，可取图6－52（b）为基本结构，由于X3对梁的弯矩无影响，故在计算时可不予考虑，则力法方程为

经力法计算，多余未知力应为

式（6－21）中的MFAB、MFBA为荷载F引起的固端弯矩。其中X1＝MAB、X2＝MBA，并设i＝（称为线刚度），则式（6－21）又可写为

式（6－22）称为AB梁的转角位移方程。

根据平衡条件又可得AB杆的杆端剪力为

式（6－23）中的FFSAB、FFSBA为荷载F引起的杆端剪力，即上面提到的固端剪力。

（2）一端固定一端铰支梁

在图6－53（a）中，AB梁除受到荷载作用外，A支座还有转角φA，A、B两端相对线位移为ΔAB，仍用力法计算，基本结构如图6－53（b）所示。

由于X1＝MAB，i＝，所以有

同样根据平衡条件可得

式（6－24）称为图6－53（a）所示单跨梁的转角位移方程。式（6－24）还可由式（6－22）推出，由MBA＝0可得（荷载项单独考虑）

将式（6－26）代入式（6－22）中的第一式可得

考虑荷载时有

式（6－27）中的MFAB为一端固定一端铰支梁在荷载F作用下的固端弯矩，它即为式（6－24）中的第一式。由以上分析可以看出，图6－53（a）所示单跨梁的φB不是一个独立的未知量，而是与φA、ΔAB有关的函数，这对位移法中确定基本未知量有直接关系，应引以注意。

当杆端弯矩求出后，单跨梁的内力图就不难画出。为计算方便，常把各种单跨超静定梁在支座位移（或杆端位移）及荷载作用下的杆端弯矩及杆端剪力制成表格，以方便读者应用。