1.5 超静定结构的位移计算和最后内力图的校核

1.5.1 超静定结构的位移计算

在静定结构的位移计算中，根据虚功原理推导出计算位移的一般公式为

对于超静定结构，只要求出多余未知力，将多余未知力也当成荷载同时加在基本结构上，则该静定基本结构在已知荷载、温度变化、支座移动以及各多余力共同作用下的位移也就是原超静定结构的位移。这样，计算超定结构的位移问题通过基本结构即转化成计算静定结构的位移问题，而式（6－16）仍可应用。此时，和即是基本结构由于虚拟状态的单位力P＝1的作用所引起的内力和支座反力；MK、FSK和FNP则是由原荷载和全部多余力产生的基本结构的内力；Δt、Ci仍代表结构的温度变化和支座移动。

由于超静定结构的内力并不因所取基本结构的不同而有所改变，因此可以将其内力看成是按任一基本结构而求得的。这样，在计算超静定结构的位移时，也就可以将所设单位力P＝1施加于任一基本结构作为虚力状态。为了使计算简化，我们应当选取单位内力图比较简单的基本结构。

下面举例说明超静定结构的位移计算。

【例6－14】 试求如图6－44（a）所示刚架D点的水平位移ΔDH和横梁中点F的竖向移ΔFV。设EI为常数。

【解】 此刚架同例6－4。在计算内力时，选取去掉支座B处的多余联系而得到的悬臂刚架作为基本结构，最后弯矩图如图6－44（b）所示。

求D点的水平位移时，可选取如图6－44（c）所示的基本结构作为虚拟状态。在D点加水平单位力P＝1，得虚力状态的图（见图6－44（c））。应用图乘法求得

计算结果为正值，表示位移方向与所设单位力的方向一致，即向右。

求横梁中点F的竖向位移时，为了使计算简化，可选取中图6－44（d）所示的基本结构作为虚拟状态。在F点加竖向单位力P＝1，得虚拟状态的M1图。

应用图乘法求得

所得结果为负值，表示F点的位移方向与所设单位力的方向相反，即向上。

若采用图6－44（e）所示的基本结构作为虚拟状态，并作出相应的图。

此时，应用图乘法计算，则

计算结果与上述计算结果完全相同。显然，选取如图6－44（d）所示基本结构作为虚拟状态时，计算比较简单。

【例6－15】 试计算如图6－45（a）所示两端固定的单跨超静定梁中点C的竖向位移ΔCV。设EI为常数。

【解】 梁的弯矩图如图6－45（b）所示。我们用两种基本结构计算并比较其结果。

（1）取图6－45（c）所示基本结构，用图乘法计算得

（2）取图6－45（d）所示基本结构，用图乘法计算得

可见其结果是相同的。

1.5.2 超静定结构最后内力图的校核

内力图是结构设计的依据，因此，在求得内力图后，应该进行校核，以保证它的正确性。正确的内力图必须同时满足平衡条件和位移条件，所以校核工作就是验算内力图是否满足这两个条件。现通过例题说明最后内力图的校核方法。

【例6－16】 试校核如图6－46（a）所示刚架的内力图。

【解】 （1）校核平衡条件。

首先作内力图，如图6－46（b）、（c）、（d）所示，取结点B为研究对象（分离体），如图6－46（f）所示，内力图按实际方向画出各内力，显然能满足结点平衡条件

（2）校核位移条件。

校核C支座的竖向位移，取一种基本结构作M1图，如图6－46（e）所示，用图乘法计算得

这个结果说明满足位移条件。

下面以图6－47（a）所示刚架为例，讨论所谓“闭合刚架”的位移校核。

刚架上的B、C结点是满足平衡条件的。下面根据刚架固定端支座E转角为零的条件，校核弯矩图。刚架基本结构的图如图6－47（b）所示，E截面的转角为

式中，＝1。若满足截面的位移条件，必有

上式积分表示DBCE部分M／EI图的面积为零（正、负面积抵消）。由此可得出结论：沿刚架任一无铰的封闭图形，其M／EI图的面积为零。

如图6－47（a）所示刚架，DBCE为无铰封闭形，其M／EI图的面积为

可见，如图6－47（a）所示的M图是错误的。

【例6－17】 试校核图6－48所示刚架的M图。

【解】 刚结点B、C满足平衡条件，下面按位移条件校核。EBCF为无铰封闭形，则有

满足位移条件。