1.4 温度变化和支座移动时超静定结构的计算

超静定结构由于多余联系的存在，在温度改变、支座移动时，通常将使结构产生内力，这是超静定结构的特性之一。

用力法计算温度变化和支座移动的超静定结构时，根据前述的力法原理，也需要用位移条件来建立力法典型方程，确定多余未知力。位移条件是指基本结构在外在因素和多余未知力的共同作用下，在去掉多余联系处的位移应与原结构的实际位移相同。显然，这对于荷载以外的其他因素，如温度变化、支座移动等也是适用的。下面分别介绍超静定结构温度变化和支座移动时的内力计算方法。

1.4.1 温度变化时超静定结构的内力计算

如图6－39（a）所示为三次超静定结构，设各杆外侧温度升高t1，内侧温度升高t2，现在用力法计算其内力。

去掉支座C处的3个多余联系，代以多余力X1、X2和X3，得到基本结构如图6－39（b）所示。设基本结构的C点，由于温度改变，沿X1、X2、和X3方向所产生的位移分别为Δ1t、Δ2t和Δ3t，它们可按下式计算

若每一杆件沿其全长温度改变相同，且截面尺寸不变，则上式可改写为

根据基本结构在多余力X1、X2和X3，以及温度改变的共同作用下，C点位移应与原结构相同的条件，可以列出如下的力法方程

式中，各系数的计算仍与以前所述相同，自由项则按式（6－12）或式（6－13）计算。

由于基本结构是静定的，温度的改变并不使其产生内力。因此，由式（6－14）解出多余力X1、X2和X3后，按下式计算原结构的弯矩

再根据平衡条件即可求其剪力和轴力。

【例6－12】 试计算如图6－40（a）所示刚架的内力。设刚架各杆内侧温度升高10℃，外侧温度无变化；各杆线膨胀系数为α；EI和截面高度h均为常数。

【解】 此刚架为一次超静定结构，取基本结构如图6－40（b）所示。力法方程为

δ11X1＋Δ1t＝0

绘出FN1图和M1图，分别如图6－40（c）、（d）所示。求得系数和自由项如下

代入力法方程，求得

根据M＝X1M1即可作出最后弯矩图，如图6－40（e）所示。得出M图后，则不难据此求出相应的FS图和FN图，在此不再赘述。

由以上计算结果可以看出，超静定结构由于温度变化引起的内力与各弯曲刚度EI的绝对值有关，这与荷载作用下的情况是有所不同的。

1.4.2 支座移动时超静定结构的内力计算

超静定结构在支座移动情况下的内力计算，原则上与前述温度变化的情况并无不同，唯一的区别在于力法方程中自由项的计算。

如图6－41（a）所示为三次超静定刚架，设其支座A向右移动C1，向下移动C2，并按顺时针方向转动了角度θ。计算时，取基本结构如图6－41（b）或图6－41（c）所示，则力法方程为

对于如图6－41（c）所示的基本结构，方程中各系数的计算与前述荷载作用的情况完全相同。自由项Δi C（i＝1，2，3）代表基本结构由于支座A发生移动时在B端沿多余力Xi方向所产生的位移。按计算公式，得

Δi C＝－∑iCi

分别令Xi＝1作用于基本结构，求出反力Ri如图6－41（d）、（e）、（f）所示，代入上式，得

Δ1C＝－（C1＋hθ）

Δ2C＝－（C2＋lθ）

Δ3C＝－（－θ）＝θ

将系数和自由项代入力法方程，可解得X1、X2和X3。

如果取如图6－42所示的基本结构，则力法方程为

其中

也就是说，此时的基本结构没有支座移动。

【例6－13】 如图6－43（a）所示为单跨超静定梁，设固定支座A处的转角为φ，试求梁的支座反力和内力。

【解】 取基本结构如图6－43（b）所示的悬臂梁。根据原结构支座B处竖向位移等于零的条件，列出力法方程

δ11X1＋Δ1C＝0

绘出M1图，如图6－43（c）所示（相应的反力R1也标在图中），由此可求得

代入力法方程可求得

所得结果为正值，表明多余力的作用方向与图6－43（b）中所设的方向相同。

根据M＝X1M1作出最后弯矩图，如图6－43（d）所示。梁的支座反力分别为

MA＝φ

如果我们选取基本结构如图6－43（e）所示的简支梁，则相应的力法方程可写成

δ11X1＋Δ1C＝φ

绘出M1图并求出相应的反力R（见图6－43（f））。由此可求得

代入上述力法方程即得

故

据此作出的M图仍如图6－43（d）所示。由此可以看出，选取的基本结构不同，相应的力法方程形式也不同，但最后内力图是相同的。