1.3 对称性的利用

对于超静定结构来说，对称结构是指几何形状和刚度分布都对称的结构。而对于静定结构来说，不论刚度分布是否对称，只要几何形状对称就是对称结构。

我们用力法分析超静定结构时，力法方程是多余未知力的线性代数方程组，需要计算方程的系数和解联立方程。其结构的超静定次数越高，方程数量就越多，计算工作量就越大。而主要工作量的大小取决于典型方程，并且需要计算大量的系数和自由项并求解该线性方程组。我们利用对称性来计算超静定结构，其目的就是要简化计算过程。要简化计算必须从简化典型方程着手。在典型方程中若能使一些系数和自由项等于零，则计算可得到一定程度的简化。通过对典型方程中系数的物理意义的分析我们知道，主系数是恒为正数，因此只能从副系数、自由项和基本未知量这三个方面考虑。力法简化的原则是：使尽可能多的副系数和自由项等于零。这样，不仅简化了系数的计算工作，也简化了联立方程的求解工作。为达到这一目的，本节讨论利用结构的对称、荷载的对称和反对称，来简化计算。

实际工程中很多结构是对称的，利用它的对称性可简化计算过程。

1.3.1 选取对称的基本结构

对称结构如图6－31（a）所示，它有一个对称轴。对称包含以下两个方面的含义。

（1）结构的轴线形状对称，几何形状和支承情况对称。

（2）各杆的刚度（EI和EA等）对称。

取对称的基本结构如图6－31（b）所示，此时，多余未知力有三对，即一对弯矩X1和一对轴力X2是正对称的，还有一对剪力X3是反对称的。所谓正对称是指绕对称轴折叠后其两个力的大小、方向和作用线均重合；所谓反对称是指绕对称轴折叠后两个力的大小、作用点相同，而方向相反，作用线重合。

绘出基本结构在各多余未知力单位力作用下的弯矩图，如图6－32所示。可以看出，1图和图是正对称的，而图是反对称的。由于正对称和反对称的图形图乘时恰好正负抵消，使结果为零，所以可得典型方程中的副系数δ13＝δ31＝0，δ23＝δ32＝0。于是，典型方程便可简化为

由式（6－11）可知，典型方程已分为两组：一组只含正对称的多余未知力X1和X2；另一组只含反对称的多余未知力X3。

1.3.2 选择对称或反对称的荷载（荷载分组）

如果作用在对称结构上的荷载也是正对称的（见图6－33（a）），则MP图也是正对称的（见图6－33（b）），于是有Δ3P＝0。由典型方程（6－11）的第3式可知，反对称的多余未知力X3＝0，因此只需计算正对称的多余未知力X1和X2。最后的弯矩图为，它也将是正对称的，其形状如图6－33（c）所示。由此可推知：对称结构在正对称荷载作用下，结构上所有的反力、内力及位移（见图6－33（a）中的虚线）都是正对称的。同时必须注意，此时剪力图是反对称的，这是由于剪力的正、负号规定所致，而剪力的实际方向则是正对称的。

如果作用在结构上的荷载是反对称的，如图6－34（a）所示，作出MP图如图6－34（b）所示，则同理可证，此时正对称的多余未知力X1＝X2＝0，只剩下反对称的多余未知力X3。最后弯矩图为，它也是反对称的，如图6－34（c）所示，且此时结构上所有反力、内力和位移都是反对称的。但必须注意，剪力图是正对称的，剪力的实际方向则是反对称的。

通过前面的分析可以得出如下结论。

（1）对称结构在正对称荷载作用下，其内力和位移都是正对称的。

（2）对称结构在反对称荷载作用下，其内力和位移都是反对称的。

也就是说，对称结构在正对称荷载作用下，反对称的多余未知力必等于零；在反对称荷载作用下，正对称的多余未知力必等于零，只需计算反对称的多余未知力。

【例6－10】 求作如图6－35（a）所示的刚架在水平力P作用下的弯矩图。

【解】 荷载P可分解为正对称荷载（见图6－35（b））和反对称荷载（见图6－35（c））。

在正对称荷载作用下（见图6－35（b）），可以得出只有横梁承受压力P／2，而其他杆无内力作用的结论。这是因为在计算刚架时通常忽略轴力对变形的影响，也就是忽略横梁的压缩变形。在这个条件下，上述内力状态不仅满足了平衡条件，也同时满足了变形条件，所以它就是真正的内力状态。因此，为了求如图6－35（a）所示刚架的弯矩图，只需求作如图6－35（c）所示中刚架在反对称荷载作用下的弯矩图即可。

在反对称荷载作用下，基本体系如图6－36（a）所示。切口截面的弯矩、轴力都是对称的未知力，应为零，只有反对称未知力X1存在。基本结构在荷载和未知力方向的单位力作用下的弯矩图，如图6－36（b）、（c）所示。

由此得

代入力法方程，并设得

刚架的弯矩图如图6－37（a）所示。

结合上例讨论如下：弯矩图随横梁与立柱刚度比值k的变化而改变。

（1）当横梁刚度比立柱刚度小很多时，即k很小时，弯矩图如图6－37（b）所示，此时柱顶弯矩为零。

（2）当横梁刚度比立柱刚度大很多时，即k很大时，弯矩图如图6－37（d）所示，此时柱的弯矩零点趋于柱的中点。

（3）一般情况下，柱的弯矩图有零点，此弯矩零点在柱上半部范围内变动，当k＝3时零点位置与柱中点已很接近（见图6－37（c））。

【例6－11】 如图6－38（a）所示为一对称结构，试讨论怎样选取对称的基本体系进行简化。在正对称荷载和反对称荷载分别作用下，讨论怎样选取半结构计算。

【解】 （1）选取对称的基本体系。

如图6－38（a）所示结构，是三次超静定的对称结构。在对称轴上截断中间铰E和链杆CD，在铰E上加上对称的水平未知力X1和反对称的竖向未知力X2，在CD切口F处加一对称的水平未知力X3，得到一对称基本体系和相应的基本未知量，如图6－38（b）所示。

也可以将固定支座A、B改成铰支座，再截断链杆CD，在铰支座A、B上作用有对称的未知力偶X1和反对称的未知力偶X2，在链杆CD的切口上，加上一对称的未知水平力X3，得到另一个对称的基本体系和相应的基本未知量，如图6－38（c）所示。

（2）选取半边结构。

①在对称荷载作用下，根据对称结构的内力、变形对称的性质，分析对称轴上E点和F点的变形和内力特点，如图6－38（a）所示。刚架在对称轴上铰结点E可以有竖向位移和转角，水平位移为零；相应的内力情形为E点的竖向力、弯矩为零，水平力XE（X1）不等于零。链杆CD在对称轴上的F点，可以有竖向位移，水平位移和为零的转角；相应的内力情形为F点的竖向力为零，水平力XF（X3）和弯矩MF（X2）不等于零。注意，此时的弯矩X2是静定的量，如链杆CD上无横向荷载作用，则弯矩X2为零。因此，根据上述变形、内力特点，在对称轴上切开后，E点保留铰结点，加一水平支杆；在F点为两个平行水平支杆，得到对称荷载作用下的半边结构，如图6－38（d）所示。

②在反对称荷载作用下，根据对称结构的内力、变形反对称的性质，如图6－38（a）所示，刚架在对称轴上E点和F点可以有水平位移和转角，竖向位移为零；相应的内力情形为E点和F点的水平力、弯矩为零，竖向力X1、X2不等于零。因此，在对称轴上切开后，E点分别保留铰结点，加一竖直支杆，得到在反对称荷载作用下的半边结构，如图6－38（e）所示。注意，此时的X2是静定的量，如链杆CD上无横向荷载作用时，在F点的竖向力X2为零。