1.1 超静定结构的概念和超静定次数的确定

1.1.1 超静定结构的概念

前面讨论的是静定结构，从本章开始我们讨论超静定结构的受力情况。关于结构的静定性可以从两个方面来定义：从几何组成的角度来定义，静定结构就是没有多余联系的几何不变体系；从受力的角度来定义，静定结构就是只用静力平衡方程就能求出全部反力和内力的结构。

现在，我们要讨论的是超静定结构。它同样可以从两个方面来定义：从几何组成的角度来定义，超静定结构就是具有多余联系的几何不变体系；从受力的角度来定义，超静定结构就是只用静力平衡方程不能求出全部的反力和内力的结构。如图6－1（a）所示的简支梁是静定结构，当跨度增加时，其内力和变形都将迅速增加。为减少梁的内力和变形，在梁的中部增加一个支座，如图6－1（b）所示，从几何组成的角度分析，它就变成具有一个多余联系的结构，我们只用静力平衡方程就不能求出全部支座反力（FAx、FAy、FBy和FCy）和内力。具有多余约束、仅用静力平衡条件不能求出全部支座反力和内力的结构称为超静定结构。图6－1（b）和图6－2所示的连续梁和刚架都是超静定结构。

图6－3给出了工程中常见的几种超静定梁、刚架、桁架、拱、组合结构和排架。本章讨论如何用力法计算这种类型的结构。

1.1.2 超静定次数的确定

力法是求解超静定结构问题最基本的方法。用力法求解时，首先要确定结构的超静定次数。通常，将多余联系的数目或多余未知力的数目称为超静定结构的超静定次数。如果一个超静定结构在去掉n个联系后变成静定结构，那么，这个结构就是n次超静定结构。

显然，我们可用去掉多余联系使原来的超静定结构（以后称原结构）变成静定结构的方法来确定结构的超静定次数。去掉多余联系的方式，通常有以下几种。

（1）去掉支座处的一根支杆或切断一根链杆，相当于去掉一个联系。如图6－4所示的结构就是一次超静定结构，图中原结构的多余联系去掉后用未知力X1来代替。

（2）去掉一个单铰，相当于去掉两个联系，如图6－5所示。

（3）把刚性连接改成单铰连接，相当于去掉一个联系，如图6－6所示。

（4）在刚性连接处切断，相当于去掉三个联系，如图6－7所示。

应用上述去掉多余联系的基本方式，可以确定结构的超静定次数。应该指出，同一个超静定结构，可以采用不同方式去掉多余联系，图6－8（a）可以有三种不同的去约束方法，分别如图6－8（b）、（c）、（d）所示。无论采用何种方式，原结构的超静定次数都是相同的，所以说去约束的方式不是唯一的。这里面所说的去掉“多余联系”（或“多余约束”），是以保证结构是几何不变体系为前提的。如图6－9（a）所示中的水平约束就不能去掉，因为它是使这个结构保持几何不变的“必要约束”（或“必要联系”）。如果去掉水平链杆（见图6－9（b）），则原体系就变成几何可变结构了。

如图6－10（a）所示的多跨多层刚架，将每一个封闭框格的横梁切断，共去掉3×4＝12个多余联系后，变成如图6－10（b）所示的静定结构，所以它是12次超静定的结构。如图6－10（c）所示的刚架，将顶部的复铰（相当于两个单铰）去掉后，变成如图6－10（d）所示的静定结构，所以它是4次超静定的结构。