7.2 圆轴扭转时的刚度条件

7.2.1 圆轴扭转时的变形

圆轴扭转时的变形通常是用两个截面绕轴线转动的相对扭转角φ来度量的，其计算公式（推导过程略）为

式中：dφ——相距为dx的两截面间的扭转角；

T——截面上的扭矩，以绝对值代入；

G——材料的切变模量；

Ip——截面对圆心的极惯性矩。

式（5－26）也可写为

因此，相距为l的两截面间的扭转角为

若该段为同一材料制成的等直圆轴，并且各截面上扭矩T的数值相同，则式（5－28）中T、G、Ip均为常量，积分后得

扭转角的单位为rad。

由式（5－29）可见，扭转角φ与GIp成反比，即GIp越大，轴就越不容易发生扭转变形，因此把GIp称为圆轴的扭转刚度，用它来表示圆轴抵抗扭转变形的能力，工程中通常采用单位长度扭转角，即

将式（5－27）代入式（5－30）得

单位长度扭转角θ的单位为rad／m。

7.2.2 圆轴的刚度条件

对于承受扭转的圆轴，除了满足强度条件外，还必须对轴的扭转变形加以限制，使其满足刚度条件，即

式中：［θ］——单位长度许用扭转角，单位为rad／m，其数值由轴上荷载的性质及轴的工作条件等因素决定，可从有关设计手册中查到。

在实际工程中［θ］的单位通常为（◦）／m，则刚度条件为

【例5－23】 如图5－36（a）所示的传动轴，在截面A、B、C三处作用的外力其力偶矩分别为MA＝4.77kN·m，MB＝2.86kN·m，MC＝1.91kN·m，已知轴的直径D＝90mm，材料的切变模量G＝80×103MPa，材料的许用切应力［τ］＝60MPa，单位长度许用扭转角［θ］＝1.1°／m。试校核该轴的强度和刚度。

【解】 （1）求危险截面上的扭矩。

绘出扭矩图，如图5－36（b）所示，

由图5－36（b）可知，BA段的各截面为危险截面，其上扭矩为

Tmax＝2.86kN·m

（2）强度校核。

截面的扭转截面系数和极惯性矩分别为

轴的最大切应力为

可见强度满足要求。

（3）刚度校核。

轴的单位长度最大扭转角为

可见刚度也满足要求。

复习题

1.低碳钢在拉伸试验中表现为哪几个阶段？有哪些特征点？怎样从σ－ε曲线上求出拉压弹性模量的E值？

2.三根材料不同但尺寸相同的杆，它们的σ－ε曲线如图5－37所示，问哪种材料强度高？哪种材料的刚度大？哪种材料的韧性好？

3.如图5－38所示，用绳索吊起W＝100kN的重物，绳索的直径d＝40mm，许用应力［σ］＝100MPa，试校核绳索的强度。

4.杆件受力如图5－39所示，已知CD为刚性杆，AB为钢杆，直径d＝30mm，［σ］＝160 MPa，试求结构的许用荷载［F］。

5.如图5－40所示的起重架，在D点作用荷载F＝30kN，若杆AD、ED、AC的许用应力分别为［σ］1＝40MPa、［σ］2＝100MPa、［σ］3＝100MPa，试求此三根杆所需的截面面积。

6.如图5－41所示为一简支梁，由No.32a号工字钢制成，梁上作用有均布荷载q＝22kN／m，材料的许用应力［σ］＝150MPa，跨长l＝6m，试校核该梁的强度。

7.矩形截面简支梁如图5－42所示，跨度l＝2m，a＝0.4m，F＝100kN，梁截面为矩形截面b× h＝100mm×200mm，材料的许用应力［σ］＝80MPa，［τ］＝10MPa，试对梁进行强度校核。

8.一简支梁受两个集中力作用，如图5－43所示，已知F1＝20kN，F2＝60kN，梁由两根工字钢组成，其材料许用应力［σ］＝170MPa，试选择普通热轧工字钢型号。

9.一圆形截面木梁受力如图5－44所示，材料的许用应力［σ］＝10MPa，试选择截面直径d。

10.No.20a工字钢梁的受力如图5－45所示，若材料的许用应力［σ］＝160MPa，试求许用荷载［F］。

11.如图5－46所示某桥式吊车的最大荷载为F＝20kN，吊车梁由No.32a工字钢制成，已知l＝8.76m，E＝210GPa，设计要求许用挠度，试校核该吊车梁的刚度。

12.如图5－47所示为两端铰接的细长压杆，已知矩形截面b×h＝30mm×50mm，杆长l＝1.0m，材料的弹性模量E＝200GPa，试计算此压杆的临界力Fcr。

13.已知三根两端铰支的圆形截面压杆，直径均为160mm，长度分别为l1＝6m，l2＝3m，l3＝1.5m，材料为Q235钢，弹性模量E＝200GPa，λp＝100，σs＝235MPa，求此三根压杆的临界力。

14.如图5－48所示立柱CD段高h＝4m，材料为Q235钢，许用应力［σ］＝160MPa，弹性模量E＝200GPa，若立柱截面为外径D＝100mm，内径d＝80mm的空心钢管，试求梁上AB的许用荷载［F］。

15.如图5－49所示为一阶梯形圆轴，已知d1＝80mm，d2＝50mm，外力偶矩Me B＝2 500N·m，Me C＝1 500N·m，试求杆内的最大切应力并指出其作用点的位置。

16.如图5－50所示为一实心圆轴，外力偶矩Me A＝6.5kN·m，Me B＝2.5kN·m，Me C＝4kN·m，许用切应力［τ］＝50MPa，试确定该轴的直径。