2.2 轴向拉压杆的强度条件

构件工作时，由荷载所引起的实际应力称为工作应力。为了保证拉、压杆件在外力作用下能够安全正常工作，要求杆件截面上的最大工作应力不得超过材料的许用应力，即

σmax＝≤［σ］ （5－1）

式（5－1）称为拉、压杆件的强度条件。

杆件的最大工作应力σmax通常发生在危险截面上。对承受轴向拉、压的等截面直杆，轴力最大的截面就是危险截面；对轴力不变而截面变化的杆件，面积最小的截面就是危险截面。

若已知式（5－1）中FN、A、［σ］的任意两个量，即可由式（5－1）求出第三个未知量。利用强度条件，可以解决以下三类问题。

1.强度校核

已知A、［σ］及构件承受的荷载，可用式（5－1）验算杆内最大工作应力是否满足σmax≤［σ］，如果满足则构件具有足够的强度，否则，就说明构件的强度不够。

2.截面设计

已知构件所承受的荷载及材料的许用应力［σ］，可用式（5－1）求得构件所需的最小截面面积，即A≥FN／［σ］。

3.确定许可荷载

已知构件的截面面积及材料的许用应力［σ］，由式（5－1）可求得允许构件所能承受的最大轴力，即［FN］≤A·［σ］，然后根据［FN］确定构件的许用荷载［F］。

【例5－1】 一直杆受力情况如图5－7（a）所示。直杆的截面面积A＝10cm2，材料的许用应力［σ］＝160MPa，试校核此杆的强度。

【解】 首先绘出直杆的轴力图，如图5－7（b）所示。由于该杆是等直杆，CD段上产生最大内力的截面是危险截面，由强度条件得

σmax＝MPa＝160MPa＝［σ］

所以杆件满足强度条件。

【例5－2】 如图5－8（a）所示，斜杆AB、横梁CD及墙体之间均为铰接，各杆自重不计，在D点受集中荷载F＝10kN作用。

（1）若斜杆为木杆，截面面积A＝4 900mm2，许用应力［σ］＝6MPa，试校核斜杆的强度。

（2）若斜杆为锻钢圆杆，［σ］＝120MPa，求斜杆的截面尺寸。

【解】 计算斜杆的内力，斜杆在A、B处铰接，为二力杆。设斜杆受拉，它对CD梁的拉力用FNAB表示，如图5－8（b）所示。

取CD梁为研究对象，由平衡方程∑MC＝0，有

1×FNAB·sin 45°－2×F＝0

解得 FNAB＝＝28.3kN（受拉）

（1）当斜杆为木杆时，作强度校核。

截面应力σ＝MPa＝5.79MPa＜［σ］

故斜杆满足强度要求。

（2）当斜杆为锻钢圆杆时，求截面尺寸。

由强度条件式（5－1），有

故面积为

A≥FNAB／［σ］＝（28.3×103／120）mm2＝235.8mm2

由于圆杆截面面积A为

故直径d为

取d＝18mm。

【例5－3】 如图5－9（a）所示的正方形等截面石柱，容重γ＝22kN／m3，许用应力［σ］＝1MPa，柱高H＝10m，柱顶有轴心压力F＝300kN，试按强度条件确定柱的截面尺寸。

【解】 （1）计算柱的轴力。

柱某截面处的压力由外力F和该面以上石柱的自重引起，所以从上到下各截面的压力是变化的。用切面法求距柱顶距离为x处截面的压力FN（x）。将柱沿m—m截面假设截开，取上段为研究对象，如图5－9（b）所示，设柱的截面面积为A，由平衡方程有

－FN（x）＋F＋G（x）＝0

FN（x）＝F＋G（x）＝F＋γAx

由上式可知，FN（x）是x的一次函数，轴力图为一条斜直线。在柱顶截面：x＝0，FN＝F；在柱底截面：x＝H，FN（x）＝F＋γAx。由轴力图图5－9（c）可知，最大轴力发生在柱底截面上。

（2）计算柱的截面尺寸。

由强度条件有

σmax＝＋γH≤［σ］

解得 A≥＝0.385m2

则边长a为

a＝m＝0.62m

取a＝0.65m＝650mm。

【例5－4】 起重机如图5－10（a）所示，起重机的起重量F＝40kN，绳索AB的许用应力［σ］＝45MPa，试根据绳索的强度条件选择其直径d。

【解】 先求绳索AB的轴力。取BCD为研究对象，受力图如图5－10（b）所示，根据平衡方程∑MC＝0，有

FNmax·cosα×10－F×5＝0

即 FNmax＝

因为 AB＝ m＝18.03m

所以 cosα＝＝0.832

则 FNmax＝kN＝24.04kN

再由强度条件求出绳索的直径

故绳索的直径为

【例5－5】 在图5－11所示的支架中，AB为刚性杆，BC为直径d＝20mm的钢圆杆，许用应力［σ］＝160MPa，在杆AB上作用一外力F，试求许可荷载［F］。

【解】 取AB为研究对象，由∑MC＝0有

根据［FNBC］≤［σ］A有

［FNBC］≤［σ］A＝160×106×kN＝50.24kN

故得 ［F］＝2［FNBC］≤2×50.24kN＝100.48kN

【例5－6】 如图5－12（a）所示的支架：（1）杆为直径d＝14mm的钢圆杆，许用应力［σ］1＝160MPa；（2）杆为边长a＝100mm的正方形杆，［σ］2＝10MPa，在结点B处悬挂一重物，求许可荷载［F］。

【解】 （1）计算杆的轴力。

取结点B为研究对象，如图5－12（b）所示，列平衡方程

∑F（x）＝0， －FN1－FN2cosα＝0

∑Fy＝0， －F－FN2sinα＝0

式中，α由几何关系tanα＝＝1.333，得α＝50.13°。

由上解得

FN1＝0.75F（拉力）， FN2＝－1.25F（压力）

（2）计算许可荷载。

先根据杆①的强度条件计算杆①能承受的许可荷载［F］1

则有

再根据杆②的强度条件计算杆②能承受的许可荷载［F］2

则有

比较两次所得的许可荷载，取其中较小者，故整个支架的许可荷载为［F］≤32.8kN。