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建筑力学
1.5.3.2 3.2 图乘法计算中的几个问题
3.2 图乘法计算中的几个问题

3.2.1 常见图形面积及其形心位置

在用图乘法计算时，需要计算图形的面积w以及该图形形心C的位置。图4－13给出了应用图乘法计算位移时常见的几种曲线图形的面积和形心位置。在应用抛物线图形的公式时，必须注意图形在顶点处的切线应与基线平行，即所谓的标准抛物线。

图4－13

用图乘法计算位移时的解题步骤如下：

（1）画出结构在实际荷载作用下的弯矩图MP；

（2）根据所求位置位移选定相应的虚拟状态，画出单位弯矩图；

（3）分段计算一个弯矩图形的面积w及其形心所对应到另一个弯矩图形的纵坐标y C；

（4）将w、y C代入图乘法公式求得所求位移。

3.2.2 图乘法应用技巧

1.复杂图形分割成简单图形

对于一些面积和形心位置不易确定的图形，可采用图形分割的办法，将图形分解成几个简单的图形，以易于确定各部分各自的面积和形心，然后将这些部分与另一图形作图乘运算，最终将所得的结果相叠加。例如图4－14所示的两个梯形应用图乘法，可不必找出梯形的形心位置，而将其中一个梯形（如MP图）分成两个三角形，分别与M图图乘后再相叠加。此时，MP＝MP1＋MP2，故

ΔK＝∑∫¯MMPds EI ＝∑∫¯M（MP1＋MP2） EI dx＝1 EI∫（¯MMP1dx）dx＝1EI（w1y1＋w2y2）¯MMP2＋∫ （4－16）

式中：

将w1、w2、y1、y2代入式（4－16）整理后可得

∑∫¯MMP EI ds＝1d）3 ac＋2b＋ad＋2（6EI 2（4－17）

当图和MP图都是直线图形时，可以广泛地直接应用式（4－17），若a、b、c、d四个纵坐标位于基线的两侧时，则在计算时可以规定基线某一侧为正，另一侧即为负。例如图4－14（b）所示两个图形采用图乘法直接应用式（4－17）计算时，取上侧为正，下侧为负，即a、d取正值，b、c取负值。如果相乘的两个图形中有一个为三角形，也可以应用式（4－17）来计算，此时只需将相应的纵坐标取为0即可。

图4－14

对于图4－15所示由均布荷载q引起的MP图，可以把它看作两端弯矩纵坐标所连成的梯形ABCD与相应简支梁在均布荷载作用下的弯矩图叠加而成，后者即为虚线CD与曲线之间所围部分。将MP图分解成上述两个简单图形后，分别与图作图乘运算，再叠加即得到所求结果。

图4－15

2.分段图乘

【例4－3】 求如图4－16（a）所示的简支梁A端的角位移φA及跨中C点的竖向位移ΔCV。EI为常数。

【解】 （1）求φA。

①作出实际荷载作用下的MP图，如图4－16（b）所示。

②在A端加单位力偶＝1kN·m，其单位弯矩图如图4－16（c）所示。

③MP图面积及其形心对应到图的纵坐标分别为

w＝23×18ql 2×l＝ql 312， y C＝12

④计算φA。

EI wy C＝1φA＝1× ql 3 EI12× 1 2＝24EI ql 3（顺时针转向）

图4－16

（2）求ΔCV。

①作出实际荷载作用下的MP图，如图4－16（b）所示。

②在C点加单位力＝1kN，单位弯矩图如图4－16（d）所示。

③计算w、y C。由于图是折线图形，故应采用分段图乘再叠加的方法，又因两个弯矩图均匀对称，故只要计算一半再取两倍即可。

w＝23×18ql 2×l2＝ql 324 y C＝58×l4＝532l

④计算ΔCV。

ΔCV＝21wy C＝2×1 EI × ql 3 EI24× 5l 32＝5ql 4（↓） 384

【例4－4】 试求如图4－17（a）所示的梁在已知荷载作用下，A截面的角位移φA及C点的竖向位移ΔCV，EI为常数。

图4－17

【解】 （1）作出原始荷载作用下的弯矩MP图，如图4－17（b）所示。

（2）分别建立在＝1kN·m及＝1kN作用下的虚拟状态，并画出弯矩图，如图4－17（c）、（d）所示。

（3）计算φA。

qa2 2（2 a Pa＋φA＝－1 EI13×1（））＝－1EI （Pa2 6＋qa22） （逆时针）

结果为负，表示φA的方向与＝1kN·m的转向相反。

计算ΔCV时，将图4－17（b）与图4－17（d）相乘，值得注意的是BC段的弯矩图MP是非标准的抛物线，所以图乘时不能直接代入公式，需要将其面积分解为两部分，然后叠加得

ΔCV＝1 EI （2 3 Pa3＋7qa 24）4（↓）

【例4－5】 计算如图4－18（a）所示的悬臂刚架D点的竖向位移ΔDV。各杆的EI如图所示。

图4－18

【解】 （1）作出实际荷载作用下的弯矩MP图，如图4－18（b）所示。

（2）在D端加单位力＝1kN，单位弯矩图如图4－18（c）所示。

（3）计算w、y C。

图乘时应分AB、BC、CD三段进行，因CD段＝0，不必计入。故只需计算AB、BC两段。

AB段：

w1＝l×2l＝2l 2（取自¯M图） y1＝－Pl 33 （取上侧为正，下侧为负） 4

BC段：

w2＝12×23l×23l＝2l 2 9 y2＝Pl 4

（4）计算ΔDV。

ΔDV＝1w1y1＋1w2y2＝－1 EI2EIEI （2 3 l 2×Pl4）＋12EI（2 9 l 2×Pl4）＝－Pl 3＋Pl 3 6EI36EI＝－5Pl 3（↑） 36EI

思考题

1.什么是虚位移？实位移和虚位移有何区别？什么是虚功？实功和虚功有何区别？

2.虚功原理有哪两种应用？

3.用积分法公式计算梁和刚架的位移时，需先写出MP和的表达式。在同一区段内写这两个弯矩表达式时，能否将坐标原点取在不同的位置？为什么？

4.用图乘法计算位移的适用条件是什么？求变截面梁的位移时是否可用图乘法计算？

5.是非题。

①用图乘法可求得各种结构在荷载作用下的位移。（ ）

②如图4－19所示的简支梁，当P1＝1kN，P2＝0kN时，1点的挠度为0.0165l3／EI，2点挠度为0.077l3／EI。当P1＝0kN，P2＝1kN时，则1点的挠度为0.021l3／EI。（ ）

③已知图4－20（a）所示刚架的MP图如图4－20（b）所示，各杆EI＝常数，则结点B的水平位移为：

EI ×ΔBH＝1（20×4×12×4＋13×4×48×34×4）＝352EI（→）。（ ）

图4－19

图4－20

④图4－21所示为刚架的虚设力系，按此力系及位移计算公式可求出杆AC的转角。（ ）

⑤图4－22所示梁的跨中挠度为0。（ ）

图4－21

图4－22

⑥图4－23所示梁AB在所示荷载作用下的M图的面积为ql 3／3。（ ）

⑦在图4－24所示桁架中，结点C与结点D的竖向位移相等。（ ）

图4－23

图4－24

⑧如图4－25所示的MP图、K图，用图乘法求位移的结果为（w1y1＋w2y2）／（EI）。（ ）

图4－25

复习题

1.图4－26所示结构A截面转角（设顺时针方向为正）为（ ）。

图4－26

A. 2B.

C. D.

2.图4－27（a）所示结构的MP图如图4－27（b）所示，B点水平位移（→）为（ ）。

A.B.C.D.

图4－27

3.图4－28所示刚架中l＞a＞0，B点的水平位移是（ ）。

A.不定，方向取决于a的大小 B.向左

C.等于0 D.向右

4.图4－29所示刚架中杆长为l，E相同，A点的水平位移为（ ）。

A.B.C.D.

图4－28

图4－29

5.图4－30所示为结构在荷载作用下的MP图，各杆EI＝常数，支座B截面处的转角为（ ）。

A.（顺时针方向） B.0

C.（顺时针方向） D.（顺时针方向）

6.图4－31所示桁架各杆的抗拉（压）刚度EA＝常数，则结点K的水平位移（→）等于（ ）。

A.B.

C.D.

图4－30

图4－31

7.图4－32所示结构的受弯杆件的抗弯刚度为EI，链杆的抗拉（压）刚度为EA，且A＝m2，则D端的转角（设顺时针方向为正）为（ ）。

A.B.C.D.

图4－32

8.求图4－33所示梁铰C左侧截面的转角时，其虚拟单位力状态应取（ ）。

图4－33

9.计算图4－34所示外伸梁C点的竖向位移ΔCV，EI为常数。

图4－34

10.求图4－35所示结构B点的水平位移，EI＝常数。

图4－35

11.求图4－36所示结构D点的水平位移，各杆的EI＝2×105kN·m2。

图4－36

12.求图4－37所示梁（EI＝常数，跨长为l）B截面的转角φA。

图4－37

13.求图4－38所示结构A、B相对竖向线位移，EI＝常数，a＝2m。

图4－38

14.计算图4－39所示桁架CD杆的转角。各杆的EA相同。

图4－39

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