3.1 图乘法适用条件及图乘法公式

当用单位荷载法求解梁或刚架的位移时，需要计算式（4－8），其中会有积分计算。

积分计算过程往往比较复杂。在满足一定的应用条件的情况下，如果可以绘制出Mp和M的弯矩图，则图乘法可给出该积分的数值解，而且是精确解。

1.公式适用条件

（1）杆段的轴线为直线。

（2）杆段的抗弯刚度EI为常数。

（3）各杆段的图和Mp图中至少有一个为直线图形。

本书只研究等截面直杆，前两个条件自然满足。对于第三个条件，虽然均布荷载作用下的Mp图是曲线形状，但图却总是由直线段组成的，分段考虑的也可以满足。于是，对于等截面直杆构成的梁和刚架，在位移求解过程中均可应用图乘法。

2.图乘法公式

如图4－12所示为直杆AB的两个弯矩图，其中图为一直线图形，Mp图为任意形状的图形。若该杆的抗弯刚度EI为一常数，则

由图4－12可知，图中一点的纵坐标为

＝y＝xtanα

代入式（4－11）中，则有

式中：dw＝MPdx为MP图中阴影部分的微面积。故xdw是这个微面积dw对y轴的一次矩。故而为整个MP图的面积对y轴的一次矩。根据面积矩定理，它应等于MP图的面积w乘以其形心C到y轴的距离x C，即

带上式（4－12）中，则有

图4－12中x Ctanα＝y C，y C为MP图的形心C处所对应的图的纵坐标。因而式（4－13）又可写成

由此可见，计算位移的积分就等于一个弯矩图的面积w乘以其形心所对应在另一个直线弯矩图形上的纵坐标y C，再除以常数EI。于是积分运算就转化为数学乘除运算。这种计算方法即称为图乘法求位移。

如果结构系统上的各杆段均可采用图乘法计算位移，则位移计算公式（4－8）可写成

计算时需要注意以下几点。

（1）若面积w与y C在杆件同一侧，则乘积取正号，否则取负号。

（2）纵坐标y C必须从直线上取得。如果图和MP图均为直线图形，也可以用图的面积乘以其形心所对应的MP图的纵坐标来计算。

（3）当结构上某一杆件的图为折线图形时，或者各个杆段的截面面积不相等时，均应分段采用图乘法计算位移而后进行叠加。

（4）当图和MP图具有对称性时，可以利用对称性只算一半，然后乘以两倍即可。