2.5 静定结构在荷载作用下的位移计算

如果结构只考虑荷载的作用，而不考虑支座位移的影响，那么公式（4－4）中第四项由支座移动引起的位移为0，于是公式（4－4）可简化为

计算时，从结构上截取长度为ds的微段，因此式（4－5）中FN、M、FS分别表示虚拟状态中微段上的内力，du、dφ和γds表示实际状态中微段上的变形。对于线弹性结构，如果实际状态中微段上的内力为FNP、MP、FSP，则由胡克定律和杆件基本变形的知识有

式中：E——材料的弹性模量；

I——杆件截面的惯性矩；

A——杆件截面的面积；

G——材料的剪切弹性模量；

k——剪应力沿截面分布不均匀系数，其值与截面形状有关，对于矩形截面k＝，圆形截面k＝，薄壁圆环截面k＝2，工字形截面k≈，A′为腹板截面积。

这里关于微段变形的计算，只适用于直杆。对于曲杆还需要考虑曲率对变形的影响。

将式（4－6）带入到式（4－5）中，则有

式（4－7）就是平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式。

在实际的计算中，可以根据结构的不同类型，将公式（4－7）进行进一步简化。例如对于梁和刚架，弯矩是引起位移的主要因素，轴力和剪力对位移的影响很小，一般可以忽略不计，则式（4－7）可简化为

对于桁架结构，因为杆件只受轴力，没有剪力和弯矩，且同一根杆件的FN、FNP和EA均为常数，则式（4－7）可简化为

式中：l——杆件长度。

对于组合结构，受弯构件主要受到弯矩的影响，链杆则只受轴力的影响，则式（4－7）可简化为

【例4－1】 试求如图4－10（a）所示的简支梁在均布荷载q作用下：（1）B支座处的转角；（2）梁跨中C点的竖向线位移，EI为常数。

【解】 （1）求B支座的转角。

要求B支座的转角，需要在B点加一集中力偶＝1kN·m，得到如图4－10（b）所示的虚拟状态。设A点为坐标原点，则杆的弯矩方程为

上式适用于梁的全长，即0≤x≤l。

实际状态如图4－10（a）所示，杆的弯矩方程为

上式同样适用于梁的全长，即0≤x≤l。

将以上所求M和MP带入到式（4－8）中，有

φB的结果为负值，表示其方向与所加的单位力偶方向相反，即B截面沿逆时针方向转动。

（2）求跨中C点的竖向线位移。

在C点加一单位力＝1kN，建立虚力状态如图4－10（c）所示。根据对称性，可先计算梁的一半，则此时虚拟状态的弯矩方程为

实际状态MP的方程如前所示，根据式（4－8）即可求得C点的竖向线位移，为

ΔCy的计算结果为正值，表示C点的竖向线位移方向与单位力方向相同，即C点位移向下。

【例4－2】 求如图4－11（a）所示的悬臂刚架C截面的角位移φC，刚架EI为常数。

【解】 （1）实际力状态如图4－11（a）所示，虚拟力状态如图4－11（b）所示。

（2）两种状态的弯矩方程分别如下。

横梁BC（以C为坐标原点）：

＝－1， 0≤x≤l

MP＝－Fx1， 0≤x≤l竖柱BA（以B为坐标原点）：

MP＝－Fl， 0≤x≤l

将以上结果代入式（4－8）中，则悬臂刚架C截面的角位移φC为

φC的结果为正值，表示其方向与所加的单位力偶方向相同，即C截面沿顺时针方向转动。