2.3 位移计算的一般公式

如图4－8（a）所示的平面杆件结构，假设该结构由于荷载、温度变化和支座移动等因素引起了如图虚线所示的变形，求该梁上任一点K沿任一方向k—k上的位移ΔK。

现讨论如何利用虚功原理来求解这一问题。要应用虚功原理，就需要有两个状态：力状态和位移状态。所要求的位移是由给定的荷载、温度变化和支座移动等因素引起的，位移是真实存在的，所以将此状态作为结构的实际状态，也就是位移状态。

此外，还需要建立一个力状态，因为力状态与位移状态是彼此独立无关的，所以力状态完全可以根据计算的需要来假设。为了使力状态中的外力能在位移状态中所求的位移ΔK上做虚功，因此在K点沿k—k方向加一个集中荷载¯F＝1kN（在力的符号上面加一杠表示虚拟），如图4－8（b）所示，这个状态将作为结构的力状态。而这个状态并不是实际原有的，而是虚设的，故称为虚拟状态。

外力所做的虚功包括外力作用处引起结构的位移与外力的乘积，以及由该外力产生的支座反力与支座处发生的相应位移的乘积。

设在虚拟状态中由单位荷载＝1kN引起的支座B的反力为，而在实际状态中相应的支座位移为C1、C2，则外力虚功为

这样，单位荷载＝1kN所做的虚功在数值上正好等于所要求的位移ΔK。

设虚拟状态中由单位荷载＝1kN作用而引起的某微段ds上的内力为而实际状态中微段相应的变形为du、dφ、γds，则内力虚功为

根据公式（4－1），则有

解得

式（4－1）就是平面杆件结构位移计算的一般公式。

这种利用虚功原理，沿所求位移方向虚设单位荷载（＝1kN）求结构位移的方法，称为单位荷载法。在设置虚拟单位力时其指向可以任意假设，如果计算结果为正，表示单位荷载所做的虚功为正，即所求位移ΔK的实际指向与所假设的单位荷载＝1kN的指向相同；计算结果为负则相反。

单位荷载法既适用于静定结构，也适用于超静定结构；既适用于弹性材料，也适用于非弹性材料；既适用于荷载作用下的位移计算，也适用于由支座移动、温度变化等因素影响下的位移计算。