5.1 扭转的概念

5.1.1 扭转的概念

扭转是杆件基本的变形之一，在垂直于杆件轴线的平面内，作用一对大小相等、方向相反的力偶时，杆件就会产生扭转变形。扭转变形的特点是各截面绕杆的轴线发生相对转动。变形后杆件各截面之间绕杆轴线相对转动了一个角度，称为扭转角，用φ表示，如图3－57所示。本书仅研究圆截面等直杆的扭转，这是工程中最常见的情况，也是扭转中最简单的问题。

5.1.2 圆轴扭转的内力

如图3－58所示的圆轴，在垂直于轴线的平面内，受一对外力偶矩Me作用，现求其任一截面m—m处的内力。

求内力的基本方法仍是截面法，用一个假想的截面m—m将圆轴截开，取左半部分为研究对象，如图3－58（b）所示。由静力学中力偶系的平衡条件可知，在截面m—m上必存在一个与外力偶相平衡的内力偶，其力偶矩为MT，称为扭矩。所以扭矩的性质与力偶矩相同，由平衡方程有

∑Mx＝0， MT－Me＝0

解得

MT＝Me

如果取右半部分为研究对象，如图3－58（c）所示，也可得到同样的结果，但转向相反，这是内力作用与反作用的关系。为了使截面左、右两段求得的扭矩具有相同的正负号，对扭矩的正负作如下规定：采用右手螺旋法则，以右手四指表示扭矩的转向，当大拇指的指向由截面向外，即与截面外法线方向一致时，扭矩为正，反之为负，如图3－59所示。

5.1.3 扭矩图

如果作用在圆轴上的外力偶多于两个，就与拉伸（压缩）问题中的画轴力图类似，可以用图线来表示各截面上扭矩沿轴线的变化情况，称为扭矩图。

扭矩图的作法是：取一直角坐标系，令横坐标平行于圆轴的轴线，表示截面的位置，纵坐标表示扭矩的代数值，将各截面上的扭矩区分正负，按适当的比例，分别画在坐标轴的上下方，并标出扭矩的数值，这样就得到了扭矩图。下面用例题来说明扭矩图的绘制方法。

【例3－23】 求如图3－60（a）所示的传动轴截面1—1和截面2—2的扭矩，并绘制扭矩图。

【解】 （1）求截面1—1的扭矩。

采用截面法，将圆轴沿截面1—1截开，并取截面左部分为研究对象，列平衡方程，可得

MT1＋MA＝0， MT1＝－MA＝－1.8kN·m

（2）求截面2—2的扭矩。

将圆轴沿截面2—2截开，取截面右部分为研究对象，列平衡方程，可得

MT2－MC＝0， MT2＝MC＝1.2kN·m

（3）绘制扭矩图。

按已求出的扭矩的大小和符号，作出扭矩图，如图3－60（b）所示。

思考题

1.一根木杆，一根钢杆，它们的横截面积不同，承受相同的轴向拉力，它们的内力是否相同？

2.梁的平面弯曲的概念是什么？

3.荷载集度、剪力、弯矩间的微分关系及意义是什么？

4.绘制梁的内力图的方法有哪些？

5.静定多跨梁中当荷载作用在基本部分上时，对附属部分是否引起内力？为什么？

6.多跨静定梁和与之相应的系列多跨简支梁在受力性能上有什么差别？

7.刚结点和铰结点在受力方面各有什么特点？

8.刚架和梁相比，力学性能有什么不同？

9.桁架中的零杆是否可以拆除？为什么？

10.在计算桁架内力时，怎样利用桁架的构造特点简化计算，以避免求解联立方程？

11.为什么三铰拱可以用抗拉性能较差而抗压性能较好的砖、石、混凝土等材料来建造？而梁却很少采用此类材料？

12.什么是三铰拱的合理拱轴线？如何确定合理拱轴线？

13.在组合结构的构件中，有哪几种受力类型？

14.试讲述圆轴扭转时的受力特点和变性特点。

复习题

1.试计算图3－61所示各杆指定截面的轴力并作出轴力图。

2.试求图3－62所示各梁中指定截面上的剪力和弯矩。

3.试绘制图3－63所示各梁的剪力图和弯矩图。

4.试绘制图3－64所示单跨静定梁的内力图。

5.试绘制图3－65所示多跨静定梁的内力图。

6.试绘制图3－66所示斜梁的内力图。

7.试绘制图3－67所示刚架的内力图。

8.试用结点法求图3－68所示桁架的各杆的轴力。

9.试求图3－69所示桁架中指定杆件的内力。

（10）图3－70所示为抛物线三铰拱，拱轴线方程为y＝x（l－x），l＝16m，f＝4m。试求：①支座反力；②截面E的内力；③D点左右侧截面的内力。

（11）试求图3－71所示三铰拱的合理拱轴线。

（12）试求图3－72所示组合结构的内力并绘制内力图。

（13）用截面法求图3－73所示各杆在截面1—1、截面2—2、截面3—3上的扭矩，作出各杆的扭矩图。