3.1 静定平面刚架

3.1.1 静定平面刚架概述

刚架是由直杆组成的具有刚结点的结构。刚架中的刚结点的作用是在任何荷载作用下，使刚结在一起的各杆既不能发生相对移动和转动，变形前后各杆的夹角也保持不变。所以，刚架在构造方面，具有杆件少、内部空间大、便于使用的特点；在受力方面，由于刚结点能承受和传递弯矩，从而使结构中弯矩的分布较均匀，峰值较小，能节约材料。因此，刚架在建筑工程中得到广泛应用。

当刚架的各杆轴线与荷载在同一平面时，称为平面刚架。凡由静力平衡条件即可确定全部反力和内力的平面刚架，称为静定平面刚架。实际工程中的刚架多为超静定刚架，而静定平面刚架一般仅用于荷载较小、结构形式比较简单的场合。但静定平面刚架的内力分析是超静定刚架内力分析的基础，所以，掌握静定平面刚架的内力计算十分重要。

常见的静定平面刚架有以下几种形式。

（1）悬臂刚架：一般由一个构件用固定端支座与基础连接而成，如图3－30（a）所示的站台雨篷。

（2）简支刚架：一般由一个构件用固定铰支座和活动铰支座与基础连接而成，如图3－30（b）所示的渡槽的槽身，简支刚架常见的有门式和T形两种。

（3）三铰刚架：一般由两个构件用铰连接，底部由两个固定铰支座与基础相连而成，如图3－30（c）所示的小型屋架。

（4）组合刚架：通常由上述三种刚架中的某一种作为基本部分，再按几何不变体系的组成规则连接附属刚架组合而成，如图3－31所示。

3.1.2 静定平面刚架的内力计算

刚架的内力计算方法原则上与静定梁是相同的。通常需要先求出支座反力。当刚架与地基是按两刚片规则组成时，支座反力只有三个，容易求得；当刚架与地基是按三刚片规则组成时（如三铰刚架），支座反力有四个，为了求出所有支座反力，除了要考虑结构整体的三个平衡方程外，还需再取刚架的某一部分作为隔离体建立一个平衡方程，才能求出全部反力；当刚架由基本部分和附属部分组成时，同样应遵循先附属部分再基本部分的计算顺序。反力求出后，即可按照内力计算规律，“分段、定点、连线”，逐杆绘制内力图。

刚架的内力通常有弯矩、剪力和轴力。弯矩通常不规定正负，但要明确哪侧受拉，弯矩图必须绘在杆轴受拉的一侧，不标明正负号。剪力和轴力的正负号规定与梁相同，即剪力以使隔离体产生顺时针转动趋势为正，反之为负；轴力以拉力为正，压力为负。剪力图和轴力图可绘在杆轴的任一侧，但须注明正负号。

为了明确地表示刚架上汇交于同一结点的各杆端截面的内力，使之不混淆，可在内力符号后面引用两个下脚标：第一个脚标表示内力所属截面；第二个脚标表示该截面所属杆件的另一端。例如：MAB表示AB杆A端截面的弯矩；QCD表示CD杆C端截面的剪力；等等。

【例3－13】 绘制如图3－32（a）所示的悬臂刚架的内力图。

【解】 （1）求支座反力。

由刚架整体的平衡方程∑X＝0，∑Y＝0和∑MA＝0可求出支座A处的反力，即

FAx＝0， FAy＝60kN， MA＝20kN·m

各支座反力的方向如图3－32（a）所示。对于悬臂刚架，也可不计算支座反力，直接计算内力。

（2）绘制弯矩图。

将刚架分成三段，取每个杆件两端为控制截面，从自由端开始，根据刚架内力计算规律，求得各控制截面的弯矩。首先考虑CB杆，该杆为一悬臂梁，在C点作用有一集中力，弯矩图为一条斜直线，其杆端弯矩为

MCB＝0

MBC＝（－20×1）kN·m＝－20kN·m（上侧受拉）

其次考虑DB杆，该杆也是一悬臂梁，其上作用有均布荷载，弯矩图为一条二次抛物线，求得控制截面弯矩为

MDB＝0

MBD＝（－20×2）kN·m＝－40kN·m（上侧受拉）

最后考虑AB杆，该杆上无荷载作用，弯矩图为一条直线，用截面法求控制截面弯矩为

MBA＝MAB＝20kN·m（左侧受拉）

由以上所得整个刚架的弯矩图如图3－32（b）所示。

（3）绘制剪力图和轴力图。

作剪力图时同样需逐杆考虑。根据荷载和已求出的支座反力，用截面法求出各个控制截面的剪力值为

CB杆： QCB＝QBC＝－20kN

DB杆： QDB＝0， QBD＝（20×2）kN＝40kN

AB杆： QBA＝QAB＝0

整个刚架的剪力图如图3－32（c）所示。

用同样的方法作轴力图，由于各杆均无沿杆轴方向的分布荷载，所以各杆轴力为常数，各控制截面的轴力值为

NCB＝0

NDB＝0

NAB＝－60kN

整个刚架的轴力图如图3－32（d）所示。

【例3－14】 绘制如图3－33（a）所示的简支刚架的内力图。

【解】 （1）求支座反力。

由刚架整体的平衡方程，可求得支座反力为

FA＝40kN， FBx＝30kN， FBy＝80kN

各支座反力的方向如图3－33（a）所示。

（2）绘制弯矩图。

将刚架分成AD、DE、EB三段，取每段杆两端为控制截面。计算控制截面的弯矩值为

MAC＝0

MCA＝MCD＝0

MDC＝MDE＝（－30×2）kN·m＝－60kN·m（左侧受拉）

MEB＝MED＝（－30×6）kN·m＝－180kN·m（右侧受拉）

MBE＝0

其中DE杆受到均布荷载作用，弯矩图为一条二次抛物线，其两端弯矩（均为上侧受拉）求出后，连一条虚直线，再用叠加法绘制该段杆的弯矩图，杆中点弯矩为

kN·m＝－30kN·m（上侧受拉）

值得指出的是，结点D和E处均是两杆汇交的刚结点，在以后的计算中，凡只有两杆汇交的刚结点，若结点无外力偶作用，则两杆端弯矩必大小相等且同侧受拉（即同使刚架外侧或同使刚架内侧受拉）。

整个刚架弯矩图如图3－33（b）所示。

（3）绘制弯矩图和轴力图。

计算各控制截面的剪力和轴力值为

QAC＝QAC＝0

QCD＝QDC＝－30kN

QDE＝40kN

QED＝－80kN

QEB＝QBE＝30kN

NAD＝－40kN

NDE＝－30kN

NBE＝－80kN

根据以上各控制截面的剪力值和轴力值，绘制剪力图和轴力图，如图3－33（c）、（d）所示。

【例3－15】 绘制如图3－34（a）所示的三铰刚架的内力图。

【解】 （1）求支座反力。

三铰刚架有四个支座反力，须用四个平衡方程来求解四个未知量。先取刚架整体为隔离体，列平衡方程

∑X＝0， FAx＝FBx

∑MA＝0， （FBy×10）－（20×5×7.5）＝0， FBy＝75kN

∑Y＝0， FBy＋FAy－（20×5）＝0， FAy＝25kN

再取刚架的左半部分为隔离体，如图3－34（e）所示，列平衡方程

∑MC＝0， 25×5－FAx×6＝0， FAx＝FBx＝20.8kN

（2）绘制内力图。

取刚架各段杆的两端为控制截面，这些截面上的内力为

MAD＝0

MDA＝（－20.8×6）kN·m＝－125kN·m（左侧受拉）

MDC＝MDA＝－125kN·m（上侧受拉）

MCD＝MCE＝0

MEC＝（－20.8×6）kN·m＝－125kN·m（上侧受拉）

MEB＝MEC＝－125kN·m（右侧受拉）

MBE＝0

QAD＝QDA＝－20.8kN

QDC＝QCD＝QCE＝－25kN

QEC＝－75kN

QEB＝QBE＝－20.8kN

NAD＝NDA＝－25kN

NDC＝NCD＝NCE＝NEC＝－20.8kN

NEB＝NBE＝－75kN

根据以上所求得的各控制截面的内力值，绘制刚架的内力图，如图3－34（b）、（c）、（d）所示。

【例3－16】 绘制如图3－35（a）所示的刚架的弯矩图。

【解】 先进行几何构造分析。F铰处以右部分为三铰刚架，是基本部分；F铰处以左部分为支承于地基和基本部分之上的简支刚架，是附属部分。因此应先取附属部分进行计算，如图3－35（b）所示，求出该部分反力。然后将F铰处的约束力反向加于基本部分，再求出基本部分的反力，如图3－35（c）所示。反力都求出后，即可按照之前的方法绘制出弯矩图，如图3－35（d）所示。

3.1.3 快速绘制弯矩图

静定刚架的内力分析，不仅为强度计算所必须，而且是位移计算和分析超静定刚架的基础，尤其是弯矩图绘制的基础，以后的应用非常广泛。当对静定平面刚架的弯矩图的形状特征比较熟悉时，常常可以不求或仅求出其中少量几个支座反力，就能绘制出弯矩图。例如：结构上若有悬臂部分及简支梁部分时，则其弯矩图可直接绘出；充分利用弯矩图的形状特征（例如在直杆的无荷载作用区段弯矩图为直线，在铰处弯矩为0等），刚结点处的力矩平衡条件，用叠加法绘制弯矩图；当外力与杆轴重合时不产生弯矩，外力与杆轴平行时或外力偶作用时产生的弯矩为常数；等等，这些都会给绘制弯矩图的工作带来方便。至于剪力图，则可根据弯矩图的斜率或杆段的平衡条件求得。然后，根据剪力图利用结点投影平衡条件又可作出轴力图。

【例3－17】 绘制如图3－36（a）所示的刚架的弯矩图。

【解】 由刚架的整体平衡条件∑X＝0可求出水平支座反力为

FBx＝5kN

此时不需要再求两个竖向支座反力已可绘出整个刚架的弯矩图。因为支座反力FA与竖杆AC的轴线重合，由截面法可知，当选取该杆任意截面以下部分为隔离体时，无论FA多大都不会对AC杆产生弯矩。同理，支座反力FBy对BD杆的弯矩也不会产生影响。因此杆AC和杆BD的弯矩图可以作出。然后，根据结点C的力矩平衡条件，如图3－36（c）所示，可得

MCD＝20kN·m（上侧受拉）

再考虑结点D的平衡条件，如图3－36（d）所示，可得

MDC＝（30＋10）kN·m＝40kN·m（上侧受拉）

这样，即可根据求出的横梁CD两端的弯矩值，用叠加法绘制该段梁的弯矩图，整个刚架弯矩图如图3－36（b）所示。

根据已绘出的弯矩图，利用微分关系或杆端的平衡条件可作出刚架的剪力图，如图3－36（e）所示。然后，根据剪力图，考虑各结点的平衡条件即可求出各段梁的轴力。例如取结点D为隔离体，如图3－36（f）所示，由平衡方程∑X＝0和∑Y＝0可得

NDC＝－5kN（压力）

NDB＝－28.3kN（压力）

结点C处的各杆轴力可用同样的方法求得，从而可绘制出整个刚架的轴力图，如图3－36（g）所示。