2.4 多跨静定梁

2.4.1 多跨静定梁的几何组成

多跨静定梁是由若干根梁用铰连接，并用若干支座与基础相连组成的静定结构。多跨静定梁一般要跨越几个相连的跨度，是工程中广泛使用的一种结构形式。例如房屋建筑中的木檩条梁（见图3－23（a））和公路桥梁（见图3－24（a））等。

多跨静定梁按其几何组成特点有两种基本形式：第一种组成方式如图3－23（b）所示，除左边第一跨外，其他各跨均有一铰，即在外伸梁AB的基础上依次加上BC、CD两根梁；第二种组成方式如图3－24（b）所示，无铰跨与有两个铰的跨交替出现，即在外伸梁AB、CD中间架上BC跨。在实际工程中，有些多跨梁还会采用这两种方式混合的形式。

从几何组成上看，多跨静定梁的各部分可以分成基本部分和附属部分。如图3－23（b）所示， AB梁由三根支座链杆与地基相连，它不依赖其他部分的存在，就能独立地维持其几何不变性，称为基本部分。而BC梁则必须依靠基本部分的AB梁才能维持其几何不变性，CD梁也必须依靠AC部分才能维持其几何不变性，称为附属部分。同理，在图3－24（b）中，AB梁和CD梁是基本部分，而BC梁是附属部分。显然，附属部分是靠基本部分支承才能维持其几何不变性的，如果附属部分被破坏或撤除，基本部分仍为几何不变；反之，如果基本部分被破坏或撤除，则附属部分必然连同破坏或倒塌。为了更清晰地说明它们各部分之间的支承关系，可以用如图3－23（c）和图3－24（c）所示的这种把基本部分画在下层，而把附属部分画在上层的层次图来表示。

2.4.2 多跨静定梁的内力计算

把多跨静定梁的基本部分和附属部分用层次图表示后，多跨静定梁就被拆成了若干单跨静定梁。从受力分析来看，由于基本部分直接与地基组成为几何不变体系，因此它能独立地承受荷载而维持平衡。当荷载作用于基本部分时，由平衡条件可知，将只有基本部分受力，附属部分不受力。当荷载作用在附属部分上时，则不仅附属部分受力，而且由于它是支承在基本部分上的，其反力将通过铰结点传给基本部分，所以使基本部分也受力。

由基本部分和附属部分的这种传力关系可知，多跨静定梁的计算顺序应该是先计算附属部分，后计算基本部分，也就是说与几何组成的顺序相反。按照这样的顺序计算，则每段梁的计算都与单跨静定梁相同，可以避免求解联立方程，最后将各段梁的内力图连在一起，即可得到多跨静定梁的内力图。

由上述可知，分析多跨静定梁的步骤可归纳如下。

（1）根据几何组成，先确定多跨静定梁的基本部分和附属部分，然后按照附属部分和基本部分的支承关系，画出层次图。

（2）根据层次图，按照先附属部分，后基本部分的原则，依次计算各段梁的反力，包括支座反力和铰结处的约束力。

（3）按照绘制单跨静定梁内力图的方法，分别作出各段梁的内力图，然后再将各部分连在一起，就是多跨静定梁的内力图。

【例3－11】 绘制如图3－25（a）所示的多跨静定梁的内力图。

【解】 （1）画层次图。

AC梁有三个支座链杆和地基相连，是基本部分；梁CE固定在梁AC上，是附属部分；梁EG固定在梁CE上，也属于附属部分。其层次图如图3－25（b）所示。

（2）求支座反力。

从层次图中可以看出，整个多跨梁由三个层次构成。在计算时，先计算梁EG，再计算梁CE，最后计算梁AC，各段梁的隔离体如图3－25（c）所示。

由平衡方程∑ME＝0，∑Y＝0得梁EG的支座反力为

FE＝2kN（↓）， FF＝4kN（↑）

将FE的反作用力F′E作为荷载加在梁CE上的E处，取CE为隔离体，求出梁CE的支座反力为

FC＝2kN（↑）， FD＝4kN（↓）

同理，将FC的反作用力F′C作为荷载加在梁AC上的C处，取AC为隔离体，求出梁AC的支座反力为

FA＝7kN（↑）， FB＝11kN（↑）

（3）绘制内力图。

各段梁的约束反力求出后，可以按照单跨静定梁的内力图分段画出各梁段的剪力图和弯矩图，再将各段梁的内力图连接在一起就得到多跨静定梁的内力图，如图3－25（d）、（e）所示。

【例3－12】 绘制如图3－26（a）所示的多跨静定梁的内力图。

【解】 （1）画层次图。

AB梁为基本部分，CF梁虽然只有两根竖向支座链杆与地基相连，但在竖向荷载作用下，仍能够维持平衡，所以在竖向荷载作用下CF梁也是基本部分，而BC梁作为附属部分，层次图如图3－26（b）所示。

（2）求支座反力。

从层次图中可以看出，整个多跨梁由两个层次构成。在计算时，先计算附属部分BC梁，再计算基本部分AB梁和CF梁，各段梁的隔离体如图3－26（c）所示。

梁上的外力均为竖向荷载，由整体平衡条件可知水平反力∑X＝0，从而可以知道梁上各铰结处的水平约束力均为0。

由平衡方程∑MB＝0，∑Y＝0得梁BC的支座反力为

FB＝FC＝5kN（↑）

将FB和FC的反作用力加到基本部分的相应截面上，其中AB梁除了承受BC梁传来的向下的5kN反力外，还需承受原作用在该截面处的4kN的集中力。各铰结点的约束力和支座反力如图3－26（c）所示。

（3）绘制内力图。

首先绘制弯矩图，从AB梁开始，此段梁为悬臂梁，且没有外力作用，弯矩图为斜直线，A截面弯矩有突变为－18kN·m，而B处为铰，弯矩为0，将以上两点连成直线即可。附属部分BC梁的中点G处有集中力作用，弯矩图会产生尖角，弯矩值大小通过计算为10kN·m，C处同样为铰，弯矩为0，分别用直线连接BG和GC，并将GC延长至活动铰支座D处所在的截面，即得BD段弯矩图。DH段梁同样为斜直线，H截面的弯矩值为－5kN·m，连线即得。最后HE和EF段梁作用有均布荷载，先绘出悬臂部分EF段的弯矩图后，HE段的弯矩图可用叠加法绘制。全梁弯矩图如图3－26（d）所示。

有了弯矩图，剪力图就可根据微分关系或平衡条件求得。对于弯矩图为直线的区段，利用弯矩图的斜率来求得剪力是非常方便的。例如AB段的剪力值为

关于剪力的正负号，可按如下方法判定：若弯矩图是从基线顺时针方向转（以小于90°的转角为基准），则剪力为正，反之为负。所以QAB为正。又例如GD段的剪力值为

对于弯矩图为曲线的梁段，如果根据弯矩图的切线的斜率来计算剪力并不方便，这时可利用梁段的平衡条件来求梁段的剪力值。例如HE梁段，可取该段梁为隔离体（在截面E作截断），由∑MH＝0和∑ME＝0可分别求得

在均布荷载作用的梁段，剪力图为斜直线，所以将以上两点的剪力连成直线即得HE段的剪力图。全梁的剪力图如图3－26（e）所示。

由上述例题可知，如果能熟练地应用弯矩图的形状特征和叠加法，则可先画弯矩图，再画剪力图，对于某些情况，还可以避免求支座反力，可大大减少计算量，提高计算效率。

2.4.3 多跨静定梁的内力特征

图3－27所示为多跨相互独立的系列简支梁及其在均布荷载q作用下的弯矩图。图3－28是和图3－27（a）具有相同跨度、相同荷载作用下的多跨静定梁及其弯矩图。比较两个弯矩图可以看出，系列简支梁的最大弯矩值比多跨静定梁的最大弯矩值要大。这是因为在多跨静定梁中布置了伸臂梁的缘故，它一方面减小了附属部分的跨度，另一方面又使得伸臂梁上的荷载对基本部分产生负弯矩，从而能抵消部分跨中荷载所产生的正弯矩。因此，系列简支梁虽然结构比较简单，但多跨静定梁的承载能力大于系列简支梁，如果是在相同荷载情况下，采用多跨静定梁会更节省材料。