2.3 单跨静定梁的内力图

2.3.1 用内力方程法绘制内力图

一般情况下，梁截面上的剪力和弯矩随截面位置的不同而变化，若以横坐标x来表示截面的位置，则各截面上的剪力和弯矩都可表示为截面位置x的函数，即

Q＝Q（x）， M＝M（x）

通常把它们分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。在写这两个方程时，一般是以梁左端为x坐标的原点，但为计算方便，有时也可将原点取在梁右端或梁上任意一点。

为了形象地表示剪力Q、弯矩M沿梁轴线的变化情况，可根据剪力方程和弯矩方程分别绘制剪力和弯矩的变化图，称为剪力图和弯矩图。

根据剪力方程和弯矩方程作剪力图和弯矩图的方法与前面轴力图的作法类似，即以梁截面沿轴线的位置为横坐标x，以截面上的剪力值或弯矩值为纵坐标，按照适当的比例绘出剪力方程或弯矩方程的图线。绘制剪力图时，一般规定正剪力画在x轴的上方，负剪力画在x轴的下方，并标明正负号；绘制弯矩图时，正弯矩画在x轴的下方，负弯矩画在x轴的上方。也就是说，把弯矩图画在梁受拉的一侧，弯矩图可以不标注正负号。这种绘制剪力图和弯矩图的方法称为内力方程法，这种方法也是绘制内力图的基本方法。

由剪力图和弯矩图可直观地确定梁的剪力、弯矩的最大值及其所在截面的位置，即梁的危险截面的位置，为梁的强度和刚度计算提供依据。另外，因为弯矩图是画在梁的受拉侧的，故钢筋混凝土梁可以根据弯矩图来配置钢筋。

【例3－4】 简支梁受到均布荷载q的作用，如图3－13（a）所示，绘制该梁的剪力图和弯矩图。

【解】 （1）求支座反力。

利用对称性，可得

FA＝FB＝

（2）列剪力方程和弯矩方程。

取图3－13中A点为坐标原点，建立x轴。取距A点距离为x处的任意截面，沿此截面将梁假想截开，取左段为研究对象，则剪力方程和弯矩方程为

Q（x）＝FA－qx＝－qx （0＜x＜l）

M（x）＝FAx－q＝x－x2 （0≤x≤l）

因为在支座反力的作用下，剪力值在A、B两个截面处有突变，所以剪力方程的适用范围用开区间表示；弯矩值在A、B两个截面处没有突变，所以弯矩方程的适用范围用闭区间表示。

（3）绘制剪力图和弯矩图。

根据剪力方程和弯矩方程分别画出剪力图和弯矩图。

由剪力方程可知，Q（x）是x的一次函数，即剪力方程为直线方程，那么剪力图则为一条斜直线。只需计算两个剪力值，即可画出剪力图。当x＝0时，；当x＝l时，。根据这两个剪力值，画出剪力图。剪力图中还需标明剪力值、正负号、图名等，还应适当地画一些与梁轴线垂直的直线。全梁剪力图如图3－13（b）所示。

由弯矩方程可知，M（x）是x的二次函数，即弯矩图是一条二次抛物线，应至少计算3个弯矩值，才可描绘出曲线的大致形状。当x＝0时，MA＝0；当x＝时，MC＝；当x＝l时， MB＝0。根据计算结果，画出弯矩图。弯矩图中还需标明弯矩值大小、图名，不需标注正负号；同时还应适当地画一些与梁轴线垂直的直线。全梁弯矩图如图3－13（c）所示。由弯矩图可见，最大弯矩发生在梁跨中间的截面上，其值为Mmax＝。该截面上的剪力值Q＝0。

从剪力图和弯矩图中可得到以下结论：在均布荷载作用下的梁段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线，抛物线的凸出方向与均布荷载的方向一致，在剪力值等于零的截面上弯矩有极值。

【例3－5】 简支梁受到集中力F的作用，如图3－14（a）所示，绘制该梁的剪力图和弯矩图。

【解】 （1）求支座反力。

由梁的整体平衡方程

∑Y＝0， FA＋FB－F＝0

∑MA＝0， FB×l－Fa＝0

解得 FA＝， FB＝

（2）列剪力方程和弯矩方程。因为梁在C处有集中力作用，故AC段和CB段的剪力方程和弯矩方程不同，要分段列出。

AC段：在距A端距离为x1的截面处将梁假想截开，取左段为研究对象，考虑平衡条件，则剪力方程和弯矩方程为

Q（x1）＝FA＝ （0＜x1＜a）

M（x1）＝FAx1＝x1 （0≤x1≤a）

CB段：在距A端距离为x2的截面处将梁假想截开，取左段为研究对象，考虑平衡条件，则剪力方程和弯矩方程为

Q（x2）＝FA－F＝－ （a＜x2＜l）

M（x2）＝FAx2－F（x2－a）＝（l－x2） （a≤x2≤l）

因为在支座A、B和梁中点C处均有集中力的作用，因此剪力在这三个截面处有突变，所以剪力方程的适用范围在AB段和CB段均用开区间表示；而弯矩值在这三个截面处均没有突变，是连续的，所以弯矩方程的适用范围用闭区间表示。

（3）绘制剪力图和弯矩图。

剪力图：AC段的剪力方程为常数，其值为，因此剪力图为一条平行于x轴的直线，且在x轴的上方。CB段的剪力方程同样为常数，其值为－，因此剪力图也是一条平行于x轴的直线，但在x轴的下方。全梁剪力图如图3－14（b）所示。

弯矩图：AC段的弯矩方程为x1的一次函数，因此弯矩图是一条斜直线，只需计算两个弯矩值就可以画出弯矩图。当x1＝0时，MA＝0；当x1＝a时，MC＝。根据计算结果可以画出AC段的弯矩图。CB段的弯矩方程为x2的一次函数，弯矩图也是一条斜直线。当x2＝a时，MC＝；当x2＝l时，MB＝0。全梁弯矩图如图3－14（c）所示。

从剪力图和弯矩图中可得到以下结论：在无荷载作用的梁段剪力图为平行于x轴的直线，弯矩图为一条斜直线。在集中力作用处，左右截面上的剪力产生突变，其突变值等于集中力的大小，突变方向与集中力方向一致。弯矩图中，在集中力作用处，直线斜率发生改变，在C点形成尖角，尖角的凸出方向与集中力的方向一致。

【例3－6】 简支梁受到集中力偶Me的作用，如图3－15（a）所示，绘制该梁的剪力图和弯矩图。

【解】 （1）求支座反力。

根据平面力偶系的性质，支座A、B处的反力FA和FB组成一力偶，因此支座A、B处反力的假设方向如图3－15（a）所示，与已知力偶Me平衡，则

FA＝FB＝

FA和FB的方向是相反的。

（2）列剪力方程和弯矩方程。

因为梁在C处有集中力偶作用，应分两段列出剪力方程和弯矩方程。

AC段：在距A端距离为x1的截面处将梁假想截开，考虑左段的平衡条件，则剪力方程和弯矩方程为

Q（x1）＝－FA＝－ （0＜x1≤a）

M（x1）＝－FAx1＝－x1 （0≤x1＜a）

CB段：在距A端距离为x2的截面处将梁假想截开，考虑左段的平衡条件，则剪力方程和弯矩方程为

Q（x2）＝－FA＝－ （a≤x2＜l）

M（x2）＝－FAx2＋Me＝（l－x2） （a＜x2≤l）

因为支座A、B处的集中力作用，剪力在A、B截面处有突变，而在集中力偶作用处C截面上，剪力的值没有发生变化，是连续的，所以剪力方程的适用范围在AB段用半开半闭区间表示，而在CB段用半闭半开区间表示；在集中力偶作用的截面C处，弯矩发生了突变，所以弯矩方程的适用范围在AB段用半闭半开区间表示，在CB段用半开半闭区间表示。

（3）绘制剪力图和弯矩图。

Q图：梁在AC段和CB段的剪力方程都是常数，其值为－，因此剪力图为一条平行于x轴的直线，且在x轴的下方。全梁剪力图如图314（b）所示。

M图：梁在AC段和CB段内的弯矩方程都是x的一次函数，所以弯矩图是一条斜直线。

AC段：当x1＝0时，MA＝0；当x1＝a时，MC左＝－。

CB段：当x2＝a时，MC右＝；当x2＝l时，MB＝0。

根据计算结果可以画出AC段和CB段的弯矩图，如图3－14（c）所示。

从剪力图和弯矩图中可得到以下结论：梁在集中力偶作用下，左右截面上的剪力无变化，所以当梁只受到集中力偶作用时，不论集中力偶作用在梁的任何截面上，梁的剪力图都不会发生变化，即集中力偶对剪力图没有影响。而在集中力偶作用处，弯矩将出现突变，突变值的大小等于该集中力偶矩。

例3－4、例3－5、例3－6分别绘制了简支梁在均布荷载、集中力、集中力偶作用下的内力图。读者可自行利用前文提到的内力方程法绘制悬臂梁和外伸梁在不同外力作用下的内力图。

2.3.2 用微分关系法绘制内力图

对于梁来说，微分关系主要指荷载集度和剪力、弯矩之间的微分关系。

前文从直观上总结出了剪力图、弯矩图的一些规律和特点，现进一步讨论剪力、弯矩和荷载集度之间的关系，利用此关系及其几何意义从理论上进一步总结内力图的规律，以便绘制或校核剪力图和弯矩图。

有一简支梁受到任意的分布荷载、集中力、集中力偶的作用。取A点为坐标原点，x轴以向右为正，如图3－16（a）所示。现取分布荷载作用下的一微段dx来进行研究。

由于微段dx的长度非常小，因此，可认为在微段上作用的分布荷载q（x）是均布的。设微段左侧截面上的剪力和弯矩的大小分别为Q和M，微段右侧截面上的剪力和弯矩的大小分别为Q＋d Q和M＋d M。这里将剪力和弯矩都设为正向。

微段dx处于平衡状态，由

∑Y＝0， Q－q（x）dx－［Q＋d Q］＝0

得

＝－q（x）

上式说明：梁上任一横截面处的剪力对x的一阶导数等于作用在该截面处的分布荷载的集度。这一微分关系式的几何意义是：剪力图上某点切线的斜率等于相应的截面处的分布荷载的集度，但符号相反。

再由 ∑MC＝0， －M－Qdx＋q（x）dx＋M＋d M＝0

上式中，C点为微段dx右侧截面的形心，经过整理并略去高阶微量q（x）后，得

＝Q

上式说明：梁上任一截面的弯矩对x的一阶导数等于该截面上的剪力。这一微分关系式的几何意义是：弯矩图上某点切线的斜率等于相应截面上的剪力。因此，可以根据剪力的符号确定弯矩图的倾斜趋势。

再将＝Q两边对x求导，得

＝＝－q（x）

上式说明：梁上任一截面处的弯矩对x的二阶导数等于该截面处的分布荷载的集度。这一微分关系式的几何意义是：弯矩图上某点的曲率等于相应截面处的荷载集度，即可以用荷载集度的方向确定弯矩图的凹凸方向。

利用弯矩、剪力和荷载集度之间的微分关系及其几何意义，可以推知荷载情况与内力图形状之间的一些对应规律。

1.在无荷载作用的梁段上，即q（x）＝0时

由＝－q（x）＝0可知，该梁段各截面上的剪力Q为常数，所以剪力图是一条平行于x轴的直线。再由＝Q为常数可知，弯矩M是x的一次函数，因此弯矩图是一条斜直线，其倾斜方向由剪力符号决定：

当Q＞0时，弯矩图为一条向下倾斜的直线；

当Q＜0时，弯矩图为一条向上倾斜的直线；

当Q＝0时，弯矩图为一条平行于x轴的直线。

2.均布荷载作用梁段，即q（x）＝常数≠0时

由＝－q（x）＝常数可知，剪力Q是x的一次函数，所以剪力图是一条斜直线。再由＝＝－q（x）＝常数可知，弯矩是x的二次函数，所以弯矩图是一条二次抛物线。

当q（x）＞0（均布荷载方向向上）时＝－q（x）＜0，＝－q（x）＜0，剪力图为向上倾斜的直线，弯矩图为向上凸、开口向下的二次抛物线。

当q（x）＜0（均布荷载方向向下）时，＝－q（x）＞0，＝－q（x）＞0，剪力图为向下倾斜的直线，弯矩图为向下凸、开口向上的二次抛物线。

再由＝Q还可知，若截面上的剪力Q＝0时，则该截面上的弯矩M必为极值。当剪力从正变负时，弯矩有极大值；当剪力由负变正时，弯矩有极小值。即剪力等于0的截面上，弯矩取极值；反之弯矩取极值的截面上，剪力必为0。

现将有关弯矩、剪力与荷载之间的关系及内力图的一些特征如表3－1所示，掌握了内力图形状上的特征，对于正确和迅速地绘制内力图很有帮助。

应用上述梁的剪力、弯矩与荷载之间的规律，就可以根据梁段内荷载的分布情况来确定该梁段的剪力图和弯矩图的形状，作图时不必列方程，只需求出梁上某几个控制截面的内力值，就可以画出内力图。这种作梁的内力图的方法，通常称为用简易法作内力图。同时我们还可以用这些规律来校核剪力图和弯矩图的正确性，避免作图时出现错误。

用简易法绘制内力图的一般步骤是如下。

（1）求反力（悬臂梁可不必求反力）。

（2）分段，即根据梁上外力及支承等情况将梁分成若干段。凡外力不连续处均应作为分段点，例如集中力和集中力偶作用处、均布荷载起止点等。这样根据外力情况就可以判断各段梁上的内力图形状。

（3）定点，根据各段梁的内力图形状，选定所需的控制截面，例如集中力和集中力偶作用点两侧的截面、均布荷载起止点等，用截面法求出这些截面的内力值，并将它们在内力图上标出。

（4）连线，根据各段梁上内力图的形状，逐段绘出梁的弯矩图和剪力图。

【例3－7】 绘制图3－17（a）所示的外伸梁的剪力图和弯矩图。

【解】 （1）计算支座反力。

由梁的平衡方程∑MA＝0和∑MC＝0，得

FA＝8kN， FC＝20kN

梁上的外力将梁分成AB、BC和CD三段，逐段作出内力图。

（2）绘制剪力图。

AB段：该梁段为无荷载作用的梁段，剪力图为水平线。在支座反力FA作用的截面A上，剪力图向上突变，突变值等于FA的大小，即QA＝8kN。

BC段：该梁段上无荷载作用，剪力图同样为水平线。在集中力F作用的横截面B上，剪力产生向下的突变，突变值等于F的大小20kN，突变前的剪力QB左＝QA＝8kN，突变后的剪力QB右＝（8－20）kN＝－12kN。

CD段：该梁段受到向下的均布荷载作用，剪力图为向下倾斜的直线，需要计算两个控制截面的剪力。截面C因为受到支座反力FC的作用，剪力向上突变，突变值为20kN。突变前QC左＝QB右＝－12kN，突变后QC右＝（－12＋20）kN＝8kN。截面D处于梁端，且没有受到集中力作用，故QD＝0。全梁剪力图如图3－17（b）所示。

（3）绘制弯矩图。

AB段：此梁段无荷载作用，且剪力为正，弯矩图为向下倾斜的直线。截面A上的弯矩MA＝0。截面B上的弯矩为

MB＝FA×2＝（8×2）kN·m＝16kN·m

BC段：此梁段无荷载作用，且剪力为负，弯矩图为向上倾斜的直线。截面C的弯矩为

MC＝（FA×4－F×2）kN·m＝－8kN·m

CD段：此梁段受到向下均布荷载作用，弯矩图为向下凸的二次抛物线。截面D上的弯矩MD＝0。全梁弯矩图如图3－17（c）所示。

梁的最大剪力发生在BC段的各截面上，其值为＝12kN。最大弯矩发生在截面B处，其值为＝16kN·m。

【例3－8】 绘制如图3－18（a）所示的简支梁的剪力图和弯矩图。

【解】 （1）计算支座反力。

由梁的平衡方程∑MA＝0和∑MB＝0，得

FA＝44kN， FB＝36kN

梁上的外力将梁分成AC、CD、DE、EG和GB五段，逐段作出内力图。

（2）绘制剪力图。

AC段：该梁段为无荷载作用的梁段，剪力图为水平线。在支座反力FA作用的截面A上，剪力图向上突变，突变值等于FA的大小44kN，即QA＝44kN。

CD段：该梁段上无荷载作用，剪力图同样为水平线。在集中力作用的截面C上，剪力产生向下的突变，突变值为集中力的大小20kN，突变前的剪力QC左＝QA＝44kN，突变后的剪力QC右＝FA－20kN＝24kN。

DE段：该梁段受到向下的均布荷载作用，剪力图为向下倾斜的直线，需要计算两个控制截面的剪力。截面D的剪力QD＝QC右＝24kN；截面E的剪力为QE＝FA－20kN－（15×4）kN＝－36kN。

EB段：EG段和GB段上无荷载作用，横截面G上受集中力偶作用，因集中力偶对剪力图没有影响，所以EB段的剪力图为水平线。QE＝QB＝（44－20－15×4）kN＝－36kN。全梁剪力图如图3－18（b）所示。

（3）绘制弯矩图。

AC段：此梁段无荷载作用，且剪力为正，弯矩图为向下倾斜的直线。截面A上的弯矩MA＝0。截面C上的弯矩为

MB＝FA×2＝88kN·m

CD段：此梁段无荷载作用，且剪力为正，弯矩图为向下倾斜的直线。截面D上的弯矩为

MD＝FA×4－（20×2）kN·m＝136kN·m

DE段：此梁段受到向下均布荷载作用，弯矩图为向下凸的二次抛物线。截面E上的弯矩ME＝［FA×8－（20×6）－（15×4×2）］kN·m＝112kN·m。

EG段：此梁段无荷载作用，且剪力为负，弯矩图为向上倾斜的直线。G点左侧截面上的弯矩为MG左＝［FA×10－（20×8）－（15×4×4）］kN·m＝40kN·m。

GB段：此梁段无荷载作用，剪力为负，所以弯矩图为向上倾斜的直线。截面G上受到集中力偶作用，力偶矩为顺时针转向，故弯矩图向下突变，突变值等于集中力偶的大小20kN·m，G点右侧截面上的弯矩为

MG右＝［FA×10－（20×8）－（15×4×4）＋32］kN·m＝72kN·m

截面B上的弯矩MB＝0。

最后，为了求出最大弯矩值Mmax，应确定DE段剪力为0处的位置。剪力为0的截面H的位置可由比例求出，设DH＝x，＝，可得x＝1.6m。最大弯矩为

Mmax＝［44×（4＋1.6）］kN·m－［20×（2＋1.6）］kN·m－（15×1.6×12×）1.6kN·m

＝155.2kN·m

全梁的弯矩图如图3－18（c）所示。

2.3.3 叠加法绘制内力图

梁在小变形的情况下，其支座反力、内力等参数均与荷载成线性关系，每一个荷载单独作用时引起的某一参数变化不受其他荷载的影响，因此，梁在多个荷载共同作用时所引起的内力，就等于各个荷载单独作用时所引起的内力的代数和，这种关系称为叠加原理。根据这个原理可以用叠加的方法绘制梁的内力图。利用叠加法作内力图是一种简便的作图方法，可以避免求支座反力。由于剪力图一般比较简单，可不用叠加法来绘制。本文只讨论用叠加法作弯矩图的方法。

如图3－19（a）所示的简支梁，梁上作用的荷载分为两个部分：均布荷载q和端部集中力偶MA、MB。下面利用叠加法来绘制该梁的弯矩图。

根据叠加原理，在均布荷载q和集中力偶MA、MB共同作用下，该梁每个截面上的弯矩是均布荷载q和集中力偶MA、MB分别作用时该截面上的弯矩相叠加。当端部力偶MA、MB单独作用时梁的弯矩图为一条斜直线，如图3－19（b）所示；当均布荷载q单独作用时，梁的弯矩图为一条二次抛物线，如图3－19（c）所示。将这两个弯矩图叠加，即可得到梁在均布荷载q和集中力偶MA、MB共同作用下的弯矩图，如图3－19（d）所示。

应当注意的是，这里所描述的弯矩图的叠加，并非是两个图形的简单拼合，而是指纵坐标的叠加。在实际作图时，通常不必作出图3－19（b）和图3－19（c），而可直接作出图3－19（d）。方法是：先将两端弯矩MA、MB绘出并连成直线，如图3－19（d）中虚线所示，然后以此虚线为基线叠加上简支梁在集中力F作用下的弯矩图。因为这里的弯矩图的叠加，是指纵坐标的叠加，所以图3－19（d）所示的中点竖标值仍应沿竖向量取（而不是垂直于MA、MB连线方向）。这样，最后得到的图线与最初的水平基线之间所包含的图形即为叠加后的弯矩图。

用此方法绘图时需注意以下两点。

（1）用叠加法绘制弯矩图时宜先画直线形的弯矩图，再叠加上曲线形或折线形的弯矩图。

（2）用叠加法绘制弯矩图时，一般不能直接求出最大弯矩的精确值。如要求全梁的最大弯矩，应另行通过计算得到。

上述简支梁弯矩图的叠加法，可以推广应用于直梁的任一区段，现以图3－20（a）所示的简支梁的区段AB为例进行说明。

将梁段AB作为隔离体从整个梁中取出，如图3－20（b）所示，该梁段上的作用力除了均布荷载q外，在A、B截面上还有弯矩MA、MB和剪力QA、QB。为了说明梁段AB的弯矩图的特性，将它与图3－20（c）所示的简支梁进行比较，该简支梁跨度与梁段AB的长度相同，并承受相同的均布荷载q和相同的弯矩MA、MB，同时设该简支梁的支座反力FA、FB分别与QA、QB相等，这样两者的受力完全相同，因此两者的弯矩图也相同，故可以利用作简支梁弯矩图的方法来作梁段AB的弯矩图。按照前述作简支梁弯矩图的叠加法，可先求出梁段两端的弯矩竖标，并将这两个竖标的顶点用虚线相连，然后以此虚线为基线，将简支梁在均布荷载q作用下的弯矩图叠加，最后得到的曲线与水平基线之间所包含的图形即为实际的弯矩图，如图3－20（d）所示。此时，图3－20（c）所示的简支梁称为梁段AB的相应简支梁。这种把梁段当做相应简支梁，并利用叠加法来绘制该梁段弯矩图的方法，称为区段叠加法。

利用区段叠加法绘制梁段的弯矩图，可归纳成如下的两个主要步骤。

（1）选择梁上外力作用不连续点，如集中力作用点、集中力偶作用点、分布荷载的起点和终点、支座结点等，作为控制截面，并求出控制截面的弯矩值。

（2）当控制截面间无均布荷载作用时，用直线连接两控制截面上的弯矩值就绘出了该段的弯矩图；当控制截面间有均布荷载作用时，先用虚线连接两控制截面上的弯矩值，然后以此虚线为基线，叠加上该段在均布荷载单独作用下的相应简支梁的弯矩图，从而绘出该段的弯矩图。

【例3－9】 绘制如图3－21（a）所示的梁的剪力图和弯矩图。

【解】 （1）计算支座反力。

取全梁为隔离体，由平衡方程∑MB＝0，有

FA×8－20×9－30×7－5×4×4－10kN·m＋16＝0

得 FA＝58kN

再由∑Y＝0，可得

FB＝（20＋30＋5×4－58）kN＝12kN

（2）绘制剪力图。

根据荷载的作用情况，可以把整个梁分成CA、AD、DE、EF和FB五段，利用均布荷载、集中力、集中力偶和剪力之间的微分关系绘制梁的剪力图。CA、AD、DE段上无荷载作用，FB段上的集中力偶对剪力无影响，各段的剪力Q为常数，剪力图为水平线。EF段有均布荷载作用，剪力图是一条斜直线。先用截面法计算各控制截面上的剪力值：

QC右＝－20kN

QA右＝（－20＋58）kN＝38kN

QD右＝（－20＋58－30）kN＝8kN

QE＝QD右＝8kN

QF＝－12kN

QB右＝0

在基线上依次定出以上各点的竖标，绘出的剪力图如图3－21（b）所示。

（3）绘制弯矩图。

选择C、A、D、E、F、G、B处作为控制截面，用截面法求出各控制截面上的弯矩值：

MC＝0

MA＝（－20×1）kN·m＝－20kN·m

MD＝（－20×2＋58×1）kN·m＝18kN·m

ME＝（－20×3＋58×2－30×1）kN·m＝26kN·m

MF＝（12×2－16＋10）kN·m＝18kN·m

MF左＝（12×1－16＋10）kN·m＝6kN·m

MF右＝（12×1－16）kN·m＝－4kN·m

MB左＝－16kN·m

在基线上依次定出各点竖标。CA、AD和DE段为无荷载作用段，用直线把相邻竖标相连即可。EF段为均布荷载作用梁段，先用虚直线将E、F点的弯矩值相连，然后用区段叠加法，在虚直线的基础上叠加上相应简支梁在均布荷载作用下的弯矩图，如图3－21（d）所示。FB段的G点有集中力偶作用，弯矩图在截面G处出现突变，突变值等于集中力偶的大小，然后连接直线即可，全梁弯矩图如图3－21（c）所示。

在用区段叠加法作均布荷载作用的梁段EF的弯矩图时，需计算梁段中点H处的弯矩值，为

＝（22＋10）kN·m＝32kN·m

最后，为了求出最大弯矩值Mmax，应确定剪力为0处即截面K的位置，由比值关系可知，x＝1.6m，则

2.3.4 斜梁的内力图

在工程中，经常会遇到轴线倾斜的梁，这种梁称为斜梁，如楼梯梁、锯齿形楼盖等。计算斜梁的内力仍采用截面法，内力图的绘制和水平梁类似。斜梁所承受的荷载主要有两种：一种是沿斜梁水平投影长度分布的荷载，例如楼梯上人群的重量等；另一种是沿斜梁轴线方向分布的竖向荷载，例如梁的自重等。

一般在计算时，为了计算简便可将沿斜梁轴线方向分布的竖向荷载按等值转换为沿水平方向分布的竖向荷载。下面举例加以说明。

【例3－10】 绘制如图3－22（a）所示楼梯斜梁的剪力图和弯矩图。

【解】 （1）荷载换算。

楼梯斜梁的荷载由两部分组成：一部分是沿水平方向的均布荷载q1；另一部分是沿轴线方向的均布荷载q2，为了计算方便，现将沿楼梯轴线方向的均布荷载q2换算成沿水平方向的均布荷载q0，如图3－22（b）所示。

设斜梁长为l0，水平投影长度为l，因为荷载转换需要等值转换，所以有

q2l0＝q1l

即

q1＝q2＝q2cosα

则沿水平方向的总的均布荷载为

q＝q1＋q2cosα

（2）求支座反力。

取整体为研究对象，根据平衡条件可以求得支座反力为

FAx＝0， FAy＝FBy＝ql

（3）用截面法计算斜梁的内力。

在梁上任取一截面K，AK的水平投影长度为x，取AK段为隔离体，如图3－22（c）所示，均布荷载q和支座反力FAy在沿梁轴线方向（T）的分力分别为qxsinα、FAysinα，在梁的法线方向（n）的分力分别为qxcosα、FAycosα，列平衡方程：

∑T＝0， FAysinα－qxsinα＋N（x）＝0， N（x）＝（qx－）sinα

∑n＝0， FAycosα－qxcosα－Q（x）＝0， Q（x）＝－q（）x cosα

∑MK＝0， FAyx－qx－M（x）＝0， M（x）＝（l－x）

（4）绘制内力图。根据轴力、剪力和弯矩的表达式，绘制内力图，以梁轴为坐标轴，内力图的竖标垂直于梁轴，如图3－22（d）、（e）、（f）所示。

由内力图可知：弯矩图为一条二次抛物线，跨中弯矩为，它与承受相同荷载的水平简支梁完全相同，剪力图与同样条件下的水平简支梁的剪力图形状相同，而其数值是水平简支梁的cosα倍。