2.2 梁的内力——剪力和弯矩

2.2.1 用截面法求指定截面的内力

为进行梁的设计，需求梁的内力。为此，应根据平衡条件先求得静定梁在荷载作用下的支座反力。当确定了梁上的外力后，其截面上的内力可用截面法求得。

如图3－10（a）所示为一受集中力作用的简支梁，荷载F和支座反力FA、FB是作用在梁的纵向对称面内的平衡力系，现用截面法求其任意截面m—m上的内力。

以A点作为坐标原点，平行于梁轴线方向为x轴，建立坐标系，设m—m截面距A端的距离为x。假想沿截面m—m将梁截开，任取其中一段，例如，取左段作为研究对象，进行受力分析，截开的截面处受到右段的作用，用内力来表示，如图3－10（b）所示。因梁原来处于平衡状态，所以左段在外力及截面内力的共同作用下也处于平衡状态。因为支座反力FA的作用，为使左段满足∑Y＝0，截面m—m上必有一与FA等值、反向且平行的内力Q存在，这个内力Q称为剪力。同时，因支座反力FA对截面m—m的形心O有一力矩x FA的作用，为满足∑MO＝0，截面m—m上也必然有一个与力矩x FA大小相等且转向相反的内力偶矩M存在，这个内力偶矩M称为弯矩。

剪力和弯矩的大小，可由左段梁的静力平衡方程求得：

∑Y＝0， FA－Q＝0

∑MO＝0， M－FA·x＝0

解得 Q＝FA， M＝FA·x

如果取右段梁为研究对象，同样可以求出横截面m—m上的剪力Q和弯矩M。根据作用力与反作用力关系，它们与从左段梁上求得的结果大小相等、方向相反，如图3－10（c）所示。

通过以上计算不难看出，对于直梁，当所有外力均垂直于梁轴线时，截面上的内力只有剪力和弯矩，没有轴力。

2.2.2 剪力和弯矩的正负号规定

为了使由左右两段梁求出的截面m—m上的剪力Q和弯矩M不仅大小相等，而且正负号一致，并考虑土建工程的习惯要求，通常根据变形来规定Q、M的正负号。

1.剪力的正负号

当截面上的剪力Q绕所取梁段顺时针转动时为正，反之为负，如图3－11（a）所示。

2.弯矩的正负号

当截面上的弯矩M使所取梁段的上侧部分受压、下侧部分受拉时为正，反之为负，如图3－11（b）所示。

【例3－3】 如图3－12（a）所示梁的计算简图。已知F1＝10kN，F2＝20kN，a＝2m，b＝3 m，c＝1.5m，d＝1m和l＝5m。试求梁在E、F点处截面的剪力和弯矩。

【解】 （1）计算梁的支座反力。

在支座A、B处表示出支座反力FA和FB，分别以A、B点为矩心列平衡方程：

∑MA＝0， FB×5－10×2－20×3＝0

∑MB＝0， FA×5－10×3－20×2＝0

解得 FA＝14kN， FB＝16kN

（2）求截面E上的剪力和弯矩。

在截面E处将梁截开，取左段梁为研究对象，画出受力图，如图3－12（b）所示，其中剪力QE、弯矩ME均假设成正向，列平衡方程：

∑Y＝0， FA－QE＝0

∑ME＝0， ME－FA×1.5＝0

解得 QE＝14kN， ME＝21kN·m

求得的QE与ME均为正值，表明截面E上内力的实际方向与假设的方向相同。

（3）求截面F上的剪力和弯矩。

在截面F处将梁截开，取右段梁为研究对象，画出受力图，如图3－12（c）所示，其中剪力QF、弯矩MF均假设成正向，列平衡方程：

∑Y＝0， FB＋QF＝0

∑MF＝0， FB×1－MF＝0

解得 QF＝－16kN， MF＝16kN·m

求得的QF为负值，表明QF的实际方向与假设方向相反，即QF为负剪力。而MF为正弯矩。

从上面例题的计算过程中可以总结出内力计算的基本规律，具体如下。

（1）求指定截面的内力时，既可以取梁的左段为研究对象，也可以取梁的右段为研究对象，两者的计算结果是一致的，一般取外力比较简单的梁段进行计算。

（2）解题过程中，一般在假设截面上的内力时均把内力的方向假设为正向。最后的计算结果如果为正，表示该截面上的剪力和弯矩为正，其方向与假设方向相同；如果计算结果为负，表示该截面上的剪力和弯矩为负，其方向与假设方向相反。

（3）梁任一截面上的剪力Q，其数值等于该截面左段（或右段）梁上所有外力的代数和。截面左段梁上向上的外力或右段梁上向下的外力会使该截面产生正的剪力，反之为负。

（4）梁任一截面上的弯矩M，其数值等于该截面左段（或右段）梁上所有外力对该截面形心之矩的代数和。截面左段梁上所有向上的力或顺时针转向的外力偶会使该截面产生正弯矩；截面右段梁上所有向上的力或逆时针转向的外力偶也使该截面产生正弯矩；反之为负。