5.2 几何不变体系的组成规则

5.2.1 几何不变体系的组成规则

1.三刚片规则

三个刚片用不在同一直线上的三个铰两两相连所组成的体系称为几何不变体系，且无多余约束，如图2－54（a）所示。由于两根链杆的作用相当于一个单铰，故可将A、B、C三个铰转化为分别由两根链杆所构成的三个虚铰A′、B′、C′，且三个虚铰也不能在同一直线上，如图2－54（b）所示。

2.两刚片规则

两个刚片用一个单铰和一个不通过该铰的链杆相连，组成无多余约束的几何不变体系。由于两根链杆相当于一个单铰，故两刚片规则也可以表述为：两刚片用三根不交于一点且不完全平行的链杆相连，组成无多余约束的几何不变体系，如图2－55所示。

3.二元体规则

在一个刚片上增加一个二元体仍为几何不变体系。所谓二元体是指由两根不在同一直线上的链杆连接一个新结点的装置，如图2－56所示。这种新增加的二元体不改变原体系的自由度，因为在平面内新增加一个点就会增加两个自由度，而新增加的两根不共线的链杆，恰好能减去新结点的两个自由度，故对原体系来说，自由度的数目没有变化。由此可见，在一个已知体系上依次加入二元体，不会改变原体系的自由度数目，也不会影响原体系的几何不变性或可变性。同理，若在已知体系上依次撤去二元体，也不会影响原体系的几何不变性或可变性。

5.2.2 瞬变体系

值得指出的是，在上述几项规则中，都提出了一些限制条件，如连接两刚片的三链杆不能全部交于一点也不能平行，连接三刚片的三个铰不能在同一直线上，等等。如图2－57（a）所示，两刚片用全部交于一点O的三根链杆相连，此时，两个刚片可以绕O点作相对转动。但是，当发生一微小的转动后，三根链杆就不会全部交于一点，从而将不再继续发生相对转动。这种在某一瞬间可以产生微小运动，然后就不能继续运动的体系，称为瞬变体系。又如图2－57（b）所示，两个刚片用三根相互平行但不等长的链杆相连，此时，两刚片可以沿链杆垂直的方向发生相对移动，但当发生一微小的相对移动后，此三根链杆不再相互平行，故这种体系也是瞬变体系。应当注意，若三根平行链杆为等长，如图2－57（c）所示，则当两刚片发生一相对运动后，此三根链杆仍旧相互平行，其运动将继续发生，故这种体系便是几何可变的。

对瞬变体系而言，虽然只发生一微小变动后就会成为几何不变体系，但它不能作为工程结构使用。这是由于瞬变体系受力时会产生很大的内力而导致结构破坏。在如图2－58所示的体系中，设在外力P的作用下，A点运动到A′点，取A点作为研究对象，由A点的平衡条件可得到：

∑Fx＝0， －N1cosθ＋N2cosθ＝0

∑Fy＝0， －P＋N1sinθ＋N2sinθ＝0

解方程得

N1＝N2＝

因θ很小，所有 N1＝N2＝＝∞

由此可知，AB杆、AC杆内将产生无限大的内力，从而导致体系的破坏。

5.2.3 几何组成分析举例

应用几何不变体系组成规则对体系进行几何组成分析的关键是恰当地选取基础、体系中的杆件或可判别为几何不变的部分作为刚片，应用规则扩大其范围，如能扩大至整个体系，则体系为几何不变的；如不能，则应把体系简化成两至三个刚片，再应用规则进行分析。体系中如有二元体，则先将其逐一撤除，以使分析简化。若体系与基础是按两刚片规则连接时，则可先撤去这些支座链杆，只分析体系内部杆件的几何组成性质。

【例2－18】 试对图2－59所示的体系进行几何组成分析。

【解】 依次撤去二元体EFG、CDH后的体系应与原体系有相同的几何组成。根据两刚片规则，AC与地基通过三根不交于同一点且不完全平行的链杆相连，因此，该体系为几何不变体系，且无多余约束。

【例2－19】 试对图2－60所示的体系进行几何组成分析。

【解】 将ABC、DEF分别当做刚片Ⅰ、Ⅱ，此两刚片用BE、CE、CD三根不完全平行也不全交于一点的链杆相连，就是几何不变体系，但多了一个链杆BD，所以，整个体系为几何不变体系，且有一个多余约束。

【例2－20】 试对图2－61（a）所示的体系进行几何组成分析。

【解】 将三角形ABE、ECD分别当做刚片Ⅰ、Ⅱ，地基当做刚片Ⅲ，链杆1、2相当于虚铰F，链杆3、4相当于虚铰G，且F、G、E三铰不在一条直线上，如图2－61（b）所示。由三刚片规则可知，该体系为无多余约束的几何不变体系。

5.2.4 体系几何组成与静定性的关系

前面已经说明，只有几何不变的体系才能作为结构。几何不变体系又有无多余约束和有多余约束两类。对于无多余约束的结构，它的全部约束反力和内力都可由静力平衡方程求得，这类结构称为静定结构。对于有多余约束结构，其全部约束反力不能用静力平衡方程求得，需补充其他方程才能求得，这类结构称为超静定结构。未知力总数与静力平衡方程总数的差值，即多余约束的数目，称为超静定次数。