3.2 平面力系的平衡方程及其应用

3.2.1 平面力系的平衡方程

1.基本形式

如果平面力系的主矢和对平面内任一点的主矩均为零，则力系平衡。反之，若平面力系平衡，则其主矢、主矩必同时为零。假如主矢和主矩有一个不等于零，则平面力系简化为一个力或一个力偶，平面力系就不能平衡。因此，平面力系平衡的充分必要条件是：平面力系的主矢和对平面任一点的主矩都等于零。即

因为，所以有

式（2－18）称为平面力系的平衡方程的基本形式，又称为一矩式平衡方程，其中前两式称为投影方程，它表示平面力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零；后一式称为力矩方程，它表示平面力系中所有各力对平面任一点之矩的代数和等于零。

平面力系的平衡方程除了式（2－18）所示的基本形式外，还有其他两种形式。

2.二矩式

由一个投影方程和两个力矩方程组成，其形式为

式中A、B两点的连线不能与x轴（或y轴）垂直。

3.三矩式

由三个力矩方程组成，其形式为

式中A、B、C三点不能在同一直线上。

平面力系有三种不同形式的平衡方程，在解题时可根据具体情况选取其中任意一种形式。平面力系只有三个独立的平衡方程，只能求解三个未知量。任何第四个方程都不会是独立的，但可以利用这个方程来校核计算的结果。

3.2.2 平面力系平衡方程的应用

应用平面力系的平衡方程求解平衡问题的步骤如下。

（1）选取研究对象。根据已知条件和待求量，选择合适的研究对象。

（2）画受力图。画出所有作用于研究对象上的外力。

（3）列平衡方程。选择适当的坐标轴和力矩中心，列出平衡方程。坐标轴应尽量选取与力系中多个未知力平行或垂直，矩心选在两个未知力作用方向的交点上，尽量使一个方程只包含一个未知量，避免解联立方程。

（4）解方程，求解未知量。

【例2－10】 梁AB如图2－37（a）所示，在其上作用有集中力F和集中力偶M0＝Fa，试求A、B处的支座反力。

【解】 （1）选取研究对象。选梁AB作为研究对象。

（2）画受力图。梁AB除受主动力作用下，在支座A处还受约束反力FAx、FAy的作用，在支座B处受到约束反力FBy的作用，指向假定如图2－37（b）所示。

（3）列平衡方程并求解。

∑Fx＝0， FAx＝0

∑MA（Fi）＝0，FBy·3a－F·2a＋M0＝0

解得

FBy＝＝

∑Fy＝0， FAy＋FBy－F＝0

解得

FAy＝F－FBy＝

【例2－11】 梁AB如图2－38（a）所示，一端是固定端，另一端无约束，梁自重忽略不计，均布荷载q＝10kN／m，集中荷载P＝200kN，其作用线与x轴夹角为45°，l＝6m，求固定端A处的反力。

【解】 （1）选取研究对象。选梁AB作为研究对象。

（2）画受力图。梁AB除受主动力作用，在固定端A处还受约束反力FAx、FAy和约束反力偶MA的作用，指向假定如图2－38（b）所示。

（3）列平衡方程并求解。

∑Fx＝0， FAx－Pcos45°＝0

解得

FAx＝Pcos45°＝200kN×＝141.42kN

∑Fy＝0， FAy－ql－Psin45°＝0

解得

FAy＝ql＋Psin45°＝（10×6＋200）kN＝201.42kN

∑MA（Fi）＝0， MA－ql－Psin45°×l＝0

解得

MA＝ql＋Psin45°×l＝（10×6×6／2＋200 ××）6kN·m＝1 028.53kN·m

【例2－12】 如图2－39（a）所示的外伸梁，梁长为3l，均布荷载大小为q，集中力F＝ql／2，集中力偶M0＝3ql 2／2，求AB梁的约束力。

【解】 （1）选取研究对象。选梁AB作为研究对象。

（2）画受力图。梁AB除受主动力作用，在支座A处还受约束反力FAx、FAy的作用，在支座D处受到约束反力FDy的作用，指向假定如图2－39（b）所示。

（3）列平衡方程并求解。

∑MA（Fi）＝0， FDy·2l＋M0＋F·3l－ql·＝0

解得

FDy＝－

∑Fx＝0， FAx＝0

∑Fy＝0， FAy＋FDy＋F－ql＝0

解得

FAy＝－＋ql＝

3.2.3 平面力系的几中特殊情况

1.平面汇交力系

对于平面汇交力系，式（2－18）中的力矩方程自然满足，因此其平衡方程为

平面汇交力系只有两个独立的平衡方程，只能求解两个未知量。

【例2－13】 如图2－40（a）所示，支架由AB杆、BC杆组成，A、B、C处均为光滑铰链，在铰B上悬挂重物G＝20kN，杆件自重忽略不计，试求AB杆、BC杆所受的力。

【解】 （1）选取研究对象。选铰B作为研究对象。

（2）画受力图，如图2－40（b）所示。

（3）列平衡方程并求解。

∑Fy＝0， FBCsin30°－G＝0

解得

FBC＝＝2G＝2×20kN＝40kN

∑Fx＝0， FBCcos30°－FBA＝0

解得

FBA＝FBCcos30°＝40 ×kN＝34.6kN

2.平面力偶系

对于平面力偶系，式（2－18）中的投影方程自然满足，且由于力偶对平面内任一点之矩都相同，故其平衡方程为

∑M＝0 　（2－22）

平面力偶系只有一个独立的平衡方程，只能求解一个未知量。

【例2－14】 如图2－41（a）所示的梁AB，受一力偶作用，力偶矩M0＝200kN·m，梁长l＝10m，倾角α＝60°，梁的自重不计，求支座A、B的反力。

【解】 （1）选取研究对象。选梁AB作为研究对象。

（2）画受力图。梁在力偶M和A、B两支座反力FA、FB作用下处于平衡。因力偶只能与力偶平衡，故FA与FB应构成一个力偶。又FA垂直于支座A的支承面，因而梁AB的受力如图2－41（b）所示。

（3）列平衡方程并求解。

∑M＝0， －FB·d＋M0＝0

解得

FB＝＝kN＝40kN

FA＝40kN

3.平面平行力系

若平面力系中各力的作用线全部平行，则称之为平面平行力系，如图2－42所示，若取x轴垂直于各力的作用线，y轴平行于各力的作用线，显然∑Fx＝0。因此，平面平行力系的平衡方程如下。

（1）一矩式方程：

（2）二矩式方程：

式中A、B两点连线不能与各力作用线平行。

【例2－15】 塔式起重机如图2－43所示，机架中G＝700kN，其作用线通过塔架的中心，最大起重量Fp＝200kN，其作用线到右轨的距离l＝10m，最大悬臂长为12m，轨道AB的间距b＝4m。平衡荷载FQ的作用线到左轨间距a＝4m，问：保证起重机在满载和空载时都不致翻倒，求平衡荷载FQ应为多少？

【解】 取起重机为研究对象。要使起重机不翻倒，应使作用在起重机上的所有力满足平衡条件。起重机所受的力有荷载的重力Fp、机架的重力G、平衡荷载FQ，以及轨道的约束反力FA、FB。受力图如图2－43所示。

（1）当满载时，为使起重机不绕B点翻倒，这些力必须满足平衡方程∑MB＝0，在临界情况下，FA＝0，这时求出的FQ值是所允许的最小值。即

∑MB＝0， FQmin×（4＋4）＋2×G－Fp×10＝0

FQmin＝75kN

（2）当空载时，Fp＝0，为使起重机不绕A点翻倒，其上所受的力也必须满足平衡方程∑MA＝0，在临界情况下，FB＝0，这时，求出的FQ值是所允许的最大值。即

∑MA＝0， FQmax×4－2×G＝0

FQmax＝350kN

起重机实际工作时不允许处于极限状态，要使起重机不翻倒，平衡荷载在FQmin和FQmax之间，即

75kN≤FQ≤350kN