3.1 平面力系向一点的简化方法

3.1.1 力的平移定理

【定理】 作用在刚体上的力可以平移到刚体的任一点，但必须附加一个力偶，其力偶矩等于原力对新作用点的力矩，如图2－31所示。即

M＝MO（F）＝±Fd 　（2－8）

应用力的平移定理可以将一个力分解为一个力和一个力偶。反之，也可以将同一平面内的一个力F′和一个力偶矩为M的力偶合成为一个合力。

力的平移定理揭示了力对物体作用的两种效应：移动和转动。

利用力的平移定理可以分析和解决许多工程实际问题。例如，如图2－32所示的厂房柱子受偏心荷载F的作用，为分析力F的作用效应，可将力F平移至柱的轴线上成为力F′和附加力偶M，轴向力F使柱子压缩，而附加力偶M将使柱子弯曲。

3.1.2 平面力系向一点的简化

设在刚体上作用一个平面一般力系F1，F2，…，Fn，各力的作用点分别为A1，A2，…，An，如图2－33（a）所示。在平面内任意取一点O，称为简化中心。利用力的平移定理，将各力都向O点平移，得到一个汇交于O点的平面汇交力系F′1，F′2，…，F′n和一个附加的平面力偶系MO1，MO2，…， MOn，如图2－33（b）所示。这些附加力偶的力矩分别等于原力系中的各力对O点的力矩，即

MO1＝MO（F1），MO2＝MO（F2），…，MOn＝MO（Fn）　 （2－9）

平面汇交力系F′1，F′2，…，F′n可以合成为一个作用于O点的合矢量F′R，如图2－33（c）所示。即

F′R＝∑F′＝∑F 　（2－10）

式中：F′R——平面一般力系中所有各力的矢量和，称为该力系的主矢，它的大小和方向与简化中心的选择无关。

平面力偶系MO1，MO2，…，MOn可以合成为一个力偶，其力矩MO为

MO＝MO1＋MO2＋…＋MOn＝∑MO（Fi） 　（2－11）

由式（2－11）可看出，MO等于各附加力偶的力矩的代数和，也就是等于原力系中各力对简化中心O的力矩的代数和。MO称为该力系对简化中心O的主矩，它的大小和转向与简化中心的选择有关。

3.1.3 力在坐标轴上的投影

在力F作用的平面内建立直角坐标x Oy，如图2－34所示。由力F的起点A和终点B分别向坐标轴作垂线，在x、y轴上截得的线段长度ab和a1b1，冠以适当的正负号，称为F在x、y轴上的投影，分别用Fx、Fy来表示，即

由式（2－12）可知：力在某一坐标轴上的投影，等于力的大小乘以力与该轴所夹锐角的余弦值。投影的正负号规定为力F指向与坐标轴正向一致时取正号，相反时取负号。

当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影为零，则由图2－34的几何关系可以求出力F的大小和方向，即

式中：α——力F与x轴所夹的锐角，F的指向由投影的正负号来确定。

必须注意，力在坐标轴上的投影与力沿两个坐标轴的分力是两个不同的概念。力的投影是代数量，而分力是矢量。只有在直角坐标系中，力的投影和分力大小才相等。

【例2－8】 已知力F的大小为30kN，与x轴的夹角为－30°，如图2－35所示，试计算力F在坐标轴上的投影。

【解】

Fx＝Fcosα＝30cos30°＝25.98kN

Fy＝－Fsinα＝－30sin30°＝－15kN（负号表示投影与坐标轴y的方向相反）

3.1.4 主矢和主矩的计算

设主矢F′R在x、y轴上的投影分别为F′Rx、F′Ry，平面汇交力系中各力F′1，F′2，…，F′n在x、y轴上投影分别为F′xi、F′yi（i＝1，2，…，n），则

即主矢在某轴上的投影等于力系中各力在同轴上投影的代数和。求得主矢在坐标轴上的投影后，可得主矢的大小和方向分别为

主矩的计算可直接利用式（2－11）进行计算。

3.1.5 平面力系简化结果的分析

平面力系向一点简化，一般可得到一个力和一个力偶，而其最终结果分为以下三种情况。

1.简化为一个合力

当主矢F′R≠0，主矩MO＝0时，力系与一个力等效，即力系可简化为一个合力，合力等于主矢，合力的作用线通过简化中心。

当主矢F′R≠0，主矩MO≠0时，根据力的平移定理逆过程，可将F′R和MO简化为一个合力。合力的大小、方向与主矢相同，合力的作用线不通过简化中心，距简化中心O点的距离为

2.简化为一个合力偶

当主矢F′R＝0，主矩MO≠0时，力系与一个力偶等效，即力系可简化为一个合力偶，合力偶的力矩等于主矩。此时，主矩与简化中心的位置无关。

3.力系处于平衡状态

当主矢F′R＝0，主矩MO＝0时，力系相当于没有力，也没有力偶作用，即力系处于平衡状态。

【例2－9】 如图2－36（a）所示的三角形分布荷载，已知梁的长度l，分布荷载集度为q0，求该荷载的合力及其作用线的位置。

【解】 建立如图2－36（b）所示的坐标轴，离左端点距离为x处的分布荷载集度为

取微分长度dx，其上的力

d F＝q（x）dx

合力FR的大小可由积分得到：

设合力作用线通过横坐标x C的C点，应用合力矩定理，有

故合力FR的作用线离左端点的距离为

上述的计算结果表明，三角形分布荷载的合力等于荷载图的面积，合力的作用线通过荷载图的形心，合力的指向与分布力的指向相同。