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了解资产组合的预期收益率与方差，以及协方差、相关系数；掌握资产组合理论。

资产组合理论是通过资产组合的投资，在期望收益率水平既定的条件下使得风险最小，或在风险水平既定的条件下获得最大的期望收益率。

投资组合预期收益率是指构成组合的各个投资工具的预期收益率的简单加权平均数。

协方差是一种可用于度量每两个资产之间收益相互关联程度的指标。如果协方差为正，表示投资组合中这两个资产的收益呈同向变动趋势；反之，则表示投资组合中两个资产的收益呈反向变动趋势；如果协方差等于零，表示两个资产的收益变动无关。

相关系数可以用来反映在某一资产组合中，每两个资产之间的期望收益做同方向运动或反方向运动的程度。若相关系数为正，则表示两个金融资产的收益正相关；反之，则表示两个金融资产的收益负相关；如果相关系数为零，则表示两个金融资产的收益无相关性。并且相关系数总是介于-1和+1之间。

在两个资产的方差一定的情况下，如果协方差越大，即两个资产的收益变化越趋同，则资产组合的方差也就越大；反之，如果协方差越小，即两个资产的收益变化越背离，则资产组合的方差也就越小。

无差异曲线是指根据投资者对预期收益率和风险的偏好态度，按照其预期收益率对风险补偿的要求，得出的一系列满意程度相同的资产组合，这些资产组合在预期收益率和风险坐标系中所形成的一条曲线。

最优资产组合的确定的流程是经过资产分析、资产组合分析、找出有效资产组合、找到最优资产组合。

一、资产组合理论

传统的资产组合思想只是告诉投资者“不要把所有的鸡蛋都放在一个篮子里”。而美国经济学家哈里·马科维茨在金融经济学理论方面进行了开创性工作，提出了现代资产组合理论，他于1952年发表的经典之作《资产组合选择——有效分散化》论文，将以往个别资产分析推进一个新阶段，他以资产组合为基础，配合投资者对风险的态度，从而进行资产选择的分析，通过预期收益率和方差分析来确定最有效的证券组合。也就是通过资产组合的投资，在期望收益率水平既定的条件下使得风险最小，或在风险水平既定的条件下获得最大的期望收益率。这一理论被誉为“第一次华尔街革命”。

（一）资产组合的收益与风险

1.资产组合的收益

通常情况下，投资者很少将资金全部投资在单一投资工具上，而是为了分散投资风险，购买两种或两种以上的投资工具，即进行组合投资。那么就需要一种适用于组合投资的预期收益率计算方法。

投资组合预期收益率是指构成组合的各个投资工具的预期收益率的简单加权平均数。其权数是各投资工具的投资额在整个组合投资额中所占的比例。投资组合预期收益率用符合pr表示，其计算公式表示如下：

式中：Wj表示投资工具j的投资额占整个投资组合金额的比重，E（Rj）表示投资工具j的预期收益率，n表示投资组合中投资工具的数量。

通过对投资组合预期收益率计算公式的分析，我们可以得出以下结论：在一个资产种类一定的投资组合中，如果各资产所占的比例发生改变，那么资产组合的预期收益率也会发生变化。

【例题2-17】假设某投资者的投资组合中有两项资产A和B，资产A投入60万元，资产B投入40万元；其他情况详见表2-13所示。试问这个投资组合的预期收益率是多少？

首先，分别计算资产A和资产B的预期收益率：

依据【例题2-16】的计算结果E(RA )=21.5%；E(RB )=1.75%

资产A占组合的比重

资产B占组合的比重

然后，计算资产A和资产B投资组合预期收益率：

所以，此投资组合的预期收益率为13.6%。

2.资产组合的风险

除了确定资产组合的预期收益率外，估计出资产组合相应的风险也是很重要的。资产组合的风险是由资产组合收益率的方差或标准差来表示的，资产组合的风险不仅受到来自组合中各个资产风险大小的影响，还受到该组合中各资产所占比例以及其中任意两个资产之间协方差的影响。在分析资产组合的风险之前，先对协方差加以说明。

（1）协方差和相关系数

协方差是指资产组合中的两种资产在各种情况下的可能收益率与其期望收益率之间的离差之积再乘以相应情况出现的概率后进行相加所得的结果。协方差可以用符号σ12或COV（R1，R2）表示。

式中，i表示资产所处的某一种状态，Pi表示某一状况i发生的概率，R1i表示第一种资产在i状态的可能收益率，R2i表示第二种资产在i状态的可能收益率，E(R1)表示第一种资产的预期收益率，E(R2)表示第二种资产的预期收益率。

协方差是一种可用于度量每两个资产之间收益相互关联程度的指标。如果协方差为正，表示投资组合中这两个资产的收益呈同向变动趋势，即在未来各种经济状况下两个资产同时上升或同时下降；反之，则表示投资组合中两个资产的收益呈反向变动趋势，即在未来各种经济状况下，一个资产收益上升，而另一个资产的收益就会下降；如果协方差等于零，表示两个资产的收益变动无关。通常两个资产的风险越大，其协方差也越大；反之亦然。

【例题2-18】假设某投资者的投资组合中有两个资产A和B，未来经济可能的四种状况发生的概率、资产A和资产B可能的收益率情况详见表2-14所示。试问这个投资组合中资产A和资产B之间收益的关联性如何？

根据协方差计算公式得出：

计算结果说明，资产A和资产B的收益之间呈弱的反方向变动。

反映两个资产之间相互关系的另一个指标是相关系数。相关系数等于两个金融资产的协方差除这两个金融资产的标准差的乘积。相关系数可以用符号ρ12或Corr（R1，R2）表示。

相关系数可以用来反映在某一资产组合中，每两个资产之间的期望收益做同方向运动或反方向运动的程度。若相关系数为正，则表示两个金融资产的收益正相关；反之，则表示两个金融资产的收益负相关；如果相关系数为零，则表示两个金融资产的收益无相关性。并且相关系数总是介于-1和+1之间。当相关系数等于+1时，表示这两个资产完全正相关，即这两个资产的收益率变动方向完全一致；当相关系数等于-1时，表示这两个资产完全负相关，即这两个资产的收益率变动方向完全背离。

（2）资产组合的方差和标准差

①对由两个资产构成的最简单的资产组合的方差和标准差进行分析

两个资产的组合方差可以按下面的公式计算：

式中，W1、W2分别表示资产1和资产2在组合中所占的比重； pagenumber_ebook=66,pagenumber_book=59

、

分别表示资产1和资产2的方差； pagenumber_ebook=66,pagenumber_book=59

表示资产1和资产2的协方差。

从两个资产的组合方差可以看出，在两个资产的方差一定的情况下，如果协方差越大，即两个资产的收益变化越趋同，则资产组合的方差（即资产组合的风险）也就越大；反之，如果协方差越小，即两个资产的收益变化越背离，则资产组合的方差也就越小。

两个资产的组合标准差

【例题2-19】假设某投资者的投资组合中有两项资产A和B，资产A投入60万元，资产B投入40万元；其他情况详见表2-15所示。试问这个投资组合的方差和标准差是多少？

依据【例题2-15】，已知资产A的方差2σ=0.0709

依据【例题2-16】，已知资产B的方差2σ=0.0118

依据【例题2-18】，已知资产A和资产B的协方差ABσ=-0.0032

根据资产组合方差计算公式，资产A和资产B的组合方差计算为：

资产A和资产B的组合标准差计算为：

说明资产A和资产B组合的预期收益率在±16.09%范围内波动；根据【例题2-17】，已知该组合预期收益率为13.6%，所以该组合的收益率介于-2.49%至29.69%之间。

②对由N种资产构成的资产组合方差和标准差进行分析

N种资产的组合方差计算公式为：

式中，i和j分别表示组合中不同的资产。

也可以采用矩阵方法计算资产组合的方差，见表2-16所示。

由N种资产构成的组合方差共有N2项；其中

有N项，

有（N2-N）项。显然，涉及任意两种资产的协方差项远远要多于涉及单一资产的方差项，而且WiWjσij是成对的，比如W1W2σ12=W2W1σ21。由此可见，在一个资产组合中，协方差对组合方差的影响要大于单一资产方差对组合方差的影响，并且，随着组合中的资产数目的增加，协方差对组合方差的影响会越来越大，而单一资产方差对组合方差的影响会越来越小。当组合中的资产数目非常多时，单一资产方差对组合方差的影响可以忽略不计，协方差对组合方差的影响却依然存在。因此，组合中有些风险可以分散，可以分散的是非系统性风险，而有些风险却无法分散，不能分散的是系统性风险。但随着资产数目的增加，对非系统性风险的分散效应会呈递减趋势，如图2-2所示。在实际投资理财过程中，投资者不会无限地配置资产数目，因为随着组合中资产数目的增加，资产组合管理的成本就会提高。

（二）最优资产组合

最优资产组合是指特定投资者在可以得到的各种可能的资产组合中，唯一可获得最大效用的资产组合。最优资产组合对各投资者来说不是独一无二的，而只能是属于某一特定投资者，因为每个投资者除遵循共同的资产组合原则外，还有着独特的个人偏好，而这正是最优资产组合形成的关键因素。

1.投资者的个人偏好

不同投资者对风险和预期收益率的偏好是不同的，可以分为进取型、中立型和保守型三类投资者。下面通过不同投资者对两个资产组合（如图2-3所示）不同态度进行分析。资产组合Y的风险大于资产组合X的风险，即Yσ＞Xσ；同时，资产组合Y的预期收益率也大于资产组合X的预期收益率，即Yr＞Xr。第一类投资者认为资产组合Y相对资产组合X增加的预期收益率刚好可以补偿所增加的风险，对这两个资产组合满意程度是一样的，这类投资者的偏好属于中庸型；第二类投资者认为资产组合Y相对资产组合X增加的预期收益率不能补偿所增加的风险，资产组合X要比资产组合Y更令其满意，这类投资者的偏好属于保守型；第三类投资者认为资产组合Y相对资产组合X增加的预期收益率已经超出了对增加的风险补偿，资产组合Y要比资产组合X更令其满意，这类投资者的偏好属于进取型。

在一定的风险状况下，投资者要求预期收益率补偿越高，说明其越厌恶风险；或者说在一定的预期收益率状况下，投资者能够承受的风险越低，同样说明其越厌恶风险。

无差异曲线是指根据投资者对预期收益率和风险的偏好态度，按照其预期收益率对风险补偿的要求，得出的一系列满意程度相同的资产组合，这些资产组合在预期收益率和风险坐标系中所形成的一条曲线。如图2-4所示，在该无差异曲线上的任意一点是一个资产组合，也就是说无差异曲线上有许多资产配置不同的资产组合，按照预期收益率对风险补偿的要求，该无差异曲线上的所有资产组合对某一投资者来说满意程度都是相同的；例如，对某一投资者偏好来说，资产组合A、B、D和E是没有任何差异的。

预期收益率和风险坐标中的任何一个资产组合均可以与该无差异曲线上的资产组合进行比较。在无差异曲线左上方的任意一个资产组合比落在无差异曲线上的任何资产组合要好，例如资产组合C比资产组合A好；这是因为在一定的风险状态下，资产组合C的预期收益率高于无差异曲线上的资产组合D的预期收益率，或者说在预期收益率一定的状态下，资产组合C的风险低于无差异曲线上的资产组合E的风险。同样道理，在无差异曲线右下方的任意一个资产组合比落在无差异曲线上的任何资产组合要差，例如资产组合F没有资产组合A好。

无差异曲线特点：

（1）在同一条无差异曲线上的任何资产组合对投资者来说具有相同的满意度，而落在不同的无差异曲线上的资产组合对投资者来说具有不同的满意度，一个资产组合不会同时落在不同的无差异曲线上，或者说不同的无差异曲线是不会相交的。

（2）对风险属性相同的投资者来说，无差异曲线族形状相同，无差异曲线的位置越高，资产组合的满意程度就越高。

（3）无差异曲线是向上倾斜的曲线，曲线陡度越大，表示增加同样的风险，需要更高的预期收益率补偿，因此所对应的投资者就越保守。

（4）风险属性不同的投资者会拥有陡度不同的无差异曲线族。

3.最优资产组合的确定

（1）资产分析。确定投资组合中合适的资产，分析这些资产在持有期间的预期收益率和风险，以及各资产间的相关系数。

（2）资产组合分析。计算各资产组合的预期收益率和风险，在预期收益率和风险坐标中，由多项资产构成的可供选择的资产组合群集中于一个平面区域内，如图2-5所示的阴影区域。

（3）找出有效资产组合。根据资产组合原则，有效资产组合是指那些在任一风险状态下，预期收益率最高的资产组合；并且是在任一预期收益率状态下，风险最低的资产组合。如图2-5所示的在阴影区域边界的M点至N点之间曲线上的各个点皆是有效资产组合。从图中R点可以看出，资产组合R与资产组合N具有相同的风险，但资产组合N的预期收益率更高；资产组合R与资产组合P具有相同的预期收益率，但资产组合P的风险更小。由此可见，MN曲线段上任意一点的资产组合比图中阴影区域的其他各点的资产组合都要好，我们将MN这段曲线称为有效边界，而阴影区域的其他各点的资产组合是无效的。在有效边界MN曲线段上，M点风险最小且收益也最低，N点风险最大且收益也最高。

（4）找到最优资产组合。没有哪一种资产组合先验地比其他组合好，最优资产组合的选择要依赖于投资者自身的风险偏好，然后才能从有效资产组合中选择其最满意的资产组合。投资者的风险偏好可以通过无差异曲线来反映，如图2-5所示的特定投资者的无差异曲线族X＇、X、X＂等，无差异曲线的位置越靠左上方，就越令投资者满意。首先看无差异曲线X＇与有效边界MN曲线段有一个交点，但这个交点的资产组合并不是最优的，在无差异曲线X＇左上方还有更令该投资者满意的许多无差异曲线族与有效边界MN曲线段相交的点，直到有一条无差异曲线X与有效边界MN曲线段相切的P点出现，P点正是该投资者最优资产组合，因为有效边界MN曲线上的其他各点都落在P点所在的无差异曲线X的下方。

当一条无差异曲线与有效边界相切时，该切点才是投资者可选择的最优资产组合。不同风险偏好的投资者，其无差异曲线陡度不同，从而与有效边界MN曲线段的切点也就会不同，也就是说最优资产组合不同。对个人偏好越保守的投资者，其无差异曲线越陡，与有效边界MN曲线段的切点就会越接近M点的资产组合，M点是最保守投资者的最优资产组合；反之，对个人偏好越进取的投资者，其无差异曲线越平缓，与有效边界MN曲线段的切点就会越接近N点的资产组合，N点是最进取投资者的最优资产组合。

（5）对最优资产组合的评价与调整。根据生命周期理论，随着个人年龄变化，在生命周期每一阶段都有不同的特征，其风险偏好会发生改变，从而需要按一定标准和程序对最优资产组合进行评价，如果不是最优资产组合，就应该按照上述步骤进行必要的调整，重新构建一个最优资产组合。

经济学家哈里·马科维茨简介

1927年8月24日，哈里·马科维茨生于美国伊诺斯州的芝加哥。1947年，他从芝加哥大学经济系毕业，获得学士学位。

1952～1960年及1961～1963年任美国兰德公司副研究员。

1960～1961年任通用电器公司顾问。

1963～1968年任联合分析研究中心公司董事长。

1968～1969年年任加利福尼亚大学洛杉矶分校金融学教授。

1969～1972年任仲裁管理公司董事长。

1972～1974年任该公司顾问。

1972～1974年任宾夕法尼亚大学沃顿学院金融学教授。

1974～1983年任国际商用机器公司研究员。

1980～1982年任拉特哥斯大学金融学副教授，1982年晋升为该校讲座经济学和金融学功勋教授。

1990年荣获诺贝尔经济学奖。

现任纽约市立大学巴鲁克学院教授。马科维茨还被选为耶鲁大学考尔斯经济研究基金会员，美国社会科学研究会会员，美国经济计量学会会员，管理科学研究所董事长，美国金融学会主席等。