5.3
使用圆规画行星轨道

天才开普勒从自然界所发掘出来的行星运动三大定律，大家最难理解的是第一条。根据这条定律，行星是按照椭圆形的轨道运行的。为什么是椭圆形轨道呢？既然太阳吸引各个方向的物体的力量是均匀的，而且随着距离的增加这种吸引力减少的程度也是一致的，那么似乎行星就应当沿着太阳作圆形的运动，而不是以太阳为中心的椭圆形运动。本来，使用数学方法就可消除这些疑问，但是天文学爱好者们不一定都精通数学，所以我们现在试着用实验来帮助只能理解初级数学的读者解读开普勒定律。

准备一个圆规、直尺和一张大纸，我们自己来画行星的轨道。这样的话，我们就会从图中看出，这些轨道正是和开普勒定律所说的一样。

行星的运动受万有引力的控制。现在我们来解读万有引力。图85中最上面那个大圆圈代表太阳，左边代表行星。假设它们之间的距离是1000000千米，图中用5厘米表示，也就是我们的比例尺是：200000千米缩小成1厘米。

图85　太阳吸引行星的力量随着距离的减小而增大。

0.5厘米长的箭头表示的是行星被太阳吸引的力量（图85）。现在假设行星在这个引力下向地球靠近，到达距离太阳900000千米的地方，也就是图中4.5厘米的地方。太阳对行星的引力此时增大到原来的倍，也就是1.2倍。如果将之前的引力作为一个单位，也就是说用0.5厘米的箭头表示一个单位，那么现在的箭头就应当是1.2个单位。当距离减少到800000千米，也就是图中4厘米的地方，引力增加到原来的倍，箭头也应当长1.6个单位。行星继续接近太阳，在引力依次是700000千米，600000千米和500000千米的时候，表示引力的箭头依次变成2个单位，2.8个单位和4个单位。

可以设想一下，上面的这些箭头不仅表示引力，同时也表示天体在这些引力的作用下在同一时间内完成的位移（跟力的大小成正比）。在接下来的构图中，我们将把这些图作为行星位移的现成的比例尺。

我们现在来画围绕太阳运转的行星的轨道。假设在某一时刻，质量跟上面所讲的一样的行星以2个长度单位的速度往WK方向运动。现在这颗行星到达了K点，距离太阳800000千米（图86）。它所受到的引力会使它在某一时间到达离太阳1.6单位长度的地方。在这个时间段里，行星要在WK上前行2个单位。结果，它就会沿K1和K2为边的平行四边形的对角线KP运动。这条对角线的长度是3个单位（图86）。

图86　太阳S是如何使行星前进的路线WKPR发生弯曲的。

到达P点的时候，行星沿着KP方向以3单位的速度继续前进。但同时在太阳的引力下，它离开太阳的距离为SP=5.8单位的时候，它要沿着SP方向移动P4=3单位。结果，行星移动的距离就是另一平行四边形的对角线PR。

我们不再往下画了，因为这张图的比例尺太大。显然，比例尺越小，能够画上去的行星轨道就会越大，并且连接各线之间的尖角也不会那么突出，这样的话我们得到的图形就会跟真正的轨道相似。图87表示的就是一个较小的比例尺，描绘的是太阳和某一个重量跟前述行星差不多的星体之间的关系。可以明显看出，太阳使这颗星偏离了原来的路线，使它沿着曲线PⅠⅡⅢⅣⅤⅥ运动。这里画出来的角不是很尖锐，这样我们就行星和各个位置之间用一条光滑的曲线连接起来了。

图87　太阳C使行星P偏离原来的直线路径而走成了曲线。

这会是一条什么样的曲线呢？几何学可以帮助我们回答这个问题。拿一张透明的纸铺在图87上，从这个行星运行轨道上随意选取6点，然后按照任意顺序为每一点编一个号，一次将这六个点连接起来（图88）。这样，得到的就是一个六边形状的行星轨道，这个轨道的有些边是相交的。现在把直线1～2延长，使直线4～5相交于I点；同样的方法，使直线2～3和5～6相交于Ⅱ点，使直线3～4和直线1～6相交于Ⅲ点。如果我们所求的曲线是圆锥曲线中的一种——椭圆形、抛物线或者双曲线——那么Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ点就应当在一条直线上，这就是几何学上的“帕斯卡六边形”。

图88　天体要走圆锥曲线的几何学证据。

如果我们的图画得很仔细，那么上述各点就会在一条直线上。这表明这条曲线一定是圆锥曲线：椭圆形、抛物线或者双曲线。

现在我们使用同样的方法解释行星运动的第二条定律——面积定律。仔细观察图21。图中的12个点把图形分成12段。各段长度不一，但我们知道行星经过各段的时间是一样的。将1、2、3等各点和太阳连接起来，如果把相邻各点用弦相连，可以得到12个和三角形近似的图形。测出这些三角形的底和高，算出各自的面积，我们会得出，这些三角形的面积都是相同的。换句话说，我们得出了开普勒的第二条定律：

在相等时间内，运动中的行星向量半径所扫过的面积都是相等的。

这样，圆规就帮助我们理解了行星运动的第一和第二定律。要明白第三条定律，需要用笔进行一些数字演算。