1.3　函数极限

1.3.1　x趋于∞时函数的极限

因为数列{an}可以理解为定义域为正整数集Z＋的函数：an＝f（n），所以数列{an}的极限为A是指：对于ᗄε＞0，Ǝ正整数N，当n＞N时，就有∣f（n）－A∣＜ε．把数列极限定义中的函数为f（n）而自变量n只取正整数值的特殊性撇开，可以引出x→＋∞时函数极限的定义．

定义1　设函数f（x）在区间［a，＋∞）上有定义，A是常数．若对任意给定的正数ε，总存在某个正数X，使得当x＞X时都有

∣f（x）－A∣＜ε，

则称A为函数f（x）当x→＋∞时的极限，记为

类似地，我们可以给出x→∞，x→－∞时函数极限的定义．

定义2　设函数f（x）当∣x∣≥a时有定义，A是常数．若对任意给定的正数ε，总存在某个正数X，使得当|x|＞X时有

∣f（x）－A∣＜ε，

则称A为函数f（x）当x→∞时的极限，记为

从几何上看，表示：对于任意给定的正数ε，总能找到某个正数X，使得函数f（x）在区间（－∞，－X）和（X，＋∞）内的图形位于直线y＝A－ε与y＝A＋ε之间，如图1.10所示．

例1　证明

证　对于ᗄε＞0，取则当∣x∣＞X时，有

所以

1.3.2　x趋于x0时函数的极限

1）概念

现在讨论当自变量x无限接近某一有限值x0时，函数f（x）的变化趋势．

考察当时，函数

的变化趋势．

当时，f（x）＝2x－1，由图1.11可见，当x无限地接近（但不等于）时，对应函数值无限地接近常数2．我们称数2为函数当时的极限．

一般地，设函数f（x）在x0的某去心邻域内有定义，如果当自变量x无限接近x0时，对应的函数值f（x）无限接近于常数A，则称A为函数f（x）当x→x0时的极限．

在x→x0的过程中，对应的函数值f（x）无限接近于常数A，即∣f（x）－A∣＜ε，其中ε是可以任意小的正数．而x→x0（x≠x0）可用0＜∣x－x0∣＜δ来刻画，其中δ是某个正数．因此有下述定义：

定义3　设函数f（x）在x0的某个去心邻域内有定义，A是常数．若对任给的正数ε，总存在某个正数δ，使得当0＜∣x－x0∣＜δ时都有

∣f（x）－A∣＜ε，

则称A为函数f（x）当x→x0时的极限，记为

这个定义称为函数极限的ε－δ定义．

定义中0＜∣x－x0∣表示x≠x0，所以f（x）当x→x0的极限是否存在与函数在该定点x0处有无定义没有关系．

2）几何意义

因为0＜∣x－x0∣＜δ，即所以表示：对任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得函数f（x）在内的图形位于两条直线y＝A－ε与y＝A＋ε之间，如图1.12所示．

由于正数ε可以任意小（一般δ相应变小），从而直线y＝A－ε与y＝A＋ε所围的窄条可任意窄，这就表明函数值可以无限接近于A．

例2　证明

证　由于

∣f（x）－A∣＝∣（2x＋1）－3∣＝∣2（x－1）∣＝2∣x－1∣，

对于ᗄε＞0，要使∣f（x）－A∣＜ε，只要2∣x－1∣＜ε．

取则当0＜∣x－1∣＜δ时，就有

∣（2x＋1）－3∣＜ε，

故

例3　证明

证

对ᗄε＞0，要使∣f（x）－A∣＜ε，只要∣x－x0∣＜且x≥0，而x≥0可用∣x－x0∣＜x0保证．

取则当0∣＜x－x0∣＜δ时，就有

所以

3）单侧极限

函数极限定义中“x→x0”是指x从x0的左右两侧趋向x0．有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同，或仅在某些点的一侧有定义，这时需要考虑x从x0的一侧趋向x0时函数的变化趋势．

定义4　设函数f（x）在（x0，x0＋h）（或（x0－h，x0））（h＞0）内有定义，A是常数．若对于任意给定的正数ε，总存在某个正数δ，使得当x0＜x＜x0＋δ（或x0－δ＜x＜x0）时都有

∣f（x）－A∣＜ε，

则称A为函数f（x）当x→x0时的右极限（或左极限），记为

或者

右极限与左极限统称为单侧极限．

由定义容易证明：的充要条件是

由上述结论可知，如果和至少有一个不存在或两个都存在但不相等，则一定不存在．由于分段函数在分段点两侧的表达式不同，因此分段函数在分段点处的极限可通过左右极限来讨论．

例4　讨论符号函数

当x→0时的极限．

解

故所以当x→0时sgnx的极限不存在．

1.3.3　函数极限的性质

前面给出了下述6种类型的函数极限：

它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面仅以为例来叙述这些性质，至于其他类型的极限，只要作出相应修改即可．

性质1　（唯一性）　如果存在，那么这极限唯一．

性质2　（局部有界性）　如果存在，则f（x）在x0的某个去心邻域内有界．

证　设取ε＝1，则存在δ＞0，使得对一切有

∣f（x）－A∣＜1，

故

∣f（x）∣≤∣f（x）－A∣＋∣A∣≤1＋∣A∣．

所以f（x）在内有界．

性质3（局部保号性）　若（或A＜0），则在x0的某个去心邻域内f（x）＞0（或f（x）＜0）．

证　设A＞0．由于对则存在δ＞0，当0＜∣x－x0∣＜δ时，

故

从上面的证明可得如下结论：

推论1　若（或A＜0），则在x0的某个去心邻域内（或f（x）＜）．

推论2　若在x0的某个去心邻域内f（x）≥0（或f（x）≤0），且则A≥0（或A≤0）．

1.3.4　函数极限的运算

定理1（四则运算法则）　若则

（1）

（2）

（3）

（4）

证　只证（3）．

由于所以对任意给定的ε＞0，分别存在δ1＞0与δ2＞0，使得当0＜∣x－x0∣＜δ1时有

当0＜∣x－x0∣＜δ2时有

又

由局部有界性，存在M＞0，δ3＞0，使得当0＜∣x－x0∣＜δ3时，有

∣g（x）∣＜M．

令δ＝min{δ1，δ2，δ3}，则当0＜∣x－x0∣＜δ时，式（1），（2），（3）同时成立，故有

∣f（x）g（x）－AB∣＜（M＋∣A∣）ε．

由ε的任意性，证得

定理中的（1）和（3）可推广到有限个函数的情形，并由（3）可得以下推论．

推论1　若存在，C为常数，则

即在求极限时，常数可提到极限符号外．

推论2　若存在，n为正整数，则

例5　求

解

例6　求

解

一般地，可用代入法求有理函数的极限，其中P（x）和Q（x）是多项式：

例7　求

解　不能代入x＝1，因为此时分母为零．但当x≠1时

所以

例8　求

解

例9　求

解

定理2（复合函数的极限）　设函数y＝f［φ（x）］是函数u＝φ（x），y＝f（u）的复合函数．如果且在x0的某个去心邻域内φ（x）≠u0，则

定理对x→∞时的情形也成立．定理说明，在满足定理的条件下，可通过变量代换u＝φ（x）把化为来计算．

习题1.3

1．根据极限定义证明：

（1）

（2）

（3）

2．求并说明是否存在．

3．求下列极限：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

4．证明：如果则试举例说明逆命题不成立．