最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配（也称回归或拟合）。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。

数据拟合有很多分类，如一元拟合、多元拟合、直线（线性）拟合、曲线（非线性）拟合。以下以较为简单的二元线性拟合介绍最小二乘法的原理及应用。

（1）最小二乘法原理。

xi以直线形式组合成函数M，假定i＝2（二元函数，M又称因变量；xi又称自变量），即有

对于方程（F6－1）的回归问题有两类，其一，已知一组自变量（x1、x2）测量值，通过最小二乘回归，拟合出系数a、b，以确定回归方程。其二，已知一组系数（a、b）为测量值，同样可以通过最小二乘方法，确定两个变量（x1、x2）。究其实质，两类是一样的问题，只是将两个系数和两个变量互换位置而已。以下讨论就是第二类问题。

若进行了K次测量，测得未知量的系数为ai，bi，并设函数在K次测量中结果为M1，M2，…，MK，则得测定方程组（也称矛盾方程组）

显然，在以上方程组中，不可能存在一组x1，x2值使k个方程均成立。以X1，X2表示各测定值的最佳值，且以ν1，ν2，…，νk表示各测定方程对应的残差，故

上述方程组称为误差方程组。

要使以上方程组中X1，X2为最佳值，按最小二乘法原理必有

要使得∑ν2i＝∑［（aiX1＋biX2）－Mi］2为最小，必须满足下列条件：

由此得出正规方程组：

该式通常写成

在此省略了各变量的角标i；［aa］＝a21＋a22＋…a2k；［aM］＝a1M1＋a2M2＋…akMk；

其余类同。将上式写成行列式形式为

即可求出X1，X2。

（2）最小二乘法运算结果的误差。

K个方程组成的方程组中的任一方程的标准差均为

又设ε1，ε2代表X1，X2最佳值的标准误差，即可从下式算得

（3）最小二乘法应用举例（以测汞第一激发电位为例）。

测得的数据曲线如图F6－1所示。写出如下的方程组：

在上述方程组中，有2个待求未知变量，但有5个方程，不可能找到一组Ve、Vc值使上述5个方程均成立，故要采用最小二乘法估算2个未知量。计算结果如表F6－1所示。

列出正规方程组：

解得：

Ve＝4.92V，　Vc＝3.66V

将得到的Ve、Vc值代入式（F6－11），即得νi，从而得到最小值为0.024。可以解释为，对于矛盾方程组（F6－11），只有Ve＝4.92V，Vc＝3.66V，才会使得的值最小，因此该组值是最小二乘下的最佳值。