流体微团的旋转角速度在流场内不完全为0的流动称为有旋流动(rotational flow)。自然界和工程界中出现的流动大多数是有旋流动,例如大气中的龙卷风,管道中的流体运动,绕流物体表面的边界层及其尾部后面的流动都是有旋流动。

设流体微团的旋转角速度为ω(x,y,z,t),则

Ω=2ω=Ωx i+Ωy j+Ωz k　　　　　　(5-25)

称为涡量(vorticity),其中Ωx,Ωy,Ωz是涡量Ω在x,y,z坐标上的投影。由定义可知

显然,涡量是空间坐标和时间的矢量函数:Ω=Ω(x,y,z,t)。所以,它也构成一个向量场,称为涡量场(vorticity field)。

速度场和涡量场都是体现流动特征的矢量场,因此,描述速度场和涡量场的基本概念之间,具有一一对应的关系,例如:速度场和旋涡场;速度和平均旋转角速度;流线和涡线;流管和涡管;流量和涡通量。这样,就不难理解涡线、涡管和涡通量等概念了。

某一瞬时的涡线(vortex line)是这样的曲线,在该曲线上各点的平均旋转角速度矢量ω与该曲线相切,如图5-9所示。与流线类似,在定常流场中,涡线的形状保持不变,在非定常流场中,涡线的形状是变化的,同一瞬时的涡线不可能相交。与推导流线微分方程的方法类似,沿涡线取一微小线段d s,由于涡线与角速度向量的方向一致,所以d s沿三个坐标轴方向的分量d x,d y,d z必然和角速度向量的三个分量ωx,ωy,ωz成正比,即

这就是涡线的微分方程(vortex line differential equation)。

在旋涡场中通过任一封闭曲线(不是涡线)的每一点作涡线,这些涡线所形成的管状表面称为涡管(vortex tube),见图5 10。

设A为涡量场中一开口曲面,微元面d A的外法线单位向量为n,涡量在n方向上的投影为Ωn,则面积分称为涡通量(vortex flux)。

与流量相似,在同一瞬间,通过同一涡管的各截面的涡通量相等,即