流动场中各点旋转角速度等于零的运动,称为无旋流动(non-rotational flow),也称为势流(potential flow)。当流动为无旋流动时,将使问题的求解简化,因此提出了无旋流动的模型。在无旋流动中

因此,无旋流动的前提条件是

根据全微分理论,式(5-17)是某空间位置函数φ(x、y、z)存在的必要和充分条件。它和速度分量u x、u y、u z的关系表示为下列全微分的形式

函数φ称为速度势函数。存在速度势函数的流动,称为有势流动,简称势流。无旋流动必然是有势流动。

展开势函数的全微分,得

比较上两式的对应系数,得出

即速度在三坐标上的投影,等于速度势函数对于相应坐标的偏导数。

存在着势函数的前提是流场内部不存在旋转角速度。根据汤姆逊关于旋涡守恒定理所引申出的推论,只有内部不存在摩擦力的理想流体,才会既不能创造旋涡,又不能消灭旋涡。摩擦力是产生和消除旋涡的根源,因而一般只有理想流体流场才可能存在无旋流动。而理想流体模型在实际中要根据黏滞力是否起显著作用来决定它的采用。工程上所考虑的流体主要是水和空气,它们的黏性很小,如果在流动过程中没有受到边壁摩擦的显著作用,就可以当作理想流体来考虑。

现在,我们把速度势函数代入不可压缩流体的连续性方程,得

其中同理得出上述方程称为拉普拉斯方程。

拉普拉斯方程是最常见的数理方程之一,在相应的边界条件下,求解该方程即可得到势函数φ,从而得知速度场。即求解无旋运动的速度场,不必从流体流动方程出发,只要解拉普拉斯方程求速度势便可。这就是求解无旋运动问题可以简化的原因。求解速度势有很多方法,如保角变换、松弛法、流网法、电比拟法以及数值法等。

例5-1　在(1)的流动中,判断两者是否为无旋流动。如果为无旋流动,求它的势函数,并检查势函数是否满足拉普拉斯方程。

解　对于第一种流动,ωz=k,ωx=ωy=0,因此为有旋流动,没有势函数。

对于第二种流动,ωx=ωy=ωz=0,是无旋流动,它满足

它的势函数的全微分为

采用积分路径无关法求解。由高等数学中关于曲线积分的定理知道,当它满足式(5-17)时,曲线积分

与路径无关,函数φ可由普通积分求出,其形式为

取(x 0,y 0)为(0,0),则

计算φ的二次偏导数

代入

满足拉普拉斯方程。

例52　不可压缩流体的流速分量为

(1)是否满足连续性方程?(2)是否无旋流?(3)求速度势函数。

解　(1)检查是否满足连续性方程

满足连续性方程。

(2)检查流动是否无旋

两者相等,故为无旋流动。

(3)求速度势:采用待定函数法求解对x积分:由于是偏导数的积分,将y看成常数,且积分常数是y的函数

比较得

f′(y)=0,f(y)=c(b)

取c=0,将式(b)代入式(a),得

拉普拉斯方程是线性的,线性方程有一个重要特征:两个解的和或差也是此方程的解,因此复杂流场的解可以由若干简单流场的解叠加而得。为说明这一性质,考虑速度势分别为φ1和φ2的两个势流运动,每一流动均满足拉普拉斯方程,即

及两方程相加可得上式表明,两个势流叠加,得到新的流动,其速度势为φ=φ1+φ2,仍满足拉普拉斯方程,因而还是势流。

二维流函数ψ也满足拉普拉斯方程。这里介绍若干基本的无旋流动的速度势和流函数。这些基本流除了本身具有一定的实际意义之外,重要的是,它们是用于叠加求解的数学单元。这样的基本流有:均匀流、径向流(点源与点汇)以及环流、偶极流(图5-8)等。各基本流的势函数和流函数如下所示。

式中,U和Q分别为速度和流量,Γ为速度环量,M为偶极矩。