二、康乾时期，传统数学梦复兴

中国古代数学发展到宋元时期达到高峰，进入元末明初时期又从高峰急剧衰落。因此，这造成了中国古代数学与近代数学之间在明朝的“中断”，这一“中断”在数学史和文化史上都是令人费解的事件，著名的“李约瑟问题”正是针对这一事件发出的疑问。

明末清初的西学东渐是中国近代数学的复苏时期，西方传入中国的最重要的数学知识是欧几里得的演绎几何体系、西方笔算数学和三角学⁽⁸⁾。事实上，这些西方数学作为中国近代数学的肇始，应完全归功于利玛窦的“数学文化传播”模式。而欧洲数学的来临，为中国传统数学注入了新鲜血液，也为中国传统数学与西方数学的会通和融合指明了方向；直到清代中叶，在西方科学的启迪下，人们才重新认识和了解到中国传统数学的地位⁽⁹⁾。

从明末清初到康乾时期（康熙与乾隆年间），虽然一些本土数学家热衷于学习西方数学，但是他们也努力尝试将西方数学与中国古代数学相融合，为中国传统数学的复兴以及中国近代数学的兴起奠定了基础，在此我们介绍几位明末清初的数学家及其主要工作。

熊明遇（1579—1649年），字良孺（或子良），号坛石山主人，南昌进贤北山人（今隶属江西省南昌县泾口乡东湖村）。天启元年（1621年）以尚宝少卿进太仆少卿，寻擢南京右佥都御史。崇祯元年（1628年）起任兵部右侍郎，后迁南京刑部尚书、拜兵部尚书，致仕后又起故官，改工部尚书。他是明末东林党的成员之一，也是明末清初西学东渐的代表人物之一。因与魏忠贤不合，故屡遭贬谪甚至流放，仕途颇多周折，其著作《格致草》和《则草》是两部介绍西方数学的重要著作。

熊明遇像	黄宗羲像

黄宗羲（1610—1695年），字太冲，一字德冰，号南雷，浙江绍兴府余姚县人。明末清初经学家、史学家、思想家、地理学家、天文历算学家、教育家。他精通天文历算和数学，曾用历算的方法对武王伐纣的确切年代进行了探讨，写有《历代甲子考》；他重新推算了孔子准确的生辰日期，并参考西方天文学中托勒密的理论考察了中国“日高于月”的说法；他在有限性、无限性的观念认识上亦有所建树，并分析了明朝流行的算盘和《数术记遗》中记载的计算器的区别。黄宗羲也对中国古代数学和西方数学进行了平行比较，认为西方数学中的一些概念方法不过是对中国古代算术的窃取和修改（这是他在数学认识上的局限性所致）。

李之铉（1621—1701年），字子金，号隐山，河南省商丘市柘城县黄集乡后罗李村人。他自幼聪明好学，天资过人，是清初康熙年间的布衣数学家。李之铉晚年致力于数学研究，著有《算学通义》《几何易简集》《元弧象限表》《历范》等12种书共30余万字，总名为“隐山鄙事”。其中他的《几何易简录》四卷，收入我国最大的一部丛书《四库全书》天文算法类中，在清初数学发展史中有一定的影响，并在中西数学会通中起了积极的作用。

王锡阐像

王锡阐（1628—1682年），江苏吴江人，天文历算学家。其最重要、最具代表性的著作就是后来被收入《四库全书》的《晓庵新法》6卷本。

该书的第一卷和第二卷介绍的是作为天文计算基础的三角函数知识和基本天文数据；第三卷讲述朔、望、节气时刻，日、月、五星位置的计算；第四卷讨论昼夜长短、晨昏蒙影、月亮和内行星的盈亏现象，以及日、月、五大行星的视直径；第五卷为日食计算所需之视差和日心、月心连线的方向（后者称为“月体光魄定向”，用于日、月食方位的计算）；第六卷为日、月食预测及金星凌日、五星凌犯之推算。

限于当时条件，王锡阐未能接触到欧洲天文学的最新发展，他会通中西，以期求得更好的历法的尝试。虽然不可能获得真正的成功，但其出色的研究才能和对中、西历法精深独到的见解，以及一生探求数理之本的努力，使他在明末清初时期的数学和天文学史中占有重要的一席地位。

方中通像

方中通（1634—1698年），字位伯，号陪翁。安徽桐城人，清初著名数学家、天文学家和著作家。他的主要著作是《数度衍》24卷，附1卷，这是他在28岁以前的10年间努力的结果。

《数度衍》中含有利玛窦和徐光启合译的《几何原本》前6卷的内容以及《同文算指》（明末李之藻译本）和《崇祯历书》的西方笔算方法、中国古代的筹算和尺算方法。他在卷十一“少广”之六内介绍了“倍加隔位合数法”，这是中国学者著作中第一次论及对数的内容，书中的中国算法则包括在《周髀算经》《算法统宗》和明朝顾应祥的《测圆算术》等书内。

可见，除了球面三角以外，《数度衍》几乎包罗了当时刚传入的所有西方数学知识以及当时所能见到的中国古代数学知识，可以称得上是一部数学上的百科全书。在清初数学书籍奇缺的情况下，《数度衍》的刊行，无疑对民间数学知识的学习起了积极的作用。

梅文鼎（1633—1721年），字定九，号勿庵，安徽宣城人，清初天文学家、数学家、历算学家。

17—18世纪，世界上有3位齐名的大数学家——英国的牛顿、日本的关孝和与中国的梅文鼎。牛顿是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家，他在科学上最卓越的贡献是创建微积分和经典力学；关孝和是日本古典数学（和算）的奠基人，也是关氏学派（或称关流）的创始人，在日本被尊称为算圣；而梅文鼎则是承前启后、横贯中西的数学大师，清代天文算法“开山之祖”，被誉为清代“历算第一名家”。

在天文学方面，梅文鼎潜心研究大统历、授时历等历代70余家历法，同时参考西洋历法以求得中西历法的会通。他先后著《古今历法通考》58卷，后增补成70余卷；《历学疑问》3卷；《历学疑问补》2卷；《交食管见》1卷；《交食蒙求》3卷；《平立定三差解》1卷等50多种天文学书籍，并被乾隆钦定的《四库全书》收录。在他著的《仰观仪式》一书中，将我国固有星图与西方传入的星图相互比较，把我国星图有名而外国无名、我国无名而外国有名的星都一一注明，并列出我国古代二十八星宿与近代星座对照表；并且在他的《交食管见》《交食蒙求》中，提出了更加准确的交食预报方法。

梅文鼎像

在数学方面，梅文鼎的第一部数学著作《方程论》撰成于康熙十一年（1672年），以“方程”这一“非西方数学所独有”的中国传统数学精华来显示中华数学的骄傲。在对待西方数学的问题上，他主张“去中西之见，以平心观理”，不但发掘整理中国古代算术，还潜心研读《几何原本》等西方数学书籍，力求将中西方的数学方法进行融会贯通。他根据中国人书写的特点和习惯，把《同文算指》的横式算式改为直式，把直式的纳皮尔算筹改为横式；在《几何补编》中证明了除六面体外的其他四种多面体的体积和内切球半径的公式，纠正了罗雅谷的《测量全义》中计算二十面体体积的错误。

《中西算学通》是梅文鼎所著26种数学图书的总称，几乎总括了当时世界数学的全部知识，达到当时我国数学研究的最高水平。其中《笔算》5卷是介绍《同文算指》的算法、《筹算》7卷是介绍纳皮尔算筹的计算方法、《度算释例》2卷是介绍伽利略比例规的算法；此外，他还著有《平三角法举要》5卷、《弧三角举要》5卷，系统地整理当时传入我国的平面三角和球面三角知识；《环中黍尺》5卷、《堑堵测量》2卷、《方圆幂积》2卷、《几何补编》5卷、《勾股举隅》1卷，连同《方程论》6卷等14种，也都被收编到《四库全书》之中。

在评价利玛窦和徐光启的译著《几何原本》时，梅文鼎认为此书“以点线面体为测量之资，制器作图颇为精密”，但“篇目既多，而取径纡回，波澜阔远，枝叶扶疏，读者每难卒业”。因此，他用传统的勾股算法证明了《几何原本》卷二、卷三、卷四、卷六中15个定理；在《堑堵测量》一书中，他用勾股算法求出了球面直角三角形的边角关系公式；在《环中黍尺》一书中，他用直角射影的方法证明了球面三角学的余弦定理，同时还用几何方法证明了平面三角学的积化和差公式。

梅文鼎在《勾股举隅》中提出了勾股定理的三种新证法并且独立发现了“理分中未线（即黄金分割法）”；他论述的多元一次方程、“求周径密率捷法”、“求弦矢捷法”等公式，对清朝数学的发展起到了推动作用；他的数学成就影响遍及整个清代，正所谓“自征君以来，通数学者后先辈出，而师师相传，要皆本于梅氏”。

梁启超在《清代学术概论》中，把梅文鼎列为清代六大儒之一，誉其为清代天文算法“开山之祖”；清代著名数学家焦循赞扬梅文鼎的学术成就时曰“千秋绝诣、自梅而光”；我国近现代著名数学史家严敦杰先生评价说：“在17—18世纪我国的数学研究中，主要为安徽学派所掌握，而梅氏祖孙为中坚部分。”

焦循像

焦循（1763—1820年），字理堂（或字里堂），江苏扬州黄珏镇人，清朝时期哲学家、数学家、戏曲理论家，是清代扬州学派的代表人物之一，在清代学术史上占有重要地位。焦循思想深邃、领悟敏锐，尤精于历算之学。撰有《释弧》3卷、《释轮》2卷、《释椭》1卷、《加减乘除释》8卷、《天元一释》2卷、《开方通释》1卷，又命其子琥作《益古演段开方补》以附《里堂学算记》之末，当时的算学名家李锐、汪莱、钱大昕等皆与他讨论过问题。

从此之后，中国数学家更加努力地研究西方近代数学，把它与中国的传统数学相结合来推进中国数学近代化，并且出现了一批贯通中西的数学家和数学著作。据不完全统计，清朝初期，从事研究西方数学的学者达112人，撰写了许多中西结合的数学专著。

《崇祯历书》

除了梅文鼎、王锡阐的著作外，还有李之铉（即李子金）著《几何易简集》4卷；杜知耕著《几何论约》7卷；年希尧著《对数应用》1卷、《对整表》1卷、《三角法摘要》1卷；毛宗旦著《勾股蠡测》1卷；陈订著《勾股述》2卷、《勾股引蒙》10卷；王元君著《勾股衍》1卷；程禄著《西洋算法大全》4卷；戴震著《算经十书》1卷、《策算》1卷、《勾股割圜论》3卷；焦循著《加减乘除释》8卷、《开方通释》1卷、《释弧》3卷、《释椭》1卷等，为中国近代数学的发展奠定了良好的基础⁽¹⁰⁾。

与此同时，利玛窦开创的中西文化传播与交流的成果也随着岁月的流逝而断断续续地延续下来。例如，1634年，罗雅谷、邓玉函、汤若望等人译成天文学参考书籍137卷（总书名为“崇祯历书”）。

1712年，康熙皇帝下旨编写了《历象考成》42卷、《律吕正义》5卷、《御制数理精蕴》53卷（共100卷）。其中，《御制数理精蕴》是一部融中西数学于一体的“初等数学百科全书”，包括上编5卷、下编40卷，数学用表4种8卷。上编名为“立纲明体”，主要内容为《几何原本》《演算法原本》；下编名为“分条”，包罗了算术、代数、几何、三角等初等数学的多方面材料。此书有着康熙“御定”的名义，获得了广泛的流传，从而促成了乾嘉时期数学研究的高潮⁽¹¹⁾。

《御制数理精蕴》

《御制数理精蕴》中有一套专用数字名称，比如：个、十、百、千、万、亿、兆、京、垓、秭、穰、沟、涧、正、载、极、恒沙河、阿僧只、那由他、不可思议、无量数，其中个至万为十进制，从万至不可思议为万进制。比个位小的数，按十分之一递减，依次为分、厘、毫、丝、忽、微、纤、渺、漠、模糊、逡巡、须臾、瞬息、弹指、刹那、六德、虚空、清静等。

之后，在乾嘉学派数学家的努力下，一批中国传统数学著作被重新校勘，编入了《四库全书》中，使得传统的数学成果被重新理解。此套丛书获得了广泛的流传，从而促成了乾嘉时期数学研究以及中国传统数学复兴的高潮，直至西方近代数学（如微积分）和科学文化的再次传入。

具有鲜明特色的《畴人传》的编撰可视为最后一幕。1799年，阮元、李锐等完成《畴人传》49卷，记录了自黄帝至明清的中国数学家270多人；1840年，罗士琳写了《续瞒人传》6卷；1886年，诸可宝续写《畴人传三编》7卷；1898年，黄钟骏再写《畴人传四编》11卷，使得《畴人传》总计达73卷，60余万字，记录的中国数学家约400人、西洋学者52人。

此后，中国古代传统数学的研究工作停滞不前，除了一些研究数学史的学者之外，中国古代数学再也无人问津。中国数学有4000多年的历史，约400位知名数学家，约2500种数学著作（包括失传的在内），流传下来的差不多有2100种。这是中华民族对人类的伟大贡献，值得我们中华儿女引以为荣。

在19世纪初至鸦片战争前，除了在数学方面有几许研究成果和高潮外，在光学领域中国也涌现了两位很了不起的民间学者，即郑复光和邹伯奇。他们仅仅借助邓玉函、汤若望、南怀仁、戴进贤等来华传教士一两百年前带来的并不系统充分的且早已过时的光学知识，经过自身所做的试验，当然也不排除对外国进口的望远镜等光学仪器样品的研究，撰写了中国人自己的光学著作，探索制造望远镜等光学仪器的方法⁽¹²⁾。

阮元像

郑复光（1780—约1853年），字元甫、瀚香，安徽歙县人。当时以研究农学著称的学者包世臣在为郑复光的《费隐与知录》所撰写的序言中写道：“近世盛行西法，自乾隆之季迄今，以算学知名者十数。”包世臣提到了他与郑复光共同的好友歙县人汪莱和吴县人李锐二人，称“尝招集于秦淮水榭，二君各言中西得失之故”，且经常辩论得不可开交。

汪莱著有数学专著《衡斋算学》；李锐则不仅工于数学，还是阮元《畴人传》的主要撰稿人。当时还有张敦仁（1755—1833年，数学家）、焦循（1765—1814年，天文学家和数学家）、程恩泽（1785—1837年，精于天文地理）、张穆（1808—1849年，地理学家）、丁守存（1812—1883年，近代科技专家）等一大批知识分子，他们时常在一起讨论西方数学。

郑复光一生著有多部科学著作，其中数学方面的著作有《周髀算经浅注》《割圆弧积表》《笔算说略》《正弧六术通法图解》等，而《镜镜詅痴》则是一部专门研究光学原理和介绍光学仪器，特别是望远镜制造方法的专著⁽¹³⁾。

在《镜镜詅痴》中，郑复光多次引用了熊三拔的《泰西水法》、汤若望的《远镜说》、邓玉函的《奇器图说》、南怀仁的《灵台仪象志》和《崇祯历书》中的内容。

梁启超曾经高度评价《镜镜詅痴》一书曰：

明末历算学输入，各种器艺亦副之以来，如《火器图说》《奇器图说》《仪象志》《远镜说》等，或著或译之书亦不下十余种。后此之治历算者，率有感于“欲善其事先利其器”，故测候之仪，首所注意，亦因端而时及他器，梅定九所创制则有“勿庵揆日器”“勿庵测望仪”“勿庵仰观仪”“勿庵浑盖新仪”“勿庵月道仪”等。戴东原亦因西人龙尾车法作蠃族车，因西人引重法作自转车，又亲制璇玑玉衡——观天器，李申耆自制测天绘图之器亦有数种，凡此皆历算学副产品也。而最为杰出者，则莫如歙县郑浣香复光之《镜镜詅痴》一书。⁽¹⁴⁾

可见《镜镜詅痴》一书在中国科学史上占有重要地位。

邹伯奇是在郑复光之后清代中期另一位成就卓越的光学家和望远镜制造者。梁启超对他也有评述称：

格术之名及其术之概略，仅见于宋沈括《梦溪笔谈》，后人读之亦莫能解。特夫知其即是光学之理，更为布算以明之。以算学释物理自特夫始。⁽¹⁵⁾

邹伯奇（1819—1869年），字一鄂、特夫，号征君，广东南海人。他自幼从其父邹善文读书，平时最喜欢算学，善于思考且爱刨根问底。邹伯奇曾就任广州学海堂学长、广雅书院教师，并且参加了广东省地图的测绘工作。

1866年，北京京师同文馆添设天文算学馆，郭嵩焘曾上书举荐邹伯奇和李善兰到同文馆任职；曾国藩也欲延聘邹伯奇到上海江南制造局附设的书院教授数学，但邹伯奇淡泊名利，两次均辞谢。他只在广东的家乡专心钻研科学技术，与夏鸾翔、吴嘉善、丁取忠、陈澧等学者往来相契，常常共同探讨学术问题。

邹伯奇像

邹伯奇的研究兴趣与成就涉及数学、天文学、光学等科学领域，他尤其精通于几何光学、摄影技术和仪器制造。1874年出版的邹伯奇著作集中包括了有关天文学的《学计一得》2卷、《赤道南北恒星图》2幅、有关数学的《补小尔雅释度量衡》1卷、《对数尺记》1卷、《乘方捷术》3卷等著作。

邹伯奇使用过的天球仪和望远镜

对上述两位光学科学家，《中国光学史》有如下的评价⁽¹⁶⁾：

郑复光的卓越之处在于：他所处的时期，西洋光学传入的还很少，一本《远镜说》不过几千个字，真正叙述望远镜光学原理的尤其可怜，而且其中还有许多差错。另外就是《灵台仪象志》一类的天文书本，偶尔涉及光学。郑复光能够取它的精髓，吸取我国古代传统的光学知识，精心研究，融会贯通，独自创立起具有中国特色的光学大厦，实在是难能可贵。

而邹伯奇则以对问题研究的深入著称。他解释了一系列理论问题，得到了许多定量关系，而且大多正确无误，把我国的光学知识提高到一个新的水平。

19世纪的两次鸦片战争使得中国人开始清醒和正确地对待中西科学技术之间的差异。大批的中国人开始加入通过自觉地学习西方的科学技术、军事技术和政治理论以求国富民强的自强和维新运动。相对于当时利玛窦为了传播天主教而不得已采用的“学术传教”策略及其充当先锋的“数学文化传播”模式来说，西方数学作为西方军事技术及民用技术的基础得到了中国人的普遍重视，并最终进入基础教育体系且主导了中国近代数学的研究方向，中国数学的复兴也已经成为大家共同努力和为之奋斗的目标。

第二次鸦片战争（1860年）后，曾国藩、李鸿章等官僚集团开展了“洋务运动”，并主张介绍和学习西方数学。1866年恭亲王奕䜣建议在同文馆内添设算学，1868年曾国藩、李鸿章于上海江南制造局内添设翻译馆，中国数学家和外国人一起翻译了一批近代数学著作，而翻译著作也是中国在近代力图复兴传统数学的一大举措。

北京同文馆	江南制造局翻译馆

由于从西方输入的近代数学需要一个消化吸收的过程，加上清末统治者十分腐败，在太平天国运动的冲击和帝国主义列强的掠夺下，清政府焦头烂额无暇顾及数学研究。因此，直到1919年五四运动以后，中国现代高等教育以及现代数学的研究才真正开始。