二、高峰阶段，江山代有人才出
从公元前3世纪至公元14世纪，中国古代数学先后出现过4次发展高峰，即两汉时期、魏晋南北朝时期、隋唐时期和宋元时期。
1．西汉、东汉数学
公元前206年，汉高祖刘邦推翻了秦朝的统治，于公元前202年建立了强大的西汉王朝。从西汉起，中国古代的科学体系、教育体系开始逐步形成，而古代数学体系的构建也在汉朝基本完成。
公元前200—公元前100年间，西汉无名氏作《周髀算经》一书，分为上、下两卷，有关数学知识的论述分别记载于上卷之一、之二。这部著作的主要数学成就是勾股定理、测量术和分数运算，其他成就包括天文知识和历法。
《周髀算经》中的勾股定理及其证明
三国时期，东吴人赵爽（220—280年）注释了《周髀算经》，并首次完成了对勾股定理的理论证明。
公元前100年至公元100年，《九章算术》（原作者不详，且争议较大，一般认为是汉代张苍等辑撰）问世。这是我国古代最著名的数学典籍，从它出现至西方数学传入之前，《九章算术》一直是学习数学的首选教材，对中国古代数学的发展起到了巨大的推动作用。
《九章算术》记载了从先秦到东汉的数学成果，共提出246个数学问题，并给出了相应的解法。全书分为九大类，分别是(3)：
（1）方田：主要是田亩面积的计算和分数的计算，包括三角形、梯形、圆、圆弧与环形等形状的面积的计算方法；
（2）粟米：主要是粮食交易的计算方法，其中涉及许多比例问题；
（3）衰分：主要内容为比例，包括算术级数和几何级数的算法；
（4）少广：主要讲开平方和开立方的方法；
（5）商功：主要是用工量等工程数学问题，以体积的计算为主；
（6）均输：税收计算方法，比如缴税的周期，按人口征税等；
（7）盈不足：实质上是已知两点，求通过两点的直线方程；
（8）方程：主要是联立一次方程组的解法和正负数的加减法，在世界数学史上是第一次出现；
（9）勾股：勾股定理的应用，主要讲直角三角形三边互求的问题。
《九章算术》在解联立方程组、分数四则运算、正负数运算、几何图形的面积和体积计算等方面都提出了当时世界上先进的方法，但是原书只有解法而缺乏证明过程，并且在传抄的过程中，不可避免地出现了许多错误。
东汉末年，刘徽为《九章算术》做了注释，给出了解题的步骤和推导过程以及一些算法的证明，并纠正了原书中的一些错误。同时，刘徽在做注释的过程中，还做了很多创造性的工作，提出了不少超出原著的新理论。
至此，《九章算术》才得以享誉中外，成为一部较完美的中国古代数学教科书。《九章算术》的成书标志着世界数学研究中心从古希腊等地中海沿岸地区转到了中国，开创了以算法为中心的中国古代数学占据世界数学舞台主导地位的局面(4)，这种局面持续了两千年。
《九章算术》及其注释
2．魏晋南北朝数学
刘徽像
公元220年，东汉灭亡，随之出现了三国鼎立的局面。后来，经过晋朝、宋、齐、梁、陈、北魏、北齐、北周等朝代，至公元589年隋朝建立，史称这段时期为魏晋南北朝时期。在此期间，中国古代数学的理论论证体系取得了较大的发展，最杰出的代表就是数学家刘徽和祖冲之。
（1）刘徽是三国时期的魏国人（今山东省滨州市邹平县），生卒年不详，于公元263年著《九章算术注》一书，奠定了他在中国数学史上的不朽地位(5)。
刘徽的数学成果很多，“出入相补原理”、“割圆术”、“刘徽原理”（体积理论）、“海岛算经”都出自他之手。他在《九章算术注》中首次引入了逻辑环节，给出了数学概念的定义、公式和算法的证明，由此奠定了中国古代数学的理论基础。
他的主要著作有：《九章算术注》10卷、《海岛算经》1卷（原名为《重差》，是刘徽《九章算术注》中的第10卷。自南北朝后期以《海岛算经》为名单独发行，唐朝初期李淳风将《海岛算经》《九章算术》列到《算经十书》之中，作为古代国子监算学学习和考试用书之一）、《九章重差图》1卷、《鲁史欹器图》1卷等。其中《海岛算经》是一部运用几何和三角知识测量“可望而不可及目标”的数学著作。
刘徽是中国历史上最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人，他善于从实践中提炼出一般的数学原理，并解决了许多重大的理论性问题。他为我国古代数学在世界上取得了多个领先成果，如：最早提出了分数除法法则；最早给出最小公倍数的严格定义；最早应用小数；最早提出非平方数开方的近似值公式；最早提出负数的定义及加法法则；最早把比例和三数法则结合起来；最早提出一次方程的定义及其完整解法；最早创造出割圆术，计算出圆周率即“徽率”；最早用无穷分割法证明了圆锥的体积公式；最早创造“重差术”，解决了“可望而不可及目标”的测量问题。这10个方面，堪称10项“世界冠军”。
因此，刘徽的工作对中国古代数学的发展产生了深远影响。他做出的重要贡献，使得他在世界数学史上享有崇高的地位，当代数学史学家李迪也认为：“刘徽是中国历史上最伟大的数学家。”
祖冲之像
（2）祖冲之（429—500年），字文远，祖籍范阳郡遒县（今河北省涞源县），生长于建康（今江苏省南京市），是南北朝宋齐时期的著名数学家、天文学家。祖冲之一生致力于数学、天文历法和机械制造3个研究领域，“球的体积”的推导和“圆周率”的计算是他引以为荣的两大数学成就。他写的《缀术》一书，被收录到著名的《算经十书》中作为唐代国子监的算学课本，可惜后来失传了。
《隋书·律历志》（唐李淳风撰）留下一小段关于圆周率“π”的记载。祖冲之算出的π的真值在3.1415926和3.1415927之间，相当于精确到了小数点后第7位，简化成3.1415926，成为当时世界上最先进的成就。祖冲之还给出π的两个分数形式：22/7（约率）和355/113（密率），其中密率精确到了小数点后第7位，而在西方直到16世纪才由荷兰数学家奥托发现。祖冲之还和他的儿子祖暅一起利用“牟合方盖”解决了球的体积的计算问题，得到了正确的球的体积公式。
此外，祖冲之还发现了祖氏原理“幂势既同，则积不容异”，这就是西方文献中的“卡瓦列里原理”（1635年由意大利数学家卡瓦列里独立提出），对微积分的建立影响深远(6)。
在魏晋南北朝时期，还有几部数学经典著作问世并流传至今，包括《孙子算经》《五曹算经》《夏侯阳算经》《五经算术》《张邱建算经》《数术记遗》等(7)。
3．隋唐数学
公元589年，隋朝结束了魏晋南北朝300多年的分裂和战乱状况，在中国重新建立起了大一统的封建专制国家。然而，公元618年，隋朝又被唐朝所取代。在经历了“贞观之治”“开元盛世”之后，大唐成为当时世界上十分强盛和先进的国家。
在数学发展史上，隋唐期间并没有产生能够与魏晋南北朝和其后的宋元时期媲美的数学大师，但是在这段时间建立的数学教育制度和开展的数学典籍的整理工作却为宋元数学高峰的到来奠定了基础。
从隋唐开始，数学越来越多地被应用到了社会生活的方方面面。比如，负责编写历法的机构太史局（司天台）就需要大量有一定数学知识的官员，在必要的岗位上，还需要特别精通数学的官员。因此，隋唐时期创办了开展数学专门教育的机构并且形成了定制，也为宋元明清各朝代所遵守。
公元7世纪初，隋朝首先设立“国子监”作为主管教育的独立机构，之后又开设书学、算学和律学，将当时处于萌芽状态的“专科学校”列入“国立大学”之中，这使得“国子监”既是全国最高的教育行政机构，同时又是最高的学术研究机构和最高学府。其中设置算学“博士”（教师）2人，“助教”2人，学生80人，同时还制定了若干教学管理措施。
唐朝不仅继承了隋朝的数学教育制度，还在科举考试中开设了数学科目，即“明算科”。明文规定考试合格者也可以做官，不过官阶最低。公元656年，唐高宗下旨命李淳风（602—670年）等人对以前的10部数学著作进行整理和注疏，作为“国子监”的标准数学教科书，史称《算经十书》(8)。
李淳风在选定数学课本时，认为《周髀算经》（无名氏著）是最宝贵的数学遗产，而将它作为《算经十书》的第一本书；第二部便是《九章算术》（无名氏著）；其他8部分别是《海岛算经》（3世纪刘徽著）、《孙子算经》（约4—5世纪，作者不详）、《夏侯阳算经》（5世纪夏侯阳著）、《张邱建算经》（5世纪张邱建著）、《缀术》（5世纪祖冲之著）、《五曹算经》、《五经算术》（6世纪甄鸾著）、《缉古算经》（7世纪王孝通著）。后来《缀术》失传，只好用《数术记遗》（2世纪徐岳著、6世纪甄鸾注）来代替。
据《旧唐书·李淳风传》记载，李淳风生于隋仁寿二年（602年），岐州雍（今陕西省凤翔县）人氏。他从小被誉为“神童”，博览群书，尤擅长天文、地理、道学和阴阳之学。李淳风9岁时远赴河南南坨山静云观拜至元道长为师，17岁成为李世民的谋士并参与反隋兴唐大起义。公元618年，李渊称帝，封李世民为秦王，李淳风成为秦王府记室参军。唐贞观元年（627年），李淳风以将仕郎的身份直入太史局，执掌天文、地理、制历、修史之职40年。
李淳风主持编辑的《算经十书》作为标准的数学教科书，对唐朝的数学发展产生了巨大的影响，也为宋元时期数学的高度发达创造了条件。特别是唐朝的《韩延算术》、宋朝贾宪的《黄帝九章算法细草》、杨辉的《详解九章算法》、秦九韶的《数书九章》等都引用了《算经十书》中的问题，并在10部算经的基础上发展了新的数学理论和方法。后人对李淳风编定和注释的《算经十书》给予了很高的评价。英国的著名学者李约瑟博士就说过：“他大概是整个中国历史上最伟大的数学著作注释家。”
刘焯像
隋唐数学在历法编算应用中，也取得了一些数学成就。公元6世纪末，刘焯（544—610年）编订了《皇极历》，在历法中首次进行太阳视差运动的日行不均匀性计算，创立了用三次差内插法来计算日月视差运动速度的交食计算，推算出五星运行位置和日食、月食的起运时刻，提出了等间距二次插值公式。这是中国历法史上的重大突破，这种“插值方法”在当时也是一项重大的数学成就，且与牛顿的二次插值公式完全一致(9)。
僧一行像
唐玄宗开元十五年（727年），唐代杰出的天文学家僧一行（683—727年，俗名张遂）编成《大衍历》，把刘焯的“插值公式”推广成了更具优越性的自变量不等间距的内插法，并且在其中提出了含有三次差的近似内插公式。
《大衍历》完成的同一年，僧一行不幸去世，年仅44岁。唐开元十七年（729年），《大衍历》颁布实行，并一直沿用达800年之久。《大衍历》作为当时世界上较为先进的历法，还相继传入日本、印度，极大地影响了这两个国家的历法编制。
4．宋元数学
公元907年唐朝灭亡，在经历了短暂的“五代十国”动乱之后，公元960年，中国又进入了一个大一统的王朝时代——宋王朝。在数学史上，宋王朝和后来的元王朝成为中国古代数学的鼎盛时期，产生了众多的数学成就和数学大师。
在宋元时代（960—1368年），手工业如冶炼、纺织、陶瓷等都已初具规模，土木工程和水利工程也达到了较高的水平，商业和外贸比较兴旺，科学技术也很发达。古代四大发明中的两项——指南针和活字印刷术诞生于这一时期，生产和经济的发展对数学提出了新的课题和更高的要求。
从11世纪开始，古典的和新著的数学书的印刷本在全国各地流通，促进了数学教育的普及和数学研究的发展。印刷术有助于中国古代传统数学在宋元时代达到高峰，取得一系列世界一流的成果。这一时期，数学领域人才辈出，其中最著名的就是“宋元四大家”，即杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰。
开方作法本源图
（1）1050年，北宋人贾宪撰《黄帝九章算法细草》，但遗憾的是原书已失传。南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》（1261年）中讲到“贾宪三角”（“开方作法本源图”，现称“杨辉三角”），比“帕斯卡三角”早了400多年。在这张“开方作法本源图”中，贾宪将左右斜线上的数字“一”分别称为“积数”和“隅算”，将这两行斜线数字中藏的数字称为“廉”，开几次方，就用相应行的廉。比如，第三行“二”是开平方的廉；第四行“三、三”是开三次方的廉；第五行“四、六、四”是开四次方的廉等等，这里的“积”“隅”“廉”都是中国古代开方术语。利用“贾宪三角”，贾宪、杨辉开创了适用于任何高次幂的“增乘开方法”。
到了13世纪中期，数学家们又用这个方法来求任何数字高次方程的正根，很多有实际意义的应用问题就得到了解答，“增乘开方法”也成为目前世界上有明确记载的最早的高次开方法。
（2）1247年，南宋数学家秦九韶（1202—1261年）总结了自己长期研究所积累的数学知识和创造性的成果，写出了我国古代的传世名著《数书九章》。
秦九韶像
秦九韶，字道古，普州安岳县（今隶属四川省资阳市）人。其父秦季栖，进士出身，官至上部郎中、秘书少监。秦九韶聪敏勤学，从小就跟随父亲居住在杭州的府衙内，因而有机会向太史学习天文、历法，期间又热衷于向“隐君子”学习数学。宋绍定四年（1231年），秦九韶考中进士，先后在湖北、安徽、江苏、浙江等地做官。公元1261年，秦九韶被贬至梅州，不久死于任内。
《数书九章》共18卷约20万字，搜集了与当时社会生活密切相关的81个数学实际应用问题，按性质分为9类，每类9题。这9类是：大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅和市易。其最重要的成就，除了“正负开方术”外，还有“大衍总数术”，即“中国剩余定理”，它代表了当时中国乃至中世纪世界数学的最高成就。美国哈佛大学科学史家萨顿（Sarton）曾对其做出极高的评价：“秦九韶是他那个民族、他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一。”(10)
（3）李冶（1192—1279年）生活于元代初期，字仁卿，自号敬斋，祖籍真定府栾城县（今隶属河北省石家庄市）。李冶出生于大兴（今北京市大兴区），自幼聪敏，喜爱读书，曾在元氏县（今河北省元氏县）求学，对数学和文学都很感兴趣。《元朝名臣事略》中说：“公（指李冶）幼读书，手不释卷，性颖悟，有成人之风。”
1230年，李冶在洛阳考中词赋科进士，任钧州（今河南省禹县）知事，两年之后，他定居于崞山（今山西省崞县）之桐川。此时，李冶已不再为官，而是将全部精力投入于他的科学研究工作之中，包括数学、文学、历史、天文、哲学、医学。其中最有价值的工作是最先系统地对天元术（用专门的记号来表示未知数）进行了全面总结和阐述，并于1248年写成数学史上的不朽名著《测圆海镜》。
李冶是代数符号化的先驱，其代表作《测圆海镜》是我国现存最早的一部天元术著作，并且在体例上也有创新。全书基本上是一个演绎体系，卷一包含了解题所需要的定义、定理、公式；后面各卷所述问题的解法均可在此基础上以天元术为工具推导出来，其研究对象是离生活较远而自成系统的“圆城图式”。
《测圆海镜》
李冶的另一部著作《益古演段》则把天元术用于解决实际问题，全书有64题主要处理平面图形的面积问题，所求多为圆径、方边、周长之类。除4道题是一次方程外，其余全是二次方程的问题，内容安排基本上是从易到难。书中常用人们易懂的几何方法对天元术进行验证，对人们接受天元术大有禆益。
《益古演段》的价值不仅在于普及了天元术，其在理论上也有创新。李冶善于用传统的出入相补原理及各种等量关系来减少题目中的未知数的个数，化多元问题为一元问题；并且李冶在解方程时采用了设辅助未知数的新方法，以简化运算。
（4）朱世杰（1249—1314年），字汉卿，号松庭，燕山（今北京市）人氏，元代数学家、教育家。他长期从事数学研究和数学教育事业，“以数学名家周游湖海二十余年”“踵门而学者云集”。朱世杰在当时李冶“天元术”的基础上发展出“四元术”（也就是列出四元高次多项式方程以及消元求解的方法），此外他还创造出“垛积法”（即高阶等差数列的求和方法）与“招差术”（即高次内插法）。
朱世杰的数学代表作有《算学启蒙》（1299年在扬州刊刻）和《四元玉鉴》（1303年书成付梓）各3卷。
《算学启蒙》共3卷，分为20门，收录了259个数学问题，由浅入深、循序渐进；从一位数的乘法开始，内容包括了各类乘除法歌诀、各类面积和体积以及算术问题；从分数运算、垛积法、盈不足术，一直讲到“天元术”，堪称一部通俗的数学名著。该书曾流传海外，促进了朝鲜、日本数学的发展。
《四元玉鉴》是朱世杰阐述自己研究成果的著作，共3卷，24门，288个问题(11)，大部分都与方程或方程组的求解相关，其中关于四元方程组的问题有7个，三元的有13个，二元的有36个。书中给出了多元高次方程组的消元方法，以及用正负开方术求解的方法。该书是中国宋元数学达到高峰的又一个标志，其中最杰出的数学创作有“四元术”“垛积法”“招差术”与高次招差法公式，比西方早了400年。
朱世杰对多元高次方程组解法、高阶等差级数求和、高次内插法进行了深入研究，在《四元玉鉴》中他讨论了多达四元的高次联立方程组解法、多项式的表达和运算以及消去法。这种方法已接近现代的代数学方法，在当时处于世界领先地位。
总之，在13世纪初，古希腊数学曾随阿拉伯的算学传入我国，其中的某些算法就出现在秦九韶的《数书九章》（1247年）中。元朝初期（1271年），我国已有了古希腊数学的阿拉伯文译本。但自元朝末期（1360年）开始，连年战争导致政权更迭频繁，使得中西方的文化交流被搁置下来。与此同时，中国古代传统数学的发展也骤然放缓甚至停滞，到明朝末年（17世纪上半叶）其整体水平已经大大落后于西方国家。