【习题解析】

　　1.在拍卖活动中，人们依次报价，每个人的报价必须比上一次报价至少高1美元，拍卖品卖给开价最高者。如果拍卖品对第i个人的价值是v_i，成交价格为多少？哪一个人将买到拍卖品？

　　【重要级别】 ☆☆☆　　　　　　　　【难度级别】 ☆☆

　　【考查要点】 需求显示　竞价拍卖

　　【参考答案】 由于竞价者自由报价，所以对第i个人而言，如果当前的价格加1美元仍低于他对该商品的评价v_i，那么他就愿意再增加1美元报价，当拍卖品的价格上升到对其出价的次高价格时，那么对其评价为次高价格的竞拍者将不会继续报价，因此对其评价最高的人可以再增加1美元获得该商品，并且该价格仍然低于他对拍卖品的评价。所以评价最高的人最终以次高的价格再加上1美元获得该拍卖品。

　　2.在几个人中密封报价拍卖某一商品，令v_i为第i个人对商品的评价。证明：如果该商品按次最高出价卖给最高出价者，讲真话符合每个局中人的利益。

　　【重要级别】 ☆☆☆　　　　　　　　【难度级别】 ☆☆

　　【考查要点】 需求显示　拍卖竞价

　　【参考答案】 这一论点和有关克拉克税的观点相似。假定他把出价提高到超过实际价值，如果他是较高出价者，则不会改变他得到商品的机会；如果他不是较高出价者，则他把出价提高到足以超过最高出价的水平，将得到商品，不过需按第二高的出价支付，这对他来说超过了商品价值。证明如下：

　　假定第i个人对拍卖品的真实评价为v_i，其报价为p_i，净值k_i为v_i与购买价之差。当v_i大于max{p_j}，i≠j时，如果p_i大于max{p_j}，则k_i大于零；如果p_i小于max{p_j}，则k_i为零。但是如果此人的v_i等于其p_i，这将与v_i大于max{p_j}，i≠j时的情况相同，其最高净值为v_i-max{p_j}，从而说明报出真实评价是此人的最优选择；当v_i小于max{p_j}，i≠j时，如果p_i大于max{p_j}，则k_i小于零；如果p_i小于max{p_j}，则k_i为零。但是如果此人的v_i等于其p_i，这将与v_i小于max{p_j}，i≠j时的情况相同，其最高净值为零，从而也说明报出真实评价是此人的最优选择。

　　综上所述，无论在何种情况下，说真话是每个人的最优策略选择。

　　3.假定10个人住在同一条街上，每个人都愿意为新增加的每一盏路灯多支付2美元而不考虑已提供的路灯数量。如果提供x盏路灯的成本为c(x)=x²，实现帕累托有效率的路灯数量应是多少？

　　【重要级别】 ☆☆☆　　　　　　　　【难度级别】 ☆

　　【考查要点】 公共物品的提供　公共物品的提供数量

　　【参考答案】 公共物品供给达到帕累托有效的条件是边际替代率之和等于提供公共物品的边际成本，即是第i个人的公共物品对私人物品的边际替代率。由题意知，消费者为新增加的每一盏路灯愿意支付2美元，因此MRS之和为2×10=20，边际成本MC=2x，由上述条件得到2x=20，解得x=10，即为帕累托有效数量。