【习题解析】

　　1.证明一家利润最大化的厂商总是成本最小化的。

　　【重要级别】 ☆☆☆　　　　　　　　【难度级别】 ☆☆☆

　　【考查要点】 成本最小化

　　【参考答案】 厂商的利润函数为π=maxpf(x)-wx，当利润最大时，则存在x^*，使得π=pf(x^*)-w·x^*，此x^*即是利润最大化问题的解。

　　下面用反证法来证明x^*同样是成本最小化问题的解。对于给定的q^*=f(x^*)，成本最小化问题为：

　　minwx

　　s.t.f(x)=q^*

　　假设x^*不是此问题的解，则存在一个使成本最小化的数量x'，满足q^*=f(x')，但wx'<wx^*，则pf(x')-wx'>pf(x^*)-wx^*，这与x^*是利润最大化问题的解相矛盾，因此利润最大化的解也是成本最小化的解。

　　2.一家在MP₁/w₁>MP₂/w₂情况下生产的企业如何降低成本而又维持相同产量？

　　【重要级别】 ☆☆☆　　　　　　　　【难度级别】 ☆☆

　　【考查要点】 成本最小化　成本最小化的条件　　边际产出递减规律

　　【参考答案】 成本最小化的必要条件是MP₁/w₁=MP₂/w₂。当MP₁/w₁>MP₂/w₂时，要使MP₁/w₁=MP₂/w₂，企业需要降低要素1的边际产品MP₁，提高要素2的边际产品MP₂，直至MP₁/w₁=MP₂/w₂。根据边际产出递减规律，要降低企业1的MP₁，就需要增加要素1的使用量；要提高企业2的MP₂，就需要降低要素2的使用量，一直持续到MP₁/w₁等于MP₂/w₂，企业达到最小成本。

　　3.假定一家成本最小化的厂商使用两种完全替代的投入。如果这两种投入的价格相同，它们的有条件要素需求是怎样的？

　　【重要级别】 ☆☆☆　　　　　　　　【难度级别】 ☆☆

　　【考查要点】 成本最小化　成本最小化和有条件要素需求的概念

　　【参考答案】 由于两种投入是价格相同且完全替代品，所以厂商对于使用哪种投入要素是无差异的，也就是说，厂商可以使用这两种投入要素的任意数量，使得x₁+x₂=y。由于要素价格相等，可以假设w₁=w₂=1，则成本最小化的问题为：

　　minx₁+x₂　　s.t.x₁+x₂=q

　　由上式可知，不论x₁和x₂的取值如何，厂商总是可以达到最小成本，且为q。

　　【翔高点评】 本题中的完全替代理解为1︰1完全替代，若替代比率不是1︰1且要素价格相同，那么厂商就会只选择相同投入量下产出更多的那种要素。

　　4.一家成本最小化的厂商所使用的纸的价格上涨，厂商对此的反应是改变某些要素的需求量，但维持产量不变。在这种情况下，企业的用纸量会发生怎样的变化？

　　【重要级别】 ☆☆☆　　　　　　　　【难度级别】 ☆☆

　　【考查要点】 显示的成本最小化　成本最小化弱公理

　　【参考答案】 由成本最小化弱公理得：ΔwΔx≤0，其中Δx为产量变化向量，Δw为要素价格变化向量。如果纸以外的其他要素需求下降，那么在保持对纸的使用量不变的情况下ΔwΔx≤0依然成立，从而企业的产量可以维持不变；如果其他要素需求不变，即其他要素的Δx，Δw为0，那么要使得Δw/Δx≤0在Δw₁>0的情况下依然成立，就有Δx₁<0，即纸的使用量下降。因此，对纸的需求量要么下降，要么保持不变。

　　5.设一家厂商使用n种投入要素(n>2)，对于一个既定的产出水平，关于要素价格变化(Δw_i)和要素需求变化(Δx_i)，显示成本最小化理论会导出什么不等式？

　　【重要级别】 ☆☆☆　　　　　　　　【难度级别】 ☆☆

　　【考查要点】 显示的成本最小化　成本最小化弱公理