【习题解析】

　　1. 本章正文中说，一个效用函数的奇次幂是单调变换。那么，一个效用函数的偶次幂仍然是单调变换吗？(提示：考虑f(u)=u²这种情况)

　　【重要级别】 ☆☆☆【难度级别】 ☆☆

　　【考查要点】 效用函数正单调变换的性质

　　【参考答案】 一个效用函数的偶次幂不一定是单调变换。如果偶次幂之前的效用函数值均为正，则偶次幂之后不改变排列次序，因此是单调变换。但如果偶次幂之前的效用函数值中存在负数，那么偶次幂后有可能会改变原来的数字顺序，所以不再是单调变换。比如构造一个效用函数u(x)=x和单调变换f(u)=u²，对该效用函数偶次幂后，u'(x)=f(x)=x²，此时效用函数的单调性与u(x)=x有所不同，所以不代表单调变换。

　　2.下面哪些是单调变换？

　　(1)u=2v-13；(2)u=-1/v²；(3)u=1/v²；(4)u=lnv；(5)u=-e^-v；

(6)u=v²；(7)u=v²，其中v>0；(8)u=v²，其中v<0。

　　【重要级别】 ☆☆☆【难度级别】 ☆☆

　　【考查要点】 效用函数正单调变换的性质

　　【参考答案】 (1)是单调变换。

　　(2)在v>0时是正单调变换，v<0时不是正单调变换。

　　(3)在v>0时不是正单调变换，v<0时是正单调变换。

　　(4)在v>0时是正单调变换，v<0时不是正单调变换。

　　(5)正单调变换。

　　(6)在v>0时是正单调变换，v<0时不是正单调变换。

　　(7)正单调变换。

　　(8)不是正单调变换。

　　3.本章中讲过，如果偏好是单调的，那么经过原点的射线与每一条无差异曲线只会相交一次，你能严格地证明这一点吗？(提示：如果它同某条无差异曲线相交两次，会出现什么情况呢？)

　　【重要级别】 ☆☆☆【难度级别】 ☆☆

　　【考查要点】 各种效用函数及从效用函数推导无差异曲线　无差异曲线的性质

　　【参考答案】 采用反证法：假设射线同一条无差异曲线相交于两点(x₁，x₂)和(y₁，y₂)，由于这两点同在射线上，所以必有x₁>y₁，x₂>y₂或x₁<y₁，x₂<y₂成立。如果假设x₁<y₁，x₂<y₂，根据偏好的单调性，这就意味着(x₁，x₂)≺(y₁，y₂)，但由于(x₁，x₂)和(y₁，y₂)在同一条无差异曲线上，即有(x₁，x₂)~(y₁，y₂)，因此这与(x₁，x₂)≺(y₁，y₂)相矛盾。所以如果是单调偏好，经过原点的射线只会同每条无差异曲线相交一次。

　　4.哪种偏好可用如同形式的效用函数表示？效用函数v(x₁，x₂)=13x₁+13x₂表示何种偏好？

　　【重要级别】 ☆☆☆【难度级别】 ☆☆

　　【考查要点】 效用函数的正单调变换

　　【参考答案】 (1)完全替代的偏好可由形式的效用函数表示。对效用函数做单调变换f(u)=u²，得到新的效用函数为u'(x₁，x₂)=x₁+x₂，这是完全替代偏好的效用函数，由于效用函数正的单调变换不改变偏好关系，所以也可表示完全替代的效用函数。

　　(2) 效用函数v(x₁，x₂)=13x₁+13x₂表示完全替代偏好。对v(x₁，x₂)=13x₁+13x₂做单调变换f(u)=(1/13)v，得到u'(x₁，x₂)=x₁+x₂，所以v(x₁，x₂)=13x₁+13x₂也代表完全替代的偏好。

　　5.哪种偏好可用如同形式的效用函数表示？效用函数是u(x₁，x₂)的单调变换吗？

　　【重要级别】 ☆☆☆【难度级别】 ☆☆

　　【考查要点】 各种效用函数及从效用函数推导无差异曲线　拟线性偏好的效用函数u(x₁，x₂)=v(x₁)+x₂

　　【参考答案】 (1)拟线性偏好可用如同形式的效用函数表示。

　　(2)效用函数是u(x₁，x₂)的单调变换。因为u的取值恒大于0，对u做单调变换f(u)=u²，可得，即为v。

　　6.考虑效用函数，它表示何种偏好？函数是u(x₁，x₂)的单调变换吗？函数是u(x₁，x₂)的单调变换吗？

　　【重要级别】 ☆☆☆【难度级别】 ☆☆

　　【考查要点】 各种效用函数及从效用函数推导无差异曲线　柯布—道格拉斯偏好效用函数

　　【参考答案】 (1)柯布—道格拉斯函数是，因此效用函数代表柯布—道格拉斯偏好(α=1/2时的单调变换)。

　　(2) 函数不是u(x₁，x₂)的单调变换。由于效用函数的单调变换不改变偏好关系，所以如果是u(x₁，x₂)的单调变换，则它们的偏好相同，也就是它们的边际替代率相同。效用函数的边际替代率，的边际替代率，这两个边际替代率不相等，所以函数不是u(x₁，x₂)的单调变换。

　　(3)函数是u(x₁，x₂)的单调变换。对效用函数做单调变换f(u)=u⁴，可以得到，因此效用函数是u(x₁，x₂)的单调变换。

　　7.你能解释为什么效用函数的单调变换不会改变其边际替代率？

　　【重要级别】 ☆☆☆【难度级别】 ☆

　　【考查要点】 单调转换和边际替代率

　　【参考答案】 边际替代率是无差异曲线的斜率，而无差异曲线代表的是偏好关系，只要偏好相同，则无差异曲线也相同，从而边际替代率也相同。而效用函数的单调转换不改变原偏好关系，也就是无差异曲线不变，因此边际替代率也不变，所以也就不改变边际替代率。只要消费者的偏好没有改变，无差异曲线就不会发生变化，其斜率即边际替代率也不会发生变化，因此效用函数的单调转换不会改变其边际替代率，其数学证明如下：

　　假设v(x₁，x₂)是f(u(x₁，x₂))的正单调变换，那么v(x₁，x₂)的，这说明边际替代率与效用函数的正单调变换无关。