30.联谊活动

某学院哲学系和历史系举行联谊活动，参加活动的人数有100人。在这100人中，有的人会打羽毛球，有的人会打乒乓球，有的人两种球都会打，有的人一种球都不会打。其中，至少会打羽毛球的人数为63人，至少会打乒乓球的人数为81人，两种球都不会打的人数为10人。那么，只会打羽毛球或者只会打乒乓球的人概率有多大？有多少人两种球都会打？

答案

1. 20%。分析：（1）从5把钥匙中，依据排列组合公式算出前三把共有60种。（2）从5把钥匙中将正确的排在第三把，也就是从其他4把钥匙中排出前两把，第三把就是正确的，依据排列组合公式算出共12种。（3）第三把钥匙打开房门的概率是12÷60=0.2=20%，所以，可知恰好第三把打开房门的概率是20%。另解：因为共5把钥匙，这5把钥匙是随机试的，5把钥匙打开房门的机会均等，每把钥匙打开房门的概率是1÷5=0.2=20%，当然，第三把钥匙打开房门的概率也是20%。

2.王子可以在装金币的盆里留1枚金币，把剩余的金币倒入另外一个盆里，这样，盆里就有10枚银币和9枚金币，如果他选中的只是一个金币的盆，拿出金币的概率就是100%；如果选中另一个盆，拿出金币的概率就是9/19。他选中两个盆的概率都是1/2，所以拿出金币的概率是100%×1/2+9/19×1/2=14/19。这样就远远大于未调换前的1/2。

3. 1/6。分析：（1）抽中的概率为 1/6，没抽到的概率为 5/6。（2）如果 A抽中了，B抽中的概率为0；如果A没抽中，剩下的5个签B再抽，从剩下的5个签中B抽中的概率为1/5。从整体考虑，B抽中的概率为5/6×1/5=1/6。（3）同理，C抽中的概率为5/6×4/5×1/4=1/6。D抽中的概率为5/6×4/5×3/4×1/3=1/6。（4）由此可见，6人抽中的概率是相等的，与抽签的先后顺序无关。所以这6人被抽中的概率都是1/6。

4.第一步：从6个班中随机抽取2个班，小东所在的班被抽中的概率为2÷6=1/3；第二步：如果小东参加了娱乐活动，那么小东成为幸运观众的概率为4÷（40×2）=1/20。根据乘法原理，小东成为幸运观众的概率为1/3×1/20=1/60。

5.一：从0～9这10个数字中每人随机挑选1个数字，共有10×10=100种可能出现的情况。在这100种情况中，2个数的差为0（2个数字相同）的情况有10种；2个数的差为1的情况有2×9=18种；2个数的差为2的情况有2×8=16种。所以，两个数的差不超过2的概率为（10+18+16）÷100=44%；二：从0～9这10个数字中随机挑选2个数字，共有10×10=100种不同的情况，而在这100种情况中，2个数的差为7的情况有2×3=6种；2个数的差为8的情况有2×2=4种；2个数的差为9的情况有2×1=2种；2个数的差超过6的情况共有6+4+2=12种。所以，两个数的差不超过6的概率为88÷100=88%。

6. 4张明信片，4个同学来拿，根据排列组合公式可以算出一共有24种不同的拿法。在24种不同的拿法中，其中恰有一位同学拿到自己的明信片的情况是4种，此时其他3位同学拿到的都是别人的明信片，各有2种情况，所以恰好有一位同学拿到自己写的明信片的情况共有4×2=8种。因此，恰有一位同学拿到自己写的明信片的概率是8÷24=1/3。

7.某一时刻开来1路车，从此刻起，分析乘坐汽车的情况如下表：

由上表可知，每10分钟乘坐1路车的概率是7÷10=70%；乘坐9路车的概率是3÷10=30%；因此，小红乘坐1路车的概率大。

8.根据排列组合公式可以算出由2、3、5、7、9五个数字构成的车牌号共有120个。肇事车的车牌号是120个车牌号中的其中1个。所以把这五个数字随意录入恰好是肇事车辆的车牌号的可能性是1÷120=1/120。

9.开始的时候你砸中金蛋的概率是1/3，砸错的概率是2/3。当另一个金蛋被砸开，这时你再选择的概率就变了。当主持人再次让你做出选择时，如果你继续坚持原来的选择，且2万元恰好在你选择的金蛋中时，你中奖的概率就是1/3×1=1/3。但如果2万元不在你选择的金蛋中，而是在剩下的那个金蛋中时，你中奖的概率便是2/3×0=0，那么，加起来，你中奖的概率就是1/3。这时如果你改变主意，重新换了一个金蛋时，如果2万元确实在你选择的那个金蛋里，那么，改选另一个金蛋的中奖概率是：1/3×0=0。但如果你原来猜错了，后来你改选的那个金蛋刚好中奖了，这时的概率就是2/3×1=2/3。那么，加起来，你中奖的概率就是2/3。所以说，在这种情况下，主持人让你考虑重新做出选择时，你改变原来做出的选择，中奖的概率就会翻一番。

10.不可信。任何时间，炮弹落在任何地点的概率都是相同的。即使是新炸的炮坑，第二次开炮时，炮弹的落地点不会因此而受影响。

11.小林在轮到自己且小黄没死的条件下必先杀掉小黄，再跟小李单挑，这样才能胜算最大，抱得美人归。所以小黄在小林没死的情况下必打小林，否则自己必死。小李经过计算比较后，会决定自己先打小林。这样一来，小李就有了33.6%的生机；小黄有41.9%的生机；小林有24.5%的生机。在此基础上，小李要想胜算更大，就应该第一枪朝天开，后面打对方，谁活着打谁；而小黄应该会一如既往地先打小林，而小林也是先打小黄。所以，最后小李、小黄、小林的存活率约为38∶27∶35，而菜鸟小李反而活下来抱得美人归的概率最大。

12.因为P先生知道牌的点数，那就说明点数是不能重复的，因此，根据P先生那句“我不知道这张牌”可以先排除黑桃J、8、2、7、3和草花K、6，剩下红桃4、Q、A，黑桃4，草花Q、5、4和方块A、5。再由Q先生的那句“我知道你不知道这张牌”，可以理解为Q先生一知道花色，即明白无论P手上点数为何，都不可能马上推出花色，而符合这个条件的花色只有红桃和方块，因此可以排除黑桃4和草花Q、5、4，剩下红桃4、Q、A和方块A、5。

再根据P先生的那句“我现在知道这张牌了”得出不可能是两张重复的A，因此再排除掉A。最后Q先生说出“我也知道了”，综合前面也只有方块的点数5才能让P说出“我现在知道这张牌了”这句话。因此，S先生就推断出这张牌是方块5。

13.小牛和象棋高手A下的那盘棋，让A先走另一盘棋让象棋高手B后走。然后，小牛看看A怎么走，就照搬过来对付高手B，再看B走哪一步，又搬回来对付A。这样一来，表面上是小牛同时下两盘棋，实际上是高手A和高手B在下。只要A和B不可能同时赢，那小牛就不会两盘都输。

14.应该击6号木柱。这样，就会把木柱分成1根、3根和7根，无论对手怎么击，只要瑞普策略得当，对手就都会输。

15. 64号。从1号开始背，按顺序背诵课文的将分别是1、3、5……63等奇数学号的学生。这一批学生背完后，接着2、4、6……照此类推，只有64号可以成为最后剩下的那个人。

16.在每次抛掷硬币的过程中，正面朝上的概率都是1/2，这个概率不会因为换了谁抛或者是抛了几次而改变。因此，第11次抛硬币，硬币正面朝上的可能性还是1/2。

17.从这道题的已知条件来看，取出2颗糖，这2颗糖的口味分布情况主要有6种，而一颗有牛奶味的有5种情况，所以，“取出2颗糖，1颗是牛奶味”的概率就是5/6，而“一颗是牛奶妹，另一颗也是牛奶味”只是其中的一种情况，概率是1/6。这么一来，小利第二颗糖也是牛奶糖的概率就是（1/6）/（5/6）=1/5。

18.两次。将这8个铅球分成3个、3个、2个三组。

首先，分别在天平两端放入3个球，当天平平衡时，说明较重的那个铅球在剩余的2个铅球里面。然后，分别将剩余的2个球加在天平的两端上，此时，天平向哪端倾斜就说明后放入的那个球便是重球。假如天平偏向一方，就将轻的那端上面的三个球拿下来，将重的那端上面的三个球取两个分别放在天平的两端。这时，如果天平保持平衡，那么剩余的球便是重球，如果天平偏向一端，重的那端便是重球。

19.看守不用担心，因为即使把获释人的姓名告诉亚当，亚当被处死的概率仍然是1/3，没有改变。但是，剩下的那位没被点名的人就有了2/3的概率被处死（被处死的可能性升高了）。因为这位看守话说得显然很有趣。对他来说，这3个人死不死的概率是不变的：1、0、0，就是有一个必死，两个必活。我们旁观者认为亚当会死的概率是1/3，那是因为监狱里有3个人，会死1个。现在看守说出一个名字后，我们旁观的人知道是2个里面死1个，亚当在内，则亚当会死的概率上升到1/2。

20.需赌金95元，做法如下：

35元押1号马，因为赚赔率2对1，所以如果它赢的话，你将可以拿到105元。

30元押2号马，因为赚赔率5对2，所以如果它赢的话，你也可以拿到105元。3号马及4号马各押15元，因为赚赔率6对1，所以如果任何一匹马赢的话你都可以拿到105元。

所以在上述下注方法中，无论哪一匹马赢都可以确定能赚到10块钱。

在现实生活中，赚与赔的机会很少平衡，所以可以先求出所有赚赔率加1的倒数的和（此时赚赔率若为m对n，则先化简为m/n对1的形式），如果总数小于1，那你才真有可能会赢。

现在讨论本题中的情况：

赚赔率2对1等于1/（2+1）=1/3；

赚赔率5对2等于2.5对1，就等于1/3.5=2/7；

赚赔率6对1就等于1/7，所以赚赔率的倒数和等于：

从上式可看出每下注19元可以净赚2元，即7元押1号马，6元押2号马，3号马及4号马各押3元。

21.先开第一个开关；一会儿以后再开第二个；然后马上去有灯的房间。不亮的是第三个开关控制的；两个亮的，烫手的是第一个开关控制的；不烫手的是刚亮的，是第二个开关控制的。

22.概率为。命题“要么张鹏被录取，要么李淼被录取”实际就是2人不能同时被录取，且至少有一人被录取。由于张鹏被录取的概率是，李淼被录取的概率是，那么，其中代表张鹏被录取但李淼没被录取的概率，代表张鹏没被录取但李淼被录取的概率。李淼被录取的概率为，没被录取的概率为

23.答案是“至少有一人中奖”，与之相反的就是没有人中奖。可以如下

计算：1-（7/10）×（6/9）×（5/8）×（4/7）×（3/6）

24.概率为1/30。思路：把人分成3部分，第一部分是面试的前三个人组成，第二部分由最差的人组成，第三部分由其他的人组成，分别令这3个部分为A、B、C；由于要求最差的人录取，则能力第一强的人一定在A中。因为，前3个面试的一定不录取，所以，能力第一的人的位置可能是面试顺序的第一、第二、第三中的一个。则C（1，3）×P（8，8）代表当能力第一的人在A中，且能力最差的在最后一个时存在的情况总数。P（10，10）代表不考虑任何限制，10个人的总排列情况的数目，则所求=［C（1，3）×P（8，8）］/P（10，10）=1/30。

25.假设这次考试有100人参加，那么5题分别做对的人数为84、88、72、80、56人。全班共做对84+88+72+80+56=380（题）。要求及格率最少，也就是让不及格人尽量多，即仅做对两题的人尽量多；要让及格的人尽量少，也就是说共做对5题和共做对4题的人要尽量多。我们可以先假设所有人都只做对两题，那么共做对100×2=200（题）。由于共做对5题的最多有56人，他们一共多做了56×3=168（题），这时还剩下380-（200+168）=12（题）。因为做对4题的人要尽量多，所以每2题分给一个人，可以分给12÷2=6（人），即最多6个人做对4题。加上做对5题的56人，那么及格的人最少有56+6=62（人），也就是及格率至少为62%。

26.解决这个问题最好用反证法，即先证明50个人中没有两个人同一天生日的概率非常之小。我们可以把365天看成365个座位，现在要给50个人按照生日安排座位，必须保证没有两个人坐在同一座位（也就是没有两个人同一天生日）。对于第一个人来说，他选择座位的概率是365除以365，也就是1，因为所有座位都是空的，他都可以就座。当第一个人坐进去后，第二个人选择的概率就是364除以365了，因为已经有一个座位坐了人，他只能坐另外364个中的一个。接下来的第三个人，选择的概率就更小一些，是363除以365……按照这种算法，只有当每一个人坐的座位都不同时，才能满足没有两个人坐同一个座位的要求。50个人排座的概率依次为365除以365，364除以365……（365-50+1）除以365。由于若干个独立事件的乘积的概率等于每个独立事件概率的乘积，我们可以得出以下公式：365/365×364/365×……（365-50+1）/365。最后的结果等于0.03。也就是说，没有两个人同坐一个座位的概率是3%。表示在这个问题中，50个人中没有两个人是同一天生日的概率只有3%，那么至少有两个人同一天生日的概率就是97%。所以，老师的胜算要更大一些。

27.根据题目，我们知道4个粽子中有一个瘦肉馅、一个豆沙馅、两个什锦馅。那么，吃第一个粽子是什锦馅的概率2÷4=1/2，再剩下的3个中拿出什锦馅的概率1÷3=1/3，所以：（1/2）×（1/3）=1/6。故他吃两只粽子恰好都是什锦馅的可能性是1/6。解答此题的关键是应先求出吃第一个粽子是什锦馅的概率和吃第二个粽子是什锦馅的概率，进而根据乘法原理解答即可。

28. 4种不同颜色的彩球，每次摸出2个，其结果可分两种情况考虑：（1）当摸出的2个球颜色相同时，有4种不同的结果。（2）当摸出的2个球不同色时，有C（2，4）=6种不同结果，即共有4+6=10种结果。将10种结果作为10个抽屉。因为问题是“要保证有10次所摸的结果是一样的，至少要摸多少次”。根据抽屉原理，考虑“最背”的情况，即每种结果不是连续地出现，因此，在经过9×10=90次时，10种结果都各出现了9次，只要再出现一个结果（任何一个），就会保证有10次出现，因此至少要90+1=91次。因为题目中说“保证”，因此不考虑10次整，且每次都出现同一个结果，因为这种情况是不能保证的。

29.根据大量的投掷试验证明，一个质量均匀的圆形物件（如硬币），落地时正面朝上和反面朝上的可能性是等同的，即都为1/2。在同时抛掷两个硬币时，如果设一个硬币为A，另一个硬币是B，那么出现的情况可能有：A正面B正面；A反面B反面；A正面B反面；A反面B正面，也就是说有一个可能是两个都正，有一个可能是两个都反，有两个可能为一正一反，所以两正、两反、一正一反的可能性分别为1/4，1/4，2/4。从上面的分析我们可以知道，小明、小英、小强3人约定的方法对于决定第一来说，是不合理的，小强得到第一的机会要大于小明、小英；对于决定第二、第三来说，是合理的。

30.因为两种球都不会打的人数为10人，所以会打球的人数为100-10=90人。在会打球的90人中，因为有81人至少会打乒乓球，所以有9人只会打羽毛球；有63人至少会打羽毛球，所以有27人只会打乒乓球。那么，只会打羽毛球或者只会打乒乓球的概率为：（9+27）/100=36%。既然有36人只会打乒乓球或羽毛球中的一种，且有10人两种球都不会打，所以，有54人两种球都会打。