§7.4 数学哲学

罗素的集合论悖论使数学家们感到不安全，面对这样的危机，数学家们努力设法消除这个怪物．他们不断地探索，除了修补集合论本身及在公理化方面寻求出路外，还思考更根本的问题，即使是集合论公理，也出现了好几种体系，形成了关于数学基础的三大学派：以罗素为代表的逻辑主义，以布莱尔为代表的直观主义和以希尔伯特为代表的形式主义．究竟哪一种更可靠？数学推理究竟在什么情况下有效，什么情况下无效？数学命题在怎样的情况下具有真理性？在怎样的情况下可能失灵？这事实上是一个数学基础的问题．在这场对数学基础的严密考察中，开初所显示的还是不太明显的意见分歧，而后便渐渐发展成了不同流派．各种数学流派的争论显示了各流派的智慧．这种争论有时十分激烈，有时又相互吸收其他流派的观点，从而客观上有利于各流派自身的改进和发生各种积极变化，表现出互相影响、互相渗透．

7.4.1 逻辑学派

逻辑学派的主要代表是罗素和弗雷格．其基本思想在罗素1903年发表的《数学原理》(The Principles of Mathematics)中有大概轮廓．罗素后来与怀特黑德(A.Whitehead，1861～1947)合著的三大卷《数学原理》(Principia Mathematicas，1910～1913)是逻辑学派的权威性论述．按照逻辑主义的观点：数学乃逻辑的一个分支．逻辑不仅是数学的工具，逻辑还成为数学的祖师．所有数学的概念要用逻辑概念的术语来表达，所有数学定理要作为逻辑的定理被推演．至于逻辑的展开，则是依靠公理化的方法进行．即从一些不定义的逻辑概念和不加证明的逻辑公理出发，通过符号演算的形式来建立整个逻辑体系．为了避免悖论，罗素创造了一套“类型论”，类型论将对象区分为不同的层次，处于最低层的是0类型的对象，属0类型的元素构成Ⅰ型不同的对象，Ⅰ类型的元素构成Ⅱ类型的元素，如此等等．在应用类型的理论中，必须始终贯彻如下的原则：一定类的所有元素必须属于同一类型．类相对于其自身成员是高一级类型的对象．这样集合本身就不能是它自己的成员，类型论避免了集合论悖论的产生．在《数学原理》中还有各种等级内的各种等级，导致所谓“盘根错节”的“类理论”．为了得到建立分析所需要的非断言定义，必须引进“可化归性公理”，该公理的非原始性和随意性引起严重的批评．可化归性公理被指出是非逻辑公理而不符合将数学化归为逻辑的初衷．按类型论建立数学开展起来极为复杂．事实上，罗素和怀特黑德的体系一直是未完成的，在很多细节上是不清楚的．

所以逻辑学派将数学还原为逻辑的企图不得不以失败而告终．逻辑学派之所以会失败，最根本的原因在于过分夸大了数学与逻辑的同一性，而对于数学与逻辑之间质的区别完全抹杀了．事实上，数学与逻辑既有其同一性，又有其之间的差别性．它们的同一性首先表现在相互依赖上．数学离不开逻辑，如数学中的公理化方法实质上就是逻辑方法在数学上的直接应用，在公理系统中所有的命题和有关概念都是逻辑地联系起来的．另一方面，数学也促进了逻辑的发展．由传统的逻辑向数理逻辑的演进正是数学方法的应用结果．其次，数学与逻辑的同一性表现在两者的共同特征上，这种共同特征最重要的在于它们研究对象的高度抽象性．数学与逻辑的差异性主要表现在研究对象不同上，尽管它们都是抽象的，但抽象的内容不同，逻辑是研究如何单纯地依据语义的逻辑结构去解决推理的有效性问题．而数学舍弃了事物质的属性，从量的侧面研究客观世界的量的规律性．

尽管逻辑学派的数学哲学观点是错误的，带有唯心主义色彩，现在追随者甚少．但他们在数学研究方面的贡献是不可磨灭的．

第一，逻辑主义以纯粹符号的形式实现逻辑的彻底公理化．特别是罗素和怀特黑德《数学原理》第二卷、第三卷提出的“关系自述理论”，建立了完整的命题演算与谓词演算系统．这一切构成了对现代数理逻辑的重大贡献，对于当今计算机的研究和人工智能的研究有重大现实意义．

第二，《数学原理》已相当成功地把古典数学纳入了一个统一的公理系统，这就为公理化方法的近代发展奠定了一个必要的基础．

第三，罗素的类型论对于排除悖论具有重要的意义．

罗素活了98岁，于1970年去世，他是一位著名的和平主义者．晚年长期领导禁止核武器运动．1950年，获得诺贝尔和平奖．

7.4.2 直觉主义学派

直觉主义学派的主要代表人物是荷兰数学家布劳尔(L.E.Brouwer，1881～1966)．布劳尔1907年在他的博士论文《论数学基础》中搭建了直觉主义数学的框架，1912年以后又大大发展了这方面的理论．直觉主义学派的基本思想是数学独立于逻辑，认为数学理论的真伪，只能用人的直觉去判断，基本的直观是按时间顺序出现的感觉．例如，由于无限反复，头脑中形成了一个接一个的自然数概念，一个接一个，无限下去．这是可以承认的(哲学上称为潜无限)．因为人们认为时间不是有限的，可以一直持续下去，但永远达不到无限(即实无限)．所谓“全体实数”是不可接受的概念，“一切集合的集合”之类更是不能用直观解释的．因而不承认集合的合理性，“悖论”自然也就不会产生了．

直觉主义学派认为，集合论悖论决不是偶然现象，而是整个数学所感染的疾病的一种症状．因此，悖论问题不可能通过对已有数学作某些局部修改和限制加以解决，而必须依据可信性对已有的数学作全面审视和改造．那么，什么样的概念才是可信的呢？在直觉主义学派看来就是“直觉上的可构造性”．直觉主义学派有句著名的口号：“存在必须是被构造”．这就是说数学中的概念和方法都必须是构造性的，非构造性的证明是直觉主义者所不能接受的．这一学派的另一代表人物克罗内克有一句名言：“上帝创造自然数，别的都是人造的．”

据说，希尔伯特的老师林德曼曾证明π是超越数．克罗内克对他说：“无理数是不存在的．你对于π的美丽的探讨有什么用处？”

希尔伯特还有一个最惊人的主张，即不承认排中律，不准用反证法证明一命题为真．例如，如果已证明在某个无穷集合中，并不是所有元素都具有某性质，按布劳尔观点，不能说至少有一元素具有该性质，除非把这个元素具体指出来．他的理由是：没有构造出来，就不能说“存在”，在无穷集合中，无法一个一个地拿出来检验是否真有某性质，怎么能说至少有一个元素呢？否定无限多个都具有某性质，并不能直觉地告诉我哪一个元素具有该性质．因此，反证法不能适用．

直觉主义学派由于从“存在必须被构造”的原则出发，对古典逻辑中的排中律、双重否定律等相当一部分原则持排斥态度，对古典数学中的非构造性的结论采取否定态度，对数学中的实无限的对象和方法采取不承认的态度，从而也就抛弃了相当多的数学理论．因此，按照直觉主义学派的观点来重建数学是失败的．其失败的症结在于他们完全否定了数学的客观性．否定非构造性数学和传统逻辑是行不通的．由于直觉主义学派在本质上是主观和荒谬的，因此，他们以直觉上的可构造性为由来绝对地肯定直觉派数学就必定是不正确的．离开实践就不可能真正解决数学理论的可靠性．

当然，虽然直觉主义学派的数学哲学理论观点在总体上是错误的，但他们所进行的具体数学工作仍有一定的意义．他们强调并积极探讨的能行性方法，至今在计算机科学中有着重大的现实意义．

庞加莱在某种程度上也支持直觉主义．许多数学家都认为能够“构造”出对象而不是纯粹地谈它的存在是有益的．但布劳尔的观点起初并不为大家所接受．希尔伯特曾说：“不准数学家使用排中律，就和不准天文学家使用望远镜，不准拳师使用拳头一样”，甚至说“数学家中居然有人不承认排中律，这是数学家的羞耻”．其实这些话都是没有了解布劳尔观点的精髓．现在，大多数数学家都认为构造性方法是很对的，很重要的．后来希尔伯特也吸收了布劳尔的长处，坚持有穷性观点最可靠．这正是直觉主义的核心．

7.4.3 形式主义学派

形式主义学派的代表人物是希尔伯特．希尔伯特于1899年写了一本《几何基础》，在其中，曾把欧几里得的素材公理到当代的形式公理的数学方法深刻化．在集合论悖论出现之后，希尔伯特没有气馁，而是奋起保卫“无穷”，支持康托尔反对克罗内克，给纯粹性证明打气．为了解决集合论悖论，希尔伯特指出，只要证明了数学理论的无矛盾性，那么悖论自然就永远被排除了．在1922年汉堡一次会议上，希尔伯特提出了数学基础研究规划，这就是首先将数学理论组织成形式系统．然后，再用有限的方法证明这一系统的无矛盾性．这里所说的形式系统就是形式公理化．所谓的一个数学理论的形式公理化，就是要纯化掉数学对象的一切与形式无关的内容和解释，使数学能从一组公理出发，构成一个纯形式的演绎系统．在这个系统中那些作为出发点的命题就是公理或基本假设，而其余一切命题或定理都能遵循某些假定形式规则与符号逻辑法则，逐个地推演出来．

形式主义者认为：无论是数学的公理系统或逻辑的公理系统，其中只要能够证明该公理系统是相容的、独立的和完备的，该公理系统便获得承认，该公理系统便代表一种真理．悖论是不相容的一种表现．

从这个思想出发，希尔伯特打算把整个数学都公理化，并验证数学的无矛盾性．他设想最后只须验证算术公理的无矛盾性，这一奢望后来被哥德尔打破了．1931年，哥德尔公布了“不完备性定理”，这一定理证明了希尔伯特的规划是不可能实现的．希尔伯特之所以失败就在于他在基础研究中坚持的立场是错误的，他完全否认了无限概念和方法的客观意义，过分夸大了形式研究的作用．事实上，数学的真理性并不存在于严格证明里，而归根结底要在物质世界的实践过程中去验证．关于形式主义的争论是最激烈的．

尽管希尔伯特的规划失败了，但他对数学的发展还是作出了重大的贡献．

第一，希尔伯特奠定的形式化研究方法具有广泛的应用价值，具有重大的方法论意义．

第二，希尔伯特在进行形式公理化研究时，涉及作为研究对象的系统，简称为对象系统，而对“对象系统”进行研究时所用到的数学理论，即“元数学”，亦即形式化研究导致“元数学”的产生．把数学证明作为对象进行研究就产生了“证明论”．证明论这个新兴数学分支的产生，正是希尔伯特致力于其规划的结果，其意义在于证明论使数学研究达到一个新的高度．

上述关于数学基础的三大学派，在20世纪前30年间非常活跃，相互争论非常激烈．

迄今为止，这场争论尚未停止，当今的数学家，已不再划分为三派，他们各取所长，且发展各派所长，形成统一的数学分支——“数学基础”，向着人类思维深处探索规律，将人们对数学基础的认识引向了空前的高度．数学家们更多专注于数理逻辑的具体研究，三大学派在基础问题上积累的深刻结果，都被纳入数理逻辑研究的范畴而极大地推动了现代数理逻辑的形成与发展．

综上所述，数学悖论的产生与消除是数学由不和谐过渡到和谐的转变．人们正是面对悖论的产生而引起对数学概念的改进或重塑．对已知理论的推广和产生新的理论，这样做无疑对数学的发展产生巨大的动力．我们相信，这一过程在今后的数学发展中仍将继续下去．