§6.4 地图上的数学文化

如同费尔马大定理一样，还有很多著名的猜想，其叙述之简单，但解决之困难，甚至在相当长的一段时间后才获得解决．四色定理就是其中之一，四色定理又称四色猜想(Four-color conjecture)，或四色问题(Four-Color problem)．

地图和地图学的发展在很大程度上借助于数学的推动．自从公元前4世纪亚里士多德论证了地球是球形，以后有人开始测量地球的周长，并出现了圆柱地图投影．公元2世纪，古罗马地理学家、天文学家托勒密编著的《地理学指南》，附有27幅世界地图，提出了地图圆锥投影和地图球面投影学说，影响西方达千年之久．公元3世纪，中国裴秀编制了《禹贡地域图》和《地形方丈图》，提出“制图六体”，是中国古代关于地图编制原理的最精辟论述，形成了东方独特的地图技术途径，在中国影响了近千年．托勒密和裴秀这两位古代地图学家，都是按照数学法则来建立描述地理位置的经纬线和方里网，至今仍然是地图数学基础．

1.四色问题的提出

1852年，一位刚从伦敦大学(University of London)毕业的学生费南西斯·古色利(Guthrie)在研究英国地图时想到了一个奇怪的问题．这个问题被称为世界近代三大数学难题之一，这就是著名的“四色猜想”，问题的起源是这样的：

古色利望着一张挂在墙上的英国地图发呆，他边数着英国的行政区域，边查找它们的位置，同时还注意各区域的地图着色，看着看着他突然发现，该地图仅用四种不同颜色便可以将地图中相邻区域区分开．

古色利无法解释这一现象，于是他写信给仍在大学读书的弟弟，让他向该校有名的数学家棣·莫根(De Morgan，A)请教．

棣·莫根首先注意到：区分地图上的不同区域少于四种颜色不行，比如图6-1所示四个区域仅用三种颜色无法将它们彼此区分开．

遗憾的是：棣·莫根本人也未能解决这个问题．

1878年，英国数学家凯莱(Cayley，A.)在伦敦数学年会上正式提出该问题——平面或球面上的地图仅需四种颜色可以将任何相邻的两区域区分开——且征求解答，人称“四色猜想”的问题便引起了世界数学界的重视．许多一流的数学家纷纷参加了四色猜想的大会战．

图6-1

2.四色猜想的解答

在“四色猜想”提出一年之后，1878～1880年间，一位后来担任伦敦数学会会长的热爱数学的律师肯普(Kempe)和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了．

但在11年后，即1890年，Durham大学的年轻数学教授赫伍德(Hedwood，1861～1955)指出肯普的证明有一漏洞．不久，泰勒的证明也被人们否定了．后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获．于是，人们开始认识到，这个貌似简单容易的题目，其实是一个可以与费尔马猜想相媲美的难题．先辈数学大师们的努力，为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路．

进入20世纪以后，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行，并陆续有所进展．

1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，1939年，美国数学家富兰克林(Franklin)证明了22个以下区域都可以用四色着色．1968年，对于40个以下的区域，Ore与Stemple证出了四色足够．随后又推进到了50个区域，直到1976年初，人们仅对区域数是96的地图着色的四色猜想给出证明，但这对区域数是一般自然数的情形来讲远远不够．

20世纪70年代初，德国数学家希斯(Heesch，H.)提出了解决四色猜想的“放电算法”，为此，人们将注意力转移到了电子计算机上，希望借助电子计算机来完成一般地图着色的四色猜想证明．

1976年6月，美国伊里诺斯大学的黑肯(Haken，W.)和阿佩斯(Appel，K.I.)，经过四年的艰苦工作，在两台不同的电子计算机的帮助下完成了四色猜想的证明(共花费了1200个小时，作了100亿个逻辑判断)，因而猜想变成了定理．四色猜想的计算机证明，轰动了世界，该证明不仅解决了一个历时一百多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点．不过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成果，他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法．

为了纪念“四色猜想”的证明，伊里诺斯州地方邮局还发行了首日封，纪念这个困扰人们一个世纪之久的问题的解决，邮戳上刻着“四种颜色就足够了”(Four Colors Suffice)．

黑肯和阿佩斯的证明是如此的长(打字后，总论的页数便有100页，细节也有100页，再加上700页的补充，以及1200小时的计算机时间)，因此也产生了两个困扰．第一个是验证不易，一个很长的证明，要花很长的时间去检验，因此，会让大部分人却步．这对需用计算机来协助证明的更是如此．第二个是有人心存疑惑，检验要靠计算机，难道计算机就不会出错吗？从这个意义上讲，对于简化黑肯和阿佩斯的证明，或给另一完全不同但较清晰的证明，无可置疑，是数学家都会去尝试的．但无论如何，黑肯和阿佩斯的贡献是无与伦比的．自他们证出四色定理之后，地图绘制者终于高兴地知道，原来他们由经验中所得到的绘制地图只需要四种颜色，果然是正确的．