§1.4 数学建模与数学建模竞赛

数学实验和数学建模是数学教育、数学改革的重大尝试，随着这个改革的不断深入，似有形成数学建模文化的趋势，因此，数学实验和数学建模当可归属于数学文化．

1.4.1 关于数学实验与数学建模

在人们的传统观念里，学习数学只要有书、纸、笔就够了，怎么像物理、化学一样要做实验呢？其实，数学实验是计算机技术和数学软件引入数学后出现的新事物．

数学实验强调以学生动手为主，在教师的指导下学生用所学到的数学知识和计算机技术，选择合适的数学软件，分析、解决一些经过简化的实际问题．

数学教育在整个人才培养过程中的重要性是人所共知的．从小学到大学，数学一直是一门主课，讲的、练的、考的主要是定义、定理、公式、计算，不妨统称为“算数学”．对于将来要以数学为工具解决各种实际问题的学生来说，当然需要准确、快捷的计算和严密的逻辑推理，即要学好“算数学”．但是，面临一个实际问题，在计算、推理之前首先要用数学语言描述它，建立数学模型，在得到模型的解之后还要结合实际进行分析、检验、修正，可以将这些工作称为“用数学”．传统的数学体系和内容侧重于前者，对于后者的训练是远远不够的．目前，蓬勃开展的全国大学生数学建模竞赛，是培养学生用数学能力的有益尝试．

计算机技术和数学软件的飞速发展为这样的试验提供了物质条件．随着计算机强大的运算功能、图形功能的开发和应用方便的数学软件的不断升级，使学生不仅能在很短时间内自由地选择软件，比较算法，分析结果，而且能在屏幕上通过数值的，几何的观察、联想、类比，去发现解决问题的线索，探讨规律性的结果．开设数学实验课正是要充分利用计算机技术提供的有利条件，加强学生自己动手和独立思考的能力．

1.4.2 数学模型

1.数学模型的概念

我们可能对客观实际中的模型并不陌生，敌对双方在某地区作战时，都务必需要这个地区的主体作战地形模型；在采矿或打井时，我们需要描绘本地区地质结构的地质图；出差或旅游到外地，总要买一张注明城市中各种地名及交通路线图；编制计算机程序，往往要先画框图．我们看到，这些图都能简单明了地说明我们所需要的事情的特性，从而帮助我们顺利地解决各种实际问题．

模型在我们的生活中无处不在．进入科技展厅，我们会看到水电站模型、人造卫星模型；我们会面对各种几乎逼真的模拟物而惊奇万分；为了留念，我们会同美丽的风景一起编在照片上．还有各种动物或飞机、汽车等儿童玩具，这些以不同方式被缩小了的客观事物都是我们生活中极平常的模型．

一般地说，模型是我们所研究的客观事物有关属性的模拟，模型应当具有事物中我们关心和需要的主要特性．当然，数学模型较以上实物模型或形象模型复杂和抽象得多，数学模型是运用数学语言和工具，对部分现实世界的信息(现象、数据等)加以翻译、归纳的产物．数学模型经过演绎、求解以及推断，给出数学上的分析、预报、决策或控制，再经过翻译和解释，回到现实世界中．最后，这些推论或结果必须接受实际的检验，完成实践——理论——实践这一循环，如图1-2所示．

图1-2

如果检验的结果是正确的或基本正确的，即可以用来指导实际，否则，要重新考虑翻译、归纳的过程，修改数学模型．

作为一种数学思考方法、数学模型是对现实的对象通过心智活动构造出的一种能抓住其重要且有用特征的(常常是形象化的或者是符号的)表示．更具体地，数学模型是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的，做出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构．数学模型或者能解释特定现象的现实性态，或者能预测对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制．

2.建立数学模型的方法、步骤和模型的分类

建立数学模型一般有以下6个步骤：

(1)建模准备；(2)模型假设；(3)建立模型；(4)模型求解；(5)模型分析；(6)模型检验．

一般情况下，要学会建模，除了要学会灵活应用数学知识外，还应当注重培养自己的观察力和想象力，知识是有限的，而想象力可以使知识无限地延展，从这种意义上讲，想象力比知识更重要！

3.数学建模竞赛

在人们的印象中，数学竞赛一定是这样的场面，考场里鸦雀无声，监考老师警惕的目光扫视全场，年轻的数学尖子们坐在各自的书桌前，时而冥思苦想，时而奋笔疾书，希望能找到那一道道数学难题的正确答案，而那正确答案早已经由出题的专家们做出来，正锁在某一个保险柜里．

那么，数学建模竞赛，是不是也是这样的场面呢？或许有人说，这只要到考场去见识一下就清楚了，且慢！数学建模竞赛并没有一个固定的考场．那么，参赛的选手们在哪里做题呢？到哪里去找他们呢？你可以到图书馆去试试，他们也许正在那里查阅资料，在那堆积如山的书堆中翻来翻去，希望从浩瀚的书海中探寻到自己需要的真谛；你也可以到计算机房去看看，或许他们正在熟练地操纵着键盘，聚精会神地注视着计算机屏幕，屏幕上闪烁着的那些枯燥无味的数字和符号，简直就像侦探片，武打片或世界杯足球赛那样能抓住他们的心，让他们或欣喜若狂，或目瞪口呆，或颓丧万分，旁边居然还有一个选手在打瞌睡，小心别吵醒他，他已经连续熬了两个通宵了！而那边还有另一个队正在激烈地争论，七嘴八舌，就像吵架一样，各有各的道理，要把这些互相冲突的意见统一在同一份答卷里可真不容易，交卷的时间终于到了，从开始到此时已经3个昼夜，此时，已不再有争吵的声音．打印机均匀的嚓嚓声在选手们的耳朵里好像是世界上最美妙的音乐，他们打着哈欠检查着打印机吐出的一页页印刷精美的作品，这时，若有人问他们现在最想干的事情是什么？他们一定会异口同声地回答“睡觉”！而关心考试的结果那已经是2～3个月以后的事了．

这是考试吗？像是数学竞赛吗？又是翻书查资料，又是相互讨论，还到处跑来跑去也没人管，哪里还有一点考试的样子呢？可会标横幅上明明写着“竞赛”．参赛选手自己也会说：“这不像是在考试，而是在干活”．但这确实是考试，只是另一种形式的考试，姑且说是干活的考试吧，就是考一考谁干活干得更好．

再来看一看竞赛的题目吧，那更是五花八门，有动物保护，施肥方案，通信网络，昆虫分类，奥运比赛，横渡长江，药物扩散，抓走私船，飞机场的管理，蛋白质分子的结构，供电系统的修复，堆肥的制作，运煤车场的计划安排，应急设施的选址，等等，从这些题目看，还以为是物理竞赛，或体育比赛，或医学比赛，企业管理竞评呢．不过数学建模竞赛就是这样，数学建模名曰数学，当然要用到数学知识，但却与以往所说的那种纯数学竞赛不同，数学建模要用到计算机，甚至离不开计算机，但又不是纯粹的计算机竞赛，数学建模涉及物理、化学、生物、医学、电子、农业、管理等各学科，各领域的知识，但也不是这些学科、领域的纯知识的竞赛，数学建模涉及各学科、各领域，但又不受任何一个具体的学科、领域的局限，数学建模要用到各方面的综合知识，但还不限于此，选手们不只是要有各方面的知识，还要有驾驭这些知识，应用这些知识处理实际问题的能力，知识是无止境的，参赛者还必须有善于获得新的知识的能力．

总之，数学建模的比赛方式一般是由非数学部门提出问题，一般没有既定答案，要求提出数学模型，并进行分析，作出解答．一般分为两组题，A组多涉及连续数学，B组多涉及离散数学．以1999年的试题为例：A组的大意是直径1公里的星体撞击南极点，建立模型分析以下问题：伤亡估计、影响波及地区、冰块融化浸占地表面积等．而B组问题的大意是要设计某室内场合的最大合理人数，考虑到地震、火灾等意外，设计餐馆、电梯、足球场等地的合适人数，与实际进行比较并写文章在相关报纸上发表，还要求考虑由像餐馆的桌椅是否可以移动、酒吧拥挤的程度而带来的差异．另外，从1999年始还有了C组问题，多是跨学科的问题：A问，在油罐的存地可能存在污染，今有10个地下井观测点，多年的数据，要求对这些数据进行分析，分析当地污染情况．B问，设计一种测量模型办法，使其测量结果准确、有效．2000年C组问题独立出现，同时举行，名为ICM，即跨学科模型竞赛．参赛方式：一般由3人组队，一位老师指导，时间为两天半，指导老师在开始时可以帮忙选题，然后离开，比赛过程中，除与同队人讨论外，可以用任何方式进行解答．答卷要求用英语，由以下几部分组成：

①重述题目；②依据的基本数学假设是什么，怎么得来的；③假设分析；④清晰的模型表述；⑤模型的测试；⑥模型的解答；⑦优缺点的讨论．另外还需要不超过一页的摘要，也很重要．

由此可见，数学建模竞赛，既要比赛各方面的综合知识，也要比赛各方面的综合能力，数学建模的特点就是综合，数学建模的优点也是综合．从这个意义上看，数学建模与任何一个学科领域的纯知识竞赛都不相同的特点就是不纯，数学建模的优点也是不纯，综合就是不纯．

纯数学竞赛通常都是个人竞赛，虽然也有团体总分，那不过是把各个人的竞赛成绩加起来而已，随着社会的发展，数学在社会各领域中的应用越来越广泛，作用越来越大，不但运用于自然科学各学科、各领域，而且渗透到经济、军事、管理以至社会科学和社会活动的各领域，但是，社会对数学的需求并不只是需要数学家和专门从事数学研究的人才，而更大量的是需要在各部门从事实际工作的人善于运用数学知识及数学的思维方法来解决他们每天面临的大量的实际问题，取得经济效益和社会效益，他们不是为了应用数学知识而寻找实际问题，取得经济效益和社会效益．而是为了解决实际问题而需要用到数学知识，而且不止要用到数学知识，很可能还要用到别的学科、领域的知识，要用到工作经验和常识．特别是现代社会，要真正解决一个实际问题几乎都离不开计算机，可以这样说，在实际工作中遇到的问题，完全纯粹的只用现在的数学知识就能解决的问题几乎是没有的，人们所能遇到的都是数学和其他东西混杂在一起的问题．不是“纯”的数学，而是“不纯”的数学，其中的数学奥妙不是明摆在那里等着你去解决，而是暗藏在深处等着你去发现．也就是说，你要对复杂的实际问题进行分析，发现其中可以用数学语言来描述的关系的规律，把这个实际问题转化成一个数学问题，这就称为数学模型，建立数学模型的这个过程就称为数学建模．若数学模型建立起来了，实际问题转化成数学问题了，就可以用数学工具、数学方法去解答这个实际问题．如果有现成的数学工具当然好，如果没有现成的数学工具，就促使数学家们寻找和发展新的数学工具去解决它，这又推动了数学本身的发展．如果数学解答得出之后不符合实际还应设法找出原因，修改原来的模型，重新求解和检验，直到比较合理可行，才能算是得到了一个解答，可以先付诸实施．但是十全十美的答案是没有的，已得到的解答一定还有改进的余地，还可以根据实际情况，或继续研究和改进，或暂时告一段落，待将来有新的情况和要求后再作改进．

数学建模竞赛就是要培养千千万万具有上述能力的人才．正是由于认识到培养应用型数学人才的重要性，从1983年起，在美国就有一些有识之士开始探讨组织一项应用数学方面的竞赛的可能性，并于1985年开始了美国第一届大学生数学建模竞赛，简称MCM，此后每年举行一届比赛的形式是真正的团体赛，每个参赛队由三人组成，在规定的三天时间内共同完成一份答卷，每个参赛队有一个指导教师或指导组，但老师不得参赛．

我国于1992年正式举行“全国大学生数学建模竞赛”，方法同上，比赛的结果并不给出分数，而只是将论文分成等级，具体分为：特等奖、一等奖、二等奖、成功参赛奖等，评卷的标准并不是看答案对不对，而主要是看论文的思想方法好不好以及论述是否清晰，因此，对MCM的优秀论文，人们会发现，同一考题的几篇优秀论文甚至连答案都不一样，却同样都优秀．优秀论文甚至被评阅教师提出一大堆毛病，却仍然不失为优秀．在这里，正确和错误是相对的，优秀和不优秀也是相对的．这就是数学建模竞赛与纯数学竞赛最根本的不同．