§11.3 分形艺术欣赏

11.3.1 分形是一门科学也是一门艺术

我们常说分形图形是一门艺术．把不同大小的Koch雪花拼接起来可以得到很多美丽的图形．一位数学家曾说，你要问我什么是形式上最美丽的数学，我会沉思良久，然后告诉你说：“我不知道．”如果你非要一个答案，我想我会说是分形几何．

下面，再给出几个美丽的分形供大家欣赏．

1.曼德勃罗集

曼德勃罗集如图11-12～图11-15所示．

曼德勃罗集逐步放大图

图11-12

曼德勃罗集逐步放大图

图11-13

曼德勃罗集逐步放大图

图11-14

曼德勃罗集“峡谷地带”放大

图11-15

20世纪80年代初曼德勃罗在迭代z→z²+c时，发现了著名的曼德勃罗集，简称M集．当时迭代精度和色彩调配均不理想，显现的M集也不好看．但是过了不久，许多高质量的M集图片纷至沓来，尤以德国布莱梅大学动力系统图形室所作的图片最为精美，受到举世赞誉．随之而来的是，各大学的教师、研究生以及本科生纷纷利用自己的计算机试算复迭代，M集一时泛滥高等院校．据说有一段时间校方被迫作出规定，不允许利用实验室的公用计算机玩曼德勃罗集．

在当今时代，人们自己购买了一台微机，如果不在上面玩一玩M集和J集，实在太遗憾了．读者不妨亲自试一试．编写计算M集和J集的程序并不复杂，可以参照本书给出的PASCAL程序，编制适合自己使用的更好的程序，可以用PASCAL，C，C++，Java，甚至BASIC语言．

2.朱丽亚集

朱丽亚集如图11-16、图11-17所示．

图11-16

图11-17

3.牛顿法求根

当f(x)是高于5次的多项式时，求代数方程f(x)=0的精确解没有公式解，在这种情况下求方程的近似解却是可以的，牛顿法就是一种比较好的逐次逼近法．牛顿法在求根过程中逼近很快，用计算机计算是十分方便的．如图11-18～图11-26所示．

图11-18为用牛顿法求方程z³－1=0的根所得到的“项链”，图11-19为用牛顿法求z⁴－1=0和z⁵－1=0的根得到的分形图．

图11-18

图11-19

11.3.2 分形几何的应用

20世纪80年代，分形在国外引起人们的极大关注，除了分形图像充分地向人们展示数学理论与抽象的科学概念中所蕴含的自然美外，还在于分形在许多科学技术领域具有广阔的应用前景．

在客观世界的几何描述方面，分形几何是描述非规则图形及客观对象的有效工具，特别是随着计算机图形学的应用发展，由于模拟自然景物，动画制作，建筑物配景以及影视特殊效果景物生成等的需要，传统几何学已力不从心，而用分形方法，目前已经达到可以以假乱真的程度．美国ACM SIGGRAPH每年会议发表的最新研究成果中，有不少是基于分形方法建模而取得的．

图11-20

图11-21

图11-22

图11-23

图11-25

图11-24

图11-26

物理学是分形最活跃的应用领域之一，分形理论提出以后，物理学家们将该理论有效地用于处理一些过去长时间以来未能解决的难题，如湍流的研究(包括其理论分析和可视化)，取得较好的效果．

在气象学中，人们运用分形理论开展研究取得了不少进展．著名的洛伦兹吸引子就是一个分形体．云系的形状，降雨的模式和强度，降水量在土壤中的渗透模式等，都可以用分形理论进行分析研究．

用分形的方法研究地表面的起伏，如山川，地形，地貌的形态，以及它们产生、发展、分布的规律等，形成了分形地貌学这一新的学科分支，该学科不仅以分形理论为基础对地表面的形态进行描述，还以分形维数为中介参数建立地貌与内部机制之间的联系．分形地貌学是理论地貌学的一个重要分支，这个分支研究：(1)用计算机生成各种地貌，并探讨其内部机制，例如：各种标准的理想地貌：山峦、丘陵、沙漠、湖沼等；(2)用分形理论计算现有地貌的分维，进而探讨其内在的本质与规律．

除此之外，还有地表面水系，地下渗流，海岸线等方面的分形问题．早在1982年Mandelbrot在分形专著中就提出并强调分形地貌(Landscape)的问题．

分形布朗运动(FBM)是随机分形生成逼真景物的数学模型，利用随机中点位移，插值和傅立叶滤波等方法，借助于方差和分形维数可以产生各种自然景物．其覆盖域非常宽广．自然界的海岸线、山形、河川、地形地貌等，均可以逼真地产生．

20世纪80年代中提出的迭代函数系统(IFS)，不仅可以用来构造任意形状的植物，还为图像数据的压缩方面提供了新的方法，其压缩比非常高，实时的编码与解码表明，IFS在“图像通讯”和“远程计算机技术”的发展中，具有广阔的应用前景．此外，大比率的图像压缩也具有现实的军事、经济应用价值．

20世纪90年代初发展起来的计算机“人工生命”的研究，与分形也有极其密切的联系，在计算机上模拟“人工生命”，在理论上，方法上都有赖于分形几何；分形理论在生长模型(晶体生长、神经网络、表面催化等)，经济规模(包括人口的分布、城市规划等)、地质(断裂、地震、地形地貌、石油开采等)、生物分形(视网膜结构、经络、癌组织特性等)等领域的研究中，已经取得了不少成绩．

分形理论还发展了维数的概念．在发现分数维以前，人们习惯于将点定义为零维，直线为一维，平面为二维，空间为三维，爱因斯坦在相对论中引入时间维，就形成四维时空．对某一问题给予多方面的考虑，可以建立高维空间，但都是整数维．

分形是20世纪涌现出的新的科学思想和对世界认识的新视角．从理论上讲，分形理论是数学思想的新发展，是人类对于维数、点集等概念的理解的深化与推广．同时分形理论又与现实的物理世界紧密相连，成为研究混沌(Chaos)现象的重要工具．对混沌现象的研究正是现代理论物理学的前沿和热点之一．

在社会科学和艺术领域，也在积极研究并应用分形理论，美国好莱坞影片《星球大战II》中，就用了不少分形图案．其中有一系列奇峰异谷(分形山脉)和各种独特的场景，都是人类用分形手段创造的外星世界，而产生这些新颖、美丽的景色的数学描述则是十分简单的．分形几何的应用正在迅速遍及科研、生产与生活的许多方面．分形领域有广阔的发展前途，正等待着有志之士去发展、开拓、探索．

11.3.3 分形路漫漫

分形不仅仅是科学，还是一门艺术，科学与艺术的话题无数，我们只接触了其中极小极小的一部分，但是从中还是看到了科学与艺术结合的趣味性和必要性，说明艺术界开始关注混沌、分形对艺术的影响．方李莉在他的博士论文《新工艺文化论》中说，分形几何学“也使传统的工艺领域和艺术领域的现代主义设计及绘画发展到了一个临界点上．”“分形几何学的出现对设计的观念和今后工艺的装饰手段都将带来巨大的革命，特别是分形数学在计算机中的运用，更是在数学和艺术之间搭上了一条相通的桥梁．”人们称之为“新工艺文化”，即，“人类从工业社会向信息社会迈进时所产生的建立在人类新科学技术发展和新价值观念及新生活方式上，包括手工艺、民间工艺、机械工艺、电脑工艺，以人类衣、食、住、行为主体的造物文化．”

现在我们可以说：我们的世界是几何的世界，这不仅是感性的想法，更是理性的升华．