§10.3 读读欧拉

欧拉是18世纪的最优秀的数学家，也是历史上最伟大的数学家之一．与牛顿不同，欧拉没有作出划时代的数学创造，但是，人们却能在几乎所有的数学领域，看到他闪光的名字，见到他辛勤耕耘的足迹．欧拉公式、欧拉方程、欧拉常数、欧拉方法、欧拉猜想、欧拉图解、欧拉定理、欧拉准则、欧拉多项式，等等．历史上，从未有人像欧拉那样巧妙地把握数学，取得过那么多令人赞叹的数学成果．

图10-16　欧拉

读者可能要问为什么没有把欧拉的名次排得更高些，其主要原因在于虽然欧拉在论证如何应用牛顿定律方面获得了杰出的成就，但是他自己从未发现任何独创的科学定律，这就是为什么要把牛顿、费尔马这样的人物排在他前面的原因．他们每个人主要是发现了新的科学现象或定律．尽管如此，欧拉对科学、工程学和数学的贡献还是巨大的．

1707年4月15日，欧拉诞生于瑞士的巴塞尔城，父亲保罗·欧拉(Paul Euler)也是一个数学家，原希望小欧拉学神学，同时教他一点数学．常给欧拉讲一些有趣的数学故事，使欧拉很早就对数学产生了浓郁的兴趣．当小欧拉在19岁时写了一篇关于船桅的论文，获得巴黎科学院奖的奖金后，他的父亲就不再反对他攻读数学了．

不满10岁的时候，欧拉就开始自学《代数学》．这本书是德国著名数学家鲁道夫写的经典著作，连欧拉的老师中也没有几个人读过这本书．小欧拉却读得津津有味．遇到弄不懂的地方，就用笔做上记号，事后再向大人请教．

13岁那年，欧拉考入巴塞尔大学．这个全校年龄最小的学生，很快就成为著名数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli，1667～1748)教授的得意门生．约翰·伯努利决定每周六下午为欧拉的学习日，单独给欧拉授课、辅导和答疑，循循善诱，因材施教，使欧拉的知识丰存厚积，才智日益增长．17岁时，欧拉获得哲学硕士学位，18岁开始发表论文，19岁时获得法国科学院奖金．

欧拉渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都是令人惊叹不已的．他从19岁开始发表论文，直到76岁，半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文．今天，几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何中的欧拉曲线，多面体中的欧拉定理，立体解析几何中的欧拉变换公式，四次方程中的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程中的欧拉方程，级数论中的欧拉常数，变分学中的欧拉方程，复变函数中的欧拉公式，等等，数也数不清．他对数学分析的贡献更独具匠心，《无穷小分析引论》一书便是他划时代的代表作，当时数学家们称欧拉为“分析学的化身”．

欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，据相关统计他那不倦的一生，共写下了886部(篇)书籍和论文，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%，圣彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了47年．除了生前发表的著作与论文有560余种外，欧拉去世后还留下了大量手稿．欧拉自己说他未发表的论文足够圣彼得堡科学院用上20年，而实际上直到1862年，即他去世近80年后，圣彼得堡科学院院报上还在刊登欧拉的遗作．1911年瑞士自然科学协会开始出版欧拉全集，现已出版70多卷，计划出齐84卷，都是大16开本，著名的美国数学史专家克莱因(Kline)说：“没有一个人像欧拉那样多产，像欧拉那样巧妙地把握数学，也没有一个人能收集和利用代数、几何、分析的手段去产生那么多令人钦佩的成果”．如果说17世纪是牛顿的世纪，那么18世纪就属于欧拉，欧拉在1748年出版的《无穷小分析引论》以及随后发表的《微分学》(1755年)和《积分学》(三卷，1768～1770年)，是微积分史上里程碑式的著作．欧拉把前人的发现加以总结定型，并且注入自己的创造，他导出了三角函数与指数函数之间的联系，即著名的欧拉公式，他首先将导数作为微分学的基本概念，提出了二阶偏导数的演算，并建立了混合偏导数与求导顺序无关的理论，他确定了不定式的极限运算规则(现被错误地称为洛必达法则)，积分作为原函数的概念也是欧拉创建的．今天在微积分教材中所叙述的不定积分的方法与技巧，几乎都可以在他的著作中找到．他给出了用累次积分计算二重积分的方法，并讨论了二重积分的变量代换问题，他还提出了求解微分方程的积分因子方法．1774年欧拉出版了《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧》一书，使变分法作为一个新的数学分支诞生了．欧拉还是复变函数论的先驱者，欧拉在数论研究中也是卓有功绩的，例如著名的哥德巴赫猜想，就是他在1742年与哥德巴赫的通信中引申提出的．欧拉在概率论、微分几何、代数拓扑学等方面都有重大贡献．在初等数学的算术、代数、几何、三角学上的创见与成就更是比比皆是，不胜枚举，这些使得以他名字命名的数学发现无处不在，并且总是处于各个领域引人瞩目的位置．例如欧拉常数(微积分)、欧拉公式(复变函数)、欧拉函数和欧拉定理(数论)、欧拉曲线与欧拉圆(几何学)、欧拉图(图论)、欧拉示性数(拓扑学)、欧拉角(动力学)、欧拉方程式(流体力学)，等等．欧拉还创设了许多数学符号，例如π(1736年)，I(1777年)，e(1748年)，sin和cos(1748年)，tg(1753年)，△x(1755年)，∑(1755年)，f(x)(1734年)等．

欧拉著作的惊人多产并不是偶然的，他可以在任何不良的环境中工作，他常常抱着孩子在膝上完成论文，也不顾孩子在旁边喧哗．他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，使他在双目失明以后也没有停止对数学的研究，在失明后的17年间，他还口述了几本书和400篇左右的论文．19世纪伟大数学家高斯(Gauss，1777～1855年)曾说：“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法．”

1725年，俄国建立了圣彼得堡科学院，招聘科学家，约翰·伯努利的两个儿子尼古拉与丹尼尔(都是数学家)同时应聘成为圣彼得堡科学院的教授，转年尼古拉病逝，在丹尼尔的推荐下，1727年欧拉应邀到圣彼得堡做丹尼尔的助手，1733年26岁的欧拉接替返回瑞士的丹尼尔，成为数学教授及圣彼得堡科学院数学部的领导人，但此时俄国统治集团昏庸腐败，无心于科学事业，欧拉度过了痛苦的几年(1733～1741年)，但他仍勤奋地工作，发表了大量精湛的数学论文，并为俄国政府解决了很多科学问题．1735年，欧拉解决了一个天文学的难题(计算慧星轨道)，这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决，而欧拉却用自己发明的方法，三天便完成了．

1740年，普鲁士王国腓特烈(Frederick)大帝继位，他比较重视科学文化事业，1741年他邀请欧拉到柏林科学院供职，欧拉依依惜别了生活工作了14年之久的圣彼得堡，去了柏林，并在柏林担任科学院物理数学所所长，在那里一直工作到1766年，在这期间，欧拉除了发表大量的数学论文外，还成功地将数学应用于各种实际科学与技术领域，为普鲁士王国解决了大量社会实际问题．如社会保险、运河与水工、造币规划，等等．1760～1762年，欧拉给腓特烈大帝的侄女夏洛特(Anhalt Dessau)公主函授数学、天文、物理、哲学及宗教等不同学科的课程，后来整理成《致一位德国公主的信》发表，世界各国译本风靡，在很长的时期成为欧洲大众科学与哲学修养的重要书籍．1766年，59岁的欧拉应俄国叶卡捷琳娜女王邀请重返圣彼得堡，由于过度紧张地工作，左眼视力衰退，最后完全失明(早在1735年，欧拉害了一场病，导致了右眼失明)，不幸的事情接踵而来，1771年圣彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅，带病而失明的64岁的欧拉被围困在大火中，虽然他被别人从火海中救了出来，但他的书房和大量研究成果全部化为灰烬．沉重的打击没有使欧拉屈服，他说：“如果命运是块顽石，我就化作大锤，将它砸得粉碎！”他发誓要把损失夺回来．在他完全失明之前，还能朦胧地看见东西，他抓紧这最后的时刻，在一块大黑板上疾书他发现的公式，然后口述其内容，由他的学生特别是大儿子A·欧拉(数学家和物理学家)笔录．欧拉完全失明以后，仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心算进行研究，直到逝世，竟达17年之久．欧拉的记忆力和心算能力是罕见的，他能够复述年轻时代笔记的内容，心算并不限于简单的运算，高等数学一样可以用心算去完成．有一个例子足以说明他的本领，欧拉的两个学生把一个复杂的收敛级数的17项加起来，算到第50位数字，两人相差一个单位，欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行全部运算，最后把错误找了出来．尤其令人感动的是，欧拉有400多篇论文和许多数学著作，是在他完全失明的17年中完成的．欧拉默默地忍受着失明的痛苦，用惊人的毅力顽强拼搏，决心用自己闪光的数学思想，照耀他人深入探索的道路，每年，他都以800页的速度，向世界呈献出一篇篇高水平的科学论文和著作，还解决了一些数学难题．欧拉在失明的17年中，还解决了使牛顿头痛的月离问题和很多复杂的分析问题．

瑞士于2007年发行

图10-17

欧拉是一位品德高尚的数学家．他曾与欧洲的300多名学者通信，在信中，常常毫无保留地把自己的发现和推导告诉别人，为别人的成功创造条件．1750年，19岁的法国青年拉格朗日(后来成为数学家)冒昧地给欧拉写信，讨论等周问题的一般解法，这引起变分法的诞生．等周问题是欧拉多年来苦心考虑的问题，拉格朗日的解法，博得欧拉的热烈赞扬，1750年10月2日欧拉在回信中盛赞拉格朗日的成就，并谦虚地压下自己在这方面较不成熟的作品暂不发表，使年轻的拉格朗日的作品得以发表和流传，并赢得巨大的声誉．

欧拉晚年的时候，欧洲所有的数学家都把他当做老师，著名数学家拉普拉斯(Laplace)曾说过：“欧拉是我们的导师．”欧拉充沛的精力保持到最后一刻，1783年9月18日下午，欧拉为了庆祝他计算气球上升定律的成功，请朋友们吃饭，那时天王星刚发现不久，欧拉写出了计算天王星运行轨迹的要领，还和他的孙子逗笑，喝完茶后，突然疾病发作，烟斗从手中落下，口里喃喃地说：“我死了”，欧拉终于停止了生命和计算．噩耗传到圣彼得堡科学院，全体师生失声痛哭，停止工作，起立默哀；噩耗传到俄国王宫，女皇叶卡捷琳娜二世立即下令停止了当天的化妆舞会；噩耗传到瑞士、德国、法国、英国，吊唁的信函雪片一样飞来，几乎全欧洲的数学家，都向他们敬仰的老师欧拉遥致深切的哀悼．欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的．

欧拉还是一位热心的教育家．他不仅亲自动手为青少年编写数学课本，撰写通俗科学读物，还常常抽空到大学、中学去讲课．1770年，欧拉虽然已经失明，仍然念念不忘给学生们编写一本《关于代数学的全面指南》．

欧拉在俄国生活了30多年．他积极将先进的科学知识传入长期闭塞落后的俄罗斯，创立了俄罗斯第一个数学学派——欧拉学派，亲手将一大批俄罗斯青年引进了辉煌的数学殿堂．俄罗斯人民至今仍深深地感激欧拉美好的情谊，在许多前苏联书籍里，都亲切地称欧拉是“伟大的俄罗斯数学家”．

欧拉渊博的知识、高尚的品德、顽强拼搏的精神，赢得了人们广泛的尊敬．

“读读欧拉，读读欧拉，他是我们一切人的老师．”这是有着“法兰西的牛顿”之誉的拉普拉斯(Pierrer Simon Laplace，1749～1827年)的由衷赞叹，“数学王子”高斯(Garl Friedrich Gauss，1777～1855年)也曾经说过，“对于欧拉工作的研究，是科学中不同领域的最好学校，没有任何别的可以代替”．

历史学家把欧拉和阿基米得、牛顿、高斯并列为有史以来贡献最大的四位数学家．

为庆祝瑞士数学家、物理学家兼工程师莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)诞辰300周年，瑞士政府、中国科学院及中国教育部于2007年4月23日下午在北京的中国科学院文献情报中心共同举办纪念活动，回顾欧拉的生平、工作及对现代生活的影响．图10-18为纪念会会场一角．

图10-18