§8.3 再说牛顿

牛顿(Newton，1642～1727)是生活在地球上影响最大的科学家之一．他是遗腹子，生于伽利略逝世的那一天．

牛顿少年时代即表现出手工制作精巧机械的才能．虽然他是个聪明伶俐的孩子，但并未引起他的老师们的注意．

成年时，母亲令其退学，因为希望儿子成为一名出色的农夫．十分幸运的是他的主要天赋不满足于他在农业方面发挥，因此，他18岁时入剑桥大学，极快地通晓了当时已知的自然与数学知识，之后转入个人的专门研究．

21～27岁，奠定了某些学科理论基础，导致以后世界上的一次科学革命．他的第一个轰动科学世界的发现就是光的本质．经过一系列的严格试验，牛顿发现普通白光是由七色光组成的．经过一番光学研究，制造了第一架反射天文望远镜，这架天文望远镜一直在英国国家天文台使用到今天．

莱布尼茨曾说：“在从世界开始到牛顿生活的时代的全部数学中，牛顿的工作超过了一半”，的确牛顿除了在天文学及物理学上取得伟大的成就，在数学方面，他从二项式定理到微积分，从代数和数论到古典几何和解析几何、有限差分、曲线分类、计算方法和逼近论，甚至在概率论等方面，都有创造性的成就和贡献．

牛顿在数学上的成果主要有以下四个方面：

1.发现二项式定理

1665年，23岁的牛顿发现了二项式定理，这对于微积分的充分发展是必不可少的一步．二项式定理把下述计算

(a+b)²=a²+2ab+b²，

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

等简单结果推广为

二项式级数展开式是研究级数论、函数论、数学分析、方程理论的有力工具．今天我们会发觉这个方法只适用于n是正整数，当n是正整数时，级数终止在正好是n+1项．如果n不是正整数，级数就不会终止，这个方法就不适用了．但是我们要知道，那时莱布尼茨在1694年才引进函数这个词，在微积分早期阶段，研究超越函数时用它们的级数来处理是所用方法中最有成效的．

2.创建微积分

牛顿在数学上最卓越的成就是创建微积分．他超越前人的功绩在于，他将古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法——微分和积分，并确立了这两类运算的互逆关系，如：面积计算可以看做求切线的逆过程．

那时莱布尼茨刚好亦提出微积分研究报告，便因此引发了一场微积分发明专利权的争论，直到莱布尼茨去世才停止．而后世认定微积分是他们同时发明的．

在微积分方法上，牛顿所作出的极端重要的贡献是，他不但清楚地看到，而且大胆地运用了代数所提供的大大优越于几何的方法论．他以代数方法取代了卡瓦列里、格雷哥里、惠更斯和巴罗的几何方法，完成了积分的代数化．从此，数学逐渐从感觉的学科转向思维的学科．

在微积分产生的初期，由于还没有建立起巩固的理论基础，被别有用心者钻空子．便因此而引发了著名的第二次数学危机．这个问题直到19世纪极限理论建立，才得到解决．

3.引进极坐标，发展三次曲线理论

牛顿对解析几何作出了意义深远的贡献，他是极坐标的创始人．第一个对高次平面曲线进行广泛的研究．牛顿证明了怎样能够把一般的三次方程

ax³+bx²y+cxy²+dy³+ex²+fxy+gy²+hx+jy+k=0

所代表的一切曲线通过坐标轴的变换化为以下四种形式之一

xy²+ey=ax³+bx²+cx+d，

xy=ax³+bx²+cx+d，

y²=ax³+bx²+cx+d，

y=ax³+bx²+cx+d．

在《三次曲线》一书中牛顿列举了三次曲线可能的78种形式中的72种．其中最吸引人、最难的是：正如所有曲线能作为圆的中心射影被得到一样；所有三次曲线都能作为曲线

y²=ax³+bx²+cx+d

的中心射影而得到．这一定理，在1973年发现其证明之前，一直是个谜．

牛顿的三次曲线奠定了研究高次平面曲线的基础，阐明了渐近线、结点、共点的重要性．牛顿关于三次曲线的工作激发了关于高次平面曲线的许多其他研究工作．

4.推进方程论，开拓变分法

牛顿在代数方面也作出了经典的贡献，他的《广义算术》大大推动了方程论．他发现实多项式的虚根必定成双出现，以及求多项式根的上界的规则．他以多项式的系数表示多项式的根n次幂之和公式，给出实多项式虚根个数的限制的笛卡儿符号规则的一个推广．

牛顿还设计了求数值方程的实根近似值的对数和超越方程都适用的一种方法以及该方法的修正，现称为牛顿方法．

牛顿在力学领域也有伟大的发现．第一运动定律是伽利略发现的，这个定律阐明，如果物体处于静止或作恒速直线运动，那么只要没有外力作用，该物体就仍将保持静止或继续作匀速直线运动．这个定律也称惯性定律，描述了力的一种性质：力可以使物体由静止到运动和由运动到静止，也可以使物体由一种运动形式变化为另一种形式．该论述被称为牛顿第一定律．力学中最重要的问题是物体在类似情况下如何运动，牛顿第二定律解决了这个问题，该定律被看做是古典物理学中最重要的基本定律．牛顿第二定律定量地描述了力能使物体的运动产生变化，说明速度的时间变化率，即加速度a与力F成正比，而与物体的质量成反比，即力越大，加速度也越大；质量越大，加速度就越小．力与加速度都既有量值又有方向．加速度由力引起，方向与力相同．如果有几个力同时作用在某物体上，就由合力产生加速度，牛顿第二定律是最重要的，动力学的所有基本方程都可以由牛顿第二定律通过微积分推导出来．

此外，牛顿根据这两个定律制定出第三定律．牛顿第三定律指出，两个物体的相互作用总是大小相等而方向相反．对于两个直接接触的物体，这个定律比较易于理解．书本对于桌子向下的压力等于桌子对书本向上的托力，即作用力等于反作用力．引力也是如此，飞行中的飞机向上拉地球的力在数值上等于地球向下拉飞机的力．牛顿运动定律广泛用于科学和动力学问题上．