§7.3 数学大厦基础上的裂缝——三次数学危机

数学是精确的；数学是严密的；甚至说数学是美的，这是我们对号称“天衣无缝”绝对正确的数学的美誉．然而，这里的精确、严密、美，都是来之不易的．其实数学的发展也经历了大风大浪．经历了磨难．这只要细看一下整个数学的发展史，就会明白．数学贯穿着矛盾的斗争和解决．而当矛盾达到白热化以致于影响数学基础时，这就产生了数学危机．数学史上的三次危机，都与悖论的出现有关．

从历史的阶段上看，数学的三次危机分别发生在公元前5世纪，公元17世纪和19世纪，并都发生在西方文化发展的时期．因此数学危机的产生，都有一定的文化背景．第一次危机是古希腊时代，由于不可公度线段——无理数的发现与一些直觉的经验相抵触而引发；第二次危机是由于微积分理论出现后，对无穷小量的理解未及深透而引发的；第三次危机则是由于罗素发现了集合论悖论，危及了整个数学基础而引起的．不过因为这三次危机都是发生在西方，对东方(中国和印度)无甚影响．因此也称为三次西方数学危机．

三次数学危机对数学及哲学都造成了巨大的影响．三次数学危机虽然给当时某个时期造成了某种困境，然而一直未妨碍着数学的发展与应用，而是在困境过去后，给数学带来了新的生机．

7.3.1 第一次数学危机

1.第一次数学危机的产生

第一次数学危机发生的时间最早，而危机从根本上消除花费的时间又最长、最有名．公元5世纪，古希腊的数学非常发达，尤以毕达哥拉斯创立的学派最为有名．毕达哥拉斯学派对几何学的贡献很大，最著名的是所谓毕达哥拉斯定理(我国称为勾股定理)的发现．据说当时曾屠牛百头欢宴庆贺．

毕达哥拉斯学派倡导一种“惟数论”的哲学观．“数”与“和谐”是他们主要的哲学思想．他们认为，宇宙的本质是数的和谐．一切事物都必须且只能通过数学得到解释．他们坚持的信条是：“宇宙间的一切现象都可以归为整数与整数之比．”也就是一切现象都可以用有理数来描述．例如，他们认为“任何两条不等线段，总有一个最大公度线段．”其求法如图7-1所示．

图7-1

设两条线段AB＞CD，在AB上用圆规从一端A起，连续截取长度为CD的线段，使截取的次数尽可能多．若没有剩余，则CD就是最大公度线段．若有剩余，则设剩余线段为EB(EB＜CD)，再在CD上截取次数尽可能多的EB线段．若没有剩余，则EB就是最大公度线段．若有剩余，则设为FD(FD＜EB)．再在EB上连续尽可能多地截取线段长度等于FD的线段．如此反复下去，由于仅用尺规，总会出现没有剩余的现象．也即最大公度线段总是可以求得的．例如图7-1(a)．最后设FD=2GB，所以GB就是AB和CD的最大公度线段．故而有．即为两个整数的比．

然而，毕达哥拉斯学派的希帕斯发现了等腰直角三角形的直角边与斜边无最大公度(不可通约)．也即在等腰直角三角形中直角边与斜边的比值不能表示为两个整数的比，不可公度线段的发现，这本来是人类对数认识的一次重大飞跃，是数学史上的伟大发现．但由于毕达哥拉斯学派的哲学偏见所禁锢，使他们陷入了极度不安的深渊中．这一发现不仅对毕达哥拉斯学派的学说是致命的损害，而且对人们当时的见解也是极大的冲击．

当时人们刚由自然数扩大到有理数．根据经验完全确信“一切量都可以用有理数来表示”，也就是说：在任何精度范围内的任何量，都可以表示成有理数，这在希腊当时是人们的一种普遍信仰．这是毕达哥拉斯学派的基本信条．因此，按照毕达哥拉斯学派的这种信念，不可公度线段是不存在的．但是，另一方面，可以证明正方形的对角线和边长就是不可公度的线段，由此引出矛盾．这就形成了悖论．这一悖论人们叫做毕达哥拉斯悖论．这一悖论触犯了毕达哥拉斯的根本信条．因此在当时这一悖论就直接导致了认识上的危机．从而产生了第一次数学危机．

这个危机，当然只是古希腊数学理论的危机．这场危机从公元前一直拖到了公元19世纪才完全解决．所谓完全解决，就是说新的理论建立起来了．在新的理论体系下，数学扩张了．被认为是“异物”的东西成了这个体系合理的“存在物”．

相传，希帕拉斯的科学发现，若是在今天，给他授予菲尔兹奖也不为过．然而，他不但没有获得应得的奖赏，反而被同伙们处以“死刑”的惩罚．希帕拉斯为发现真理而献出了宝贵的生命．但是希帕拉斯的发现却是淹不死的．这个发现以顽强的生命力被广为流传．

2.第一次数学危机的产物——数学基础更加牢固

为什么危机拖了那么久并未从根本上影响数学的发展呢？事实上，影响是存在的．例如，算术的基础地位动摇了，几何的地位上升了，几何的地位支撑着数学的发展．此外，虽然在理论上还无法解释这种数的时候，也无可奈何地要跟这种数打交道．只不过把这种数叫做“无理数”罢了．不管怎样，可以肯定地说：直线上如果仅有相应于有理数(可比数)的点，那么，就还有空隙．

希帕拉斯的发现，一方面促进人们进一步去认识和理解无理数，另一方面，导致了公理几何和古典逻辑的诞生．几何量不能完全由整数及其比表示．

反之，数都可以由几何量表示．整数受人尊崇的地位动摇了．几何学开始在希腊数学中占有特殊的地位了．同时也反映出，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的．从此希腊人开始重视几何的推理，并由此建立了几何的公理体系．这是数学思想史上的一次巨大革命．

第一次数学危机的最后清除还要归功于19世纪戴德金实数理论的建立．在实数理论中，无理数可以定义为有理数的极限．且这种数填满了直线——直线上再无空隙．这样又恢复了毕达哥拉斯的“万物皆数”的思想．

7.3.2 第二次数学危机

18世纪是英雄的世纪．17世纪由牛顿和莱布尼茨的微积分发现无疑是一件划时代的事件．该事件迎来了18世纪的繁荣时期，这个时期的数学家在几乎没有逻辑支撑的前提下，勇敢地开拓并征服了众多的科学领域，他们把微积分应用于天文学、力学、光学、热力学等各个领域，并获得了丰硕的成果．在数学本身他们又发展了微分方程，无穷级数的理论，大大地扩展了数学研究的范围．但是，其中许多结果只是依靠经验和观测，微积分概念是模糊的，证明也是不充分的，其中最突出的是天文学的预言——哈雷慧星的再度出现．数学家们坚信，上帝数学化地设计了世界，而他们正在发现和揭示这种设计．可以说，这种信仰支撑着他们的精神和勇气．而丰硕的科学成果则养育着他们的心智，成为他们追求的精神食粮．并迫使数学家们急于去攫取新的成果．而无暇顾及“基础问题”．正如达朗贝尔所说：“向前进，你就会有信心！”

然而，一方面是丰硕的成果，另一方面，由于在研究和应用中出现的越来越多的谬论和悖论，暴风骤雨正一步步地向数学家们袭来．贝克莱大主教的批评给人一种“数学的基础是建立在沙滩上”的感觉．数学的发展又遇到了深刻的令人不安的危机——数学史上的第二次危机．

1.第二次数学危机的产生

17世纪建立起来的微积分理论在实践中取得了成功的应用，大部分数学家对于这一理论的可靠性深信不疑．但在持续一百多年内，这门学科缺乏令人信服的严格的理论基础，存在着明显的逻辑矛盾．

例如：对于y=x²而言，根据牛顿的流数计算法，有

在上面的推导过程中，从式(7-5)到式(7-6)，要求Δx不等于零．而从式(7-6)到式(7-7)，又要求Δx等于零．

正因为在无穷小量中存在着这类矛盾，才引起当时颇具影响的红衣大主教贝克莱对无穷小的抨击．1734年，贝克莱在其所著的一本书名为《分析学家》的小册子里，说Δx为“逝去量的鬼魂”，意思是说，在微积分中，有时Δx作为零，有时又不作为零，自相矛盾．贝克莱的指责，在当时的数学界中引起混乱．

另外，下面的论断也让人不可小视：事情是这样的，首先这个x应该等于0，这是因为

x=(1－1)+(1－1)+…=0

其次，可以证明x等于1，因为

x=1－(1－1)－(1－1)－…=1

最后，还可以证明x等于，因为

x=1－(1－1+1－1+…)

x=1－x

2x=1

零表示没有，由于这个x可以等于零，等于1，等于

，所以而1和表示确确实实地有啊！这不是“没有”等于“有”么！

还不止于此，格兰第还说，你想创造什么数，我可以创造出什么数．比如说想创造16，因为16×x=16×x，既然x可以等于0，也就可以等于1．这时

16×0=16×1

得到0=16，说明从无中创造出16．

虽然，贝克莱对微积分的激烈攻击是出于他的政治目的，他极端恐惧于当时自然科学的发展所造成的对宗教信仰的日益增长的威胁，但在微积分产生初期，由于还没有建立起巩固的理论基础(主要是极限理论)，出现了这样那样的问题，确实让一些别有用心的人钻了空子．由于数学分析领域中的一个个成就不断涌现，但与这个相对照的却是由于基础的含糊不清所导致的矛盾愈来愈尖锐，这就迫使数学家认真清除贝克莱悖论，从而开始了柯西—魏尔斯特拉斯的微积分理论的奠基时代．

2.第二次数学危机的产物

为了解决第二次数学危机，数学家们作了大量的工作，其中柯西是起着承前启后作用的人．19世纪，出现了一批杰出的数学家，他们积极为微积分的奠基工作而努力．首先要提到的是捷克的哲学家和数学家波尔查诺(B.Bolzano，1781～1848)他开始将严格的论证引入到数学分析中，1816年，他在二项式展开公式的证明中，明确地提出了级数收敛的概念，同时对极限、连续和变量有了较深入的理解．

分析学的奠基人，公认是法国的多产数学家柯西，柯西是最伟大的近代数学家之一．他给出了数学分析一系列基本概念的精确定义．例如，他给出了精确的极限定义，然后用极限定义连续、导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性．这些定义基本上就是今天我们微积分课本里面使用的定义．不过现在写得更加严格一些．

1874年，德国数学家魏尔斯特拉斯(K.T.W.Weierstrass，1815～1897)进一步改进了柯西的工作．魏尔斯特拉斯通过：

(1)逻辑地构造实数系；

(2)从实数出发定义极限概念、连续性、可微性、收敛和发散；

(3)引进精确的“ε-δ”语言．

终于使数学分析从完全依靠运动学、直觉理解和几何概念中解放出来，并消除了历史上各种模糊的用语．诸如“最终化”，“无限地趋近于零”等．

总之，第二次数学危机的核心是微积分的基础不稳固．柯西的贡献在于将微积分建立在极限论的基础上．魏尔斯特拉斯的贡献在于先逻辑地构造实数论，进而建立分析基础的逻辑顺序是实数系——极限论——微积分．

魏尔斯特拉斯对数学分析的贡献是卓越的，并得到希尔伯特的高度评价．

7.3.3 第三次数学危机

1.第三次数学危机的产生

17世纪、18世纪、19世纪都是近代数学蓬勃发展的世纪．前两个世纪是迅猛地前进，广为开拓，后一世纪是走向更加成熟，重大理论成果累累．非欧几何的出现使几何理论更加扩展和完善；实数理论(极限理论)的出现使微积分有了牢靠的基础；群的公理，算术公理的出现使算术、代数的逻辑基础更为明晰，等等．然而，人们还在思考：整个数学的基础在哪里？正是这个时候，19世纪末，集合论出现了．事实上，严格的微积分理论是以实数理论为基础的，严格的实数理论又以集合论为基础．集合论似乎给数学家们带来了一劳永逸地摆脱危机的希望．尽管集合论的相容性尚未证明，但许多人认为这只是时间问题．正因为如此，使得法国数学家庞加莱在1900年巴黎召开的第二届国际数学家大会上宣称：“数学的严格性看来直至今天可以说是严格实现了．”因而对实数理论和极限理论的基础集合论给予很高的评价．然而，暴风雨正在酝酿，数学史上一场新的危机正在降临．事隔两年，即在1902年，突然传出了一个惊人的消息：著名的哲学家和数学家罗素发现集合论的概念出现了矛盾．这就是著名的罗素悖论．

由于这一新发现，使刚刚平静的数学界，又掀起“轩然大波”，整个数学界也为之大震．使好多数学家大惊失色，不知所措．

实际上，在罗素悖论之前，已出现了布拉里—福蒂最大序数悖论和康托最大基数悖论，只是在此之前那些知情的数学家们并没有像对罗素悖论那样感到不安．因此在此之前依然是一片太平盛世．

为什么罗素悖论使整个数学界大受震动呢？这是因为罗素悖论不仅涉及集合论中最基本的概念“集合”，而且还涉及集合论中经常使用的一个基本原则．只要承认并使用了这个原则和过程，则牵一发而动全身，数学中许多原有结论就失效了．集合论悖论的出现引起了数学界的争论，同时又伴随出现了尖锐的哲学思想的论争，这就是所谓的第三次数学危机．

2.第三次数学危机的产物——数理逻辑的发展与一批现代数学产生

摆脱第三次数学危机的出路在哪里？途径之一是抛弃整个集合论，把数学建立在别的什么理论基础上；途径之二是对康托尔的集合论加以改造，以便建立新的理论体系．经过一番探索，人们选择了第二条道路．

为了排除集合论悖论，策墨罗等人用公理集合论致力于集合论改进．罗素等人用类型论致力于集合论的改造．这是两个主要的改造方案．除此之外，数学在实践中还提出了另一些可以排除悖论的方法．

作为对罗素悖论的研究与分析的一个间接结果就是哥德尔获得如下的不完备性定理：

如果形式算术系统是无矛盾的，则存在着这样一个命题，该命题与其否定在该系统中不能证明．亦即这形式算术系统是不完备的．

这一定理是数理逻辑发展史上的重大研究成果，是数学与逻辑发展史上的一个里程碑．时至今日，数学界还未提出一个完善的解决方案，所以，最终人们只得在承认数学自身也存在矛盾的前提下，对集合论的思想和方法进行广泛的应用．

应该指出的是，数学史上的三次危机对中国几乎无甚影响．西方所谓的数学危机，本质上不是自身操作系统出现了危机，而是文化传统对数学操作系统的解释出现了危机．从数学危机的结果上分析，西方数学的危机不是自身形式的改变，而是人们对数学认识的改变．是人们对数学的理解发生了改变．