§6.3 费尔马大定理(费尔马最后定理)

6.3.1 关于费尔马

彼埃尔·费尔马(Fermatde P.1601～1665)，法国数学家，物理学家．费尔马是17世纪最卓越的数学家之一．1601年8月20日，出生在法国南部的土鲁斯附近的博蒙——德洛马湿，父亲是一位皮革商．1665年1月12日逝世于土鲁斯或卡斯特.属于富裕中产阶层．母系家庭是所谓“穿袍贵族”，其中许多人曾任法官，费尔马也在大学里学法律．1631年前曾在波尔多做法官，以法律知识渊博，做事清廉而著称．1631年5月，费尔马成为土鲁斯地方高等立法议会议员．做了三十多年法律顾问后，移居到土鲁斯．与其表妹结婚，生有二子三女.长子萨缪也是法官及土鲁斯议会议员．

费尔马是一位博览群书，见多识广的学者，又精通多种文字的语言学家．业余时间喜欢恬静生活，全部精力花费在钻研数学和物理问题上，有时用希腊文、拉丁文和西班牙文写诗作词，自我朗诵消遣．

虽然费尔马近三十岁才认真注意数学，但他对数论、几何、分析和概率等学科做过深入的研究，做出了重大的发现．他的名字几乎与数论是同义语，他给出了素数的近代定义，并提出了一些重要的命题，被誉为近代数论之父．他又同笛卡儿分享着创立解析几何的荣誉，他被公认为数学分析的先驱之一．他和帕斯卡同是概率论的开拓者，因此，费尔马被誉为“业余数学爱好者之王”，与同时代的数学大师笛卡儿、莱布尼茨齐名．

费尔马谦虚谨慎、淡泊名利，生前很少发表著作，他的卓识远见出于他与同时代学者的信件和一批以手稿形式传播的论文．他的崇拜者常常催促他发表著述，但都遭到拒绝，他的很多论述特别是在数论方面的论述，从没有正式发表过．费尔马死后，很多论述遗留在故纸堆里，或阅读过的书的页边空白处，书写的年月无从考察．还有保留在他给朋友们的书信中．他的儿子S.费尔马将遗物进行整理、汇编成册，共分两卷，分别于1670年和1679年在土鲁斯出版．第一卷有丢番图的《算术》，带有校订和注解；第二卷是包括抛物线形求面积法极大、极小及重心的论述，各类问题的解答，这些内容后来成为微积分的一部分，还有球切面，曲线段求长等．另外还有他和同时代的许多数学家和物理学家笛卡儿、帕斯卡等的通信函件，费尔马猜想也是以这样的方式公布于世的．

6.3.2 费尔马猜想

1.费尔马定理的产生

前面提到过毕达哥拉斯定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方

这是一个古老的数学定理，它有熟知的正整数解(3，4，5)，所有的正整数解都可以写出来，称之为勾股定理．那么人们自然会问：如果把这里的平方改成立方，四次方，一般地n次方是否仍有正整数解呢？

1630年左右，法国数学家费尔马买到一本古希腊数学家丢番图著《算术》一书的拉丁文版，并对其中的数论问题产生了浓厚的兴趣，业余之时，对希腊的数学家的一些问题进行研究和推广．当他读到第二卷第八命题：“将一个平方数分为两个平方数时，他想到了更一般的问题，于是，他在页边空白处用拉丁文写了如下一段话：“将一个立方数分为两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，或者更一般地将一个高于二次的幂分为两个同次幂，这是不可能的．关于此，我确信发现了一种奇妙的证法，可惜这里的空白太小了，写不下．”这段叙述用现代数学语言来说，就是当整数n＞2时，方程xⁿ+yⁿ=zⁿ没有正整数解．这就是费尔马猜想．

费尔马猜想又叫做费尔马问题．但更多地叫做费尔马最后问题(Fermat's last Theorem)简记为FLT．我国普遍叫做费尔马大定理，主要为区别费尔马小定理．名字的来源很大程度上是费尔马提出的很多数论命题，数学家经过长期努力，证明大多是正确的．只有一个是错误的．到1840年左右，只剩下FTL没有被人证明，因此称为最后定理．

FLT的好处是简洁易懂，简单得可以在大街上向任何行人解释清楚，正因为如此，才会引起人们的兴趣．

2.费尔马定理证明之谜

早期的人们很想从费尔马的论著中找到费尔马是怎么样证明FLT的，但查遍了他的所有著作，结果使人们大失所望，人们开始怀疑他的奇妙的证明，有人认为他根本没有给出证明，用费尔马时期的数学知识不可能给出证明．有人认为他给出过证明，不过证明中有错误，其理由是：

其一，从费尔马的品德和才智来说，他不会自我欺骗.

其二，费尔马在同一本书上还写了几个研究结果：如

(1)任何形如4n+1的素数可以惟一地表示成两个整数的平方和．而形如4n－1的素数则不可能．

(2)对于整数n和素数p，p不整除n，则n^p－n可以被p整除.即费尔马小定理．

(3)费尔马自己证明了n=4情形的FLT．使用的是他发现的“无穷递降法”，后来发现无穷递降法对一般情形不适用.费尔马可能在这方面犯了错误，而误认为发现了“奇妙的证明”．最后，在数论历史上，就是大数学家也难免犯错误.正是“智者千虑，必有一失”，费尔马本人也不例外，他也曾有过错误的猜想，即形如：F_n=2²ⁿ+1(n=0，1，2，3，…)的数叫费尔马数．1640年费尔马验证了F₀=3，F₁=5，F₂=17，F₃=257，F₄=65537是素数后，就猜想n³≥0时，F_n都是素数．1732年欧拉证明F₅=2²⁵+1=641×6700417，从而否定了这个猜想．现在看来，论证这个历史悬案对我们并不重要，关键是如何解决这个FLT．

FLT开始并没有引起人们的瞩目，在一些著名的数学家受挫后，才普遍引起人们的重视．许多知名的数学家都研究过FLT，包括欧拉，勒让德，高斯，阿贝尔，狄利克雷，柯西和库麦等，有的人为此献出了毕生精力(库麦就是其中一个)．

数学家们继往开来，不畏劳苦，奋勇攻坚，在解决FLT上取得了很大的成绩，并且发现了一些新的方法和新的理论，数学家们也从中得到了磨练和启迪.

19世纪20年代，许多法国数学家和德国数学家们试图证明FLT．

1823年，71岁高龄的勒让德给出了n=5情形的证明；

1832年，狄利克雷给出了n=7情形的证明；

1844～1857年，库麦证明了n＜100的情形，一直这样下去，关于FLT对于一些指数n成立，但是对于任意的n还没有被证明．

3.悬赏十万马克奖金

1823年和1850年，法国科学院曾先后两次提供金质奖章和三千法郎奖金，奖励证明FLT的数学家，1856年的鉴定人有柯西，刘维尔，拉梅，伯传德和沙尔．

布鲁塞尔科学院也以重金悬赏．

1908年德国达姆施塔特城的数学家佛尔夫斯克尔遗言，把十万马克的巨款赠给哥廷根皇家科学院．有一个附加条件，将该款项作为奖金授给第一个证明FLT的人．按照哥廷根皇家科学院的决定，这种证明必须在一种杂志上或者作为单行本发表，这项奖金限期为100年，到2007年取消.在奖金发出之前，所得利息用来奖励在数学上做出重大贡献的人．

十万马克的奖金推动了FLT的研究，消息传出后，在德国和世界各地掀起了一股研究FLT的热潮，应征者不仅有数学家，还有许多工程师、牧师、教员、大中学校学生、银行职员和政府官员等，不仅有德国人还有大量的外邦人，人数之多，阶层之广都是空前的．

1918年11月第一次世界大战结束后，作为战败国的德国，马克贬值，十万马克只能买几张纸！解答FLT的热潮至此才算告一段落．那些为奖金而努力的人不再作尝试，继续注意这个问题的大多是数学爱好者．因此，以后的研究才向着满足知识及创造成绩两大方向迈步．英国数学家莫德尔深有感触地说：“如果你想发财，任何一种方法都比证明费尔马猜想容易得多．”

然而，在过了360多个春夏秋冬，FLT才由英国数学家怀尔斯(A.Wiles)证明，怀尔斯笑到了最后．

6.3.3 怀尔斯其人其事

1.关于怀尔斯

怀尔斯是英国数学家，1953年4月11日生于英国剑桥，由于他在数论及相关领域的杰出贡献，于1998年荣获菲尔兹特别贡献奖，时年45岁．他是迄今为止惟一荣获此奖的50岁以下的数学家.1996年，他还荣获了奥尔夫奖，时年43岁.他也是迄今为止获得此奖的数学家中最年轻的一位．

怀尔斯1971年进入牛津大学学习，1974年获得学士学位，同年，进入剑桥大学攻读博士，1977年获博士学位．其后任克莱尔学院的初级研究员和美国哈佛大学的本杰明、皮尔斯助理教授．1981年赴德国波恩大学任理论数学访问教授，同年末去普林斯顿高等研究院任研究员，同时还到欧洲多所大学访问讲学．1982年起任普林斯顿大学教授．1988～1990年任英国皇家学会设在牛津大学的研究教授，1994年起任普林斯顿大学尤金·希金斯讲座教授．怀尔斯1989年当选为英国皇家学会会员，1996年当选为美国国家科学院外籍院士．

2.登山者的足迹

数学家阿蒂亚说：“费尔马猜想扮演了类似珠穆朗玛峰登山者所起的作用……”．怀尔斯10岁时，在剑桥一个公共图书馆看到一本书上提到费尔马猜想，就立刻为之心驰神往，并花了不少时间和精力试图证明这个猜想，虽然没有成功，但费尔马猜想却深深地印入了他的脑海，并促使他爱上了数学，立志要做一个数学家，要致力于证明费尔马猜想．当成了一名职业数学家后，他才懂得要证明费尔马猜想这类难题只有激情是远远不够的，还必须有坚实的数学基础和顽强的毅力．

怀尔斯是一个安静腼腆的人，脸上总是带有微笑，他多年深居简出，潜心研究数学问题，并被誉为解决难题的能手．他对费尔马猜想的证明就是建立在近十年来许多人工作基础上的．1986年，他在证明方面已经做出了一系列重要工作，就在利贝证明了弗雷构思的一月之后，怀尔斯在一个朋友家里饮冰茶时知道了这个消息，感到了极大的震动．后来他回忆说：“我记得那个时候，那个改变我生命历程的时刻，因为这意味着为了证明费尔马猜想，我必须做的一切就是证明谷山-志村猜想”，从那天起怀尔斯放弃了所有的与证明TS猜想无关的研究，决心不参加任何学术活动．除了教书以外，回避一切分心的事情，经过5年奋斗后，到1991年的夏天，感到需要重返数坛，了解数学界最新成果，他参加了在波士顿举行的国际数论会议．这次出山，他了解了许多新的方法，新技术．1993年6月23日，怀尔斯在演讲中宣布他证明了FLT.这是一个令人心醉的时刻，E-mail在全球飞驰，全世界的报纸都在大力宣传说：“这个貌似简单，却曾使许多人求索而久攻不下的难题，终于土崩瓦解了．”

3.有惊无险

怀尔斯证明了费尔马大定理，对于这个“世纪性的成就”，宣传的热潮一浪高过一浪．People杂志还将他和戴安娜王妃，Michael Jackson，克林顿总统等一起列为“本年度25位最有魅力的人物”之一．然而宣传的热潮还未来得及降温，11月15日，他的老师柯兹证实怀尔斯的论文有漏洞．12月4日，怀尔斯向数学界发了一个电子邮件，承认了证明中的漏洞，但信中说：“鉴于我关于TS猜想和费尔马大定理的工作情况的推测，我将对此作一简要说明，在审稿过程中，发现了一些问题，绝大多数都已经解决了，但是其中一个特殊问题我至今仍未解决，我相信在不久的将来，我将用我在剑桥演讲时说的想法解决这个问题．”

西方新闻媒介大多对此表达了宽容，当他说其中出现一些漏洞时，对此事的报道并没有像先前那样放在显著的位置，并肯定怀尔斯的工作大大打破了世界纪录．尤其是1994年8月，在瑞士苏黎士召开的国际数学家大会上，怀尔斯还应邀作了最后一个大会报告，而且得到热烈的掌声，肯定了他部分地证明了TS猜想和其他方面对数论的重要贡献．

1994年10月14日，怀尔斯又一次将他的108页的论文《模曲线和费尔马大定理》送交当代最权威的数学杂志——普林斯顿的《数学年刊》．1995年5月，《数学年刊》用一期发表了他的论文.1996年3月，怀尔斯站到了沃尔夫奖领奖台上，费尔马大定理的证明最终成为一个真正的定理.怀尔斯也真正笑到了最后．

4.故事还没有结尾

历时300多年的费尔马大定理的证明因为怀尔斯的努力宣布结束．然而，世界上的数学迷们不必担心没有事可做，更不必有失落感．虽然我们丢失了曾经与我们相处这么长时间的某种东西——那种把我们许多人引向数学的东西．其实，这只不过是研究数学问题必然会经历的过程，世界上还有大量未解决的数学难题，这些不解之谜，叙述是那么简洁易懂——中学生都可以理解，解决起来却又是那么的艰深，这也许就是这些问题的迷人之处．

比如，完美数，即其因数之和等于自身的那些数，数千年来我们仅见到的完美数只有30多个，且均为偶数，那么问题是：

(1)完美数都是偶数吗？

接下来的问题是：

(2)完美数是有限的还是有无穷多个？

又比如，两千多年前，欧几里得证明了素数都是无穷无尽的．那么孪生素数呢？对于孪生素数，数学家们虽然发现孪生素数似乎散布在整数序列之中，他们越是努力寻求孪生素数，那么他们发现的孪生素数就越多．现在的未解之谜是：

(3)孪生素数到底有多少对？

关于素数的谜，还有我们前面讨论过的哥德巴赫猜想.即：

(4)每一个偶数都可以分解为两个素数之和，能判断该命题是真的还是假的？

费尔马定理还有两个有趣的推广：

(5)费尔马-卡特兰猜想(The Fermat-Catalan Conjecture)若a，b，c是互素的，则当t，u，v满足时，方程a^t+b^u=c^v只有有限个解．

1995年，达蒙(H.Darmon)，格兰维勒(A.Granville)找到10个解.

1+2³=3²，2⁵+7²=7³+13²=2⁹

2⁷+17³=71²，3⁵+11⁴=122²17⁷+76271³=21063928²，1414³+2213459²=65⁷9262³+15312283²=113⁷，43⁸+96222³=30047907²

33⁸+1549034²=15613³

(6)毕尔猜想(The Beal Conjecture)对于A，B，C，x，y，z是正整数，而x，y，z至少是3，A，B，C互素，则方程A^x+B^y=C^z无解．

毕尔提出这一猜想时很得意，并愿意为猜想的解答者提供5 000美元的奖金.并且每年增加5 000美元，最高为5万美元．

这些问题已足够数学爱好者研究的了．然而，在所有可能取代费尔马大定理作为数学中最重要的未解决的问题中“开普勒球填装问题”首当其冲.有兴趣的读者可以查看相关资料．