§3.3 附录

3.3.1 阿基米得

阿基米得(Archimedes，公元前287～公元前212)出生在叙拉古城的贵族家庭，父亲是位天文学家．在父亲的影响下，阿基米得从小热爱学习，善于思考，喜欢辩论．长大后漂洋过海到埃及的亚历山大里亚求学．他向当时著名的科学家欧几里得的学生柯农学习哲学、数学、天文学、物理学等知识，最后通古博今，掌握了丰富的希腊文化．

阿基米得

图3-20

回到叙拉古后，他坚持和亚历山大里亚的学者们保持联系，交流科学研究成果．他继承了欧几里得证明定理时的严谨性，但他的才智和成就却远远高于欧几里得．他把数学研究和力学、机械学紧密地联系在一起，用数学研究力学和其他实际问题．保护叙拉古战役中的机械巨手和投石机等就是最生动的一个例子，有力地证明了“知识就是力量”的真理．

在亚历山大里亚求学期间，阿基米得经常到尼罗河畔散步，在久旱不雨的季节，他看到农人吃力地一桶一桶地把水从尼罗河里提上来浇地，他便创造了一种螺旋提水器，通过螺杆的旋转把水从河里取上来，节省了农人很大力气．这种装置不仅沿用到今天，而且也是当代用于水中和空中的一切螺旋推进器的原始雏形．

阿基米得在他的著作《论杠杆》(可惜失传)中详细地论述了杠杆的原理．有一次叙拉古国王对杠杆的威力表示怀疑，他要求阿基米得移动载满重物和乘客的一艘新三桅船．阿基米得叫工匠在船的前后左右安装了一套设计精巧的滑车和杠杆．阿基米得叫100多人在大船前面，抓住一根绳子，他让国王牵动一根绳子，大船居然慢慢地滑到海中．群众欢呼雀跃，国王也高兴异常，当众宣布：“从现在起，我要求大家，无论阿基米得说什么，都要相信他！”

阿基米得曾说过：给我一小块放杠杆的支点，我就能将地球挪动．假如阿基米得有个站脚的地方，他真能挪动地球吗？也许能．不过，据科学家计算，如果真有相应的条件，阿基米得使用的杠杆必须要有88×1021英里长才行！当然这在目前是做不到的．

最引人入胜，也使阿基米得最为人称道的是阿基米得从智破金冠案中发现了一个科学基本原理．

阿基米得被后世的数学家尊称为“数学之神”，在人类有史以来最重要的三位数学家中，阿基米得占首位，另两位是牛顿和高斯．

3.3.2 毕达哥拉斯

公元前6世纪，大约是中国孔子生活的时代，毕达哥拉斯生于爱琴海上的摩斯岛(Samos)，他一生充满传奇和神秘，令历史学家很难分清事实和虚伪．似乎可以肯定的一件事是毕达哥拉斯发展了数学的逻辑思想，对于数学发展史上的第一个黄金时期影响甚巨．他认识到数是独立于有形世界而存在的，对数的研究不会因感觉差错而受影响，数不是仅用于计算和记账而已．

毕达哥拉斯

图3-21

毕达哥拉斯历经20年的海外旅游，到过印度、埃及、巴比伦，他了解这些国家的数学虽然是一套复杂的系统，但都仅仅是用来解决实际生活问题的工具．当他回到摩斯岛后，他建立一所学校叫毕达哥拉斯学院，致力于哲学研究，他想理解数学，而非仅仅使用数学．初期，毕达哥拉斯花钱请一位小男孩成为他的第一位学生，每听一节课就给予三银钱，几星期后，毕达哥拉斯注意到学生由勉强学习转变成对知识的热情．他佯装不再有能力支付学生，因而停止上课，这时，学生反而宁可付钱听课．

毕达哥拉斯因社会改革的观念不受欢迎，带着母亲和信徒逃到意大利南部的克罗敦(Croton)，他得到富人米洛(Milo)的资助，后来还娶了他的女儿西若(Theno)，米洛是一位杰出的运动员，力大无比，曾12次获得奥林匹克竞赛金牌，并醉心于数学和哲学的追求．

毕达哥拉斯建立毕达哥拉斯兄弟会，崇拜整数、分数为偶像，他们认为透过对数的了解，可以揭示宇宙神秘，使他们更接近神，事实上是一个宗教性社团组织．入会时需宣誓不得将数学发现公诸于世，甚至在毕达哥拉斯死后，有成员因公开正12面体可以由12个正五边形构成的发现而被迫浸水致死．他们集中注意于研究自然数和有理数，特别是完美数，完美数是本身正因子(除了本身之外)之和，例如：6=1+2+3、28=1+2+4+7+14．他们认为上帝因为6是完美的，因此选择以6天创造万物，且月亮绕行地球一周约28天．

毕达哥拉斯建立毕达哥拉斯兄弟会后不久，撰造了“哲学家(philosopher)”一词，在一次出席奥林匹克竞赛时，弗利尤司的里昂王子问他会如何描述自己，他回答道：我是一位哲学家．他解释说：有些人因爱好财富而被左右，另一些人因热衷于权力和支配而盲从，但是最优秀的人则献身于发现生活本身的意义和目的．他设法揭示自然的奥秘，热爱知识，这种人就是哲学家．

“在一个直角三角形中，斜边的平方是两股平方和．”这个定理中国人(周朝的商高)和巴比伦人早在毕达哥拉斯提出前一千年就在使用，但一般人仍将该定理归属于毕达哥拉斯，是因为他证明了定理的普遍性．而一般认为毕达哥拉斯的证明应是利用了面积重组的方式．毕达哥拉斯认为寻找证明就是寻找认识，而这种认识比任何训练所积累的经验都不容置疑，数学逻辑是真理的仲裁者．

毕达哥拉斯很少公开露面，他虽然向学生教授数学和哲学，但绝不允许学生将之外传，也因为兄弟会隐瞒数学发现，渐渐引起居民的畏惧、妄想和猜忌．后来因学派介入了政治事件，与学校所在地科落顿行政当局发生冲突，终于诱使居民毁了这个学派，毕达哥拉斯80岁时在一次夜间骚乱中被杀，而避居国外的信徒，继续传播他们的数学真理．

对毕达哥拉斯而言，数学之美在于有理数能解释一切自然现象．这种起指导作用的哲学观使毕达哥拉斯对无理数的存在视而不见，甚至导致他一个学生被处死．这位学生名叫希帕索斯，出于无聊，他试图找出的等价分数，最终他认识到根本不存在这个分数，也就是说是无理数，希帕索斯对这个发现，喜出望外，但是他的老师毕达哥拉斯却不悦．因为毕达哥拉斯已经用有理数解释了天地万物，无理数的存在会引起对他信念的怀疑．希帕索斯经洞察力获致的成果一定经过了一段时间的讨论和深思熟虑，毕达哥拉斯本应接受这个新数源．然而，毕达哥拉斯始终不愿承认自己的错误，却又无法经由逻辑推理推翻希帕索斯的论证．使他终身蒙羞的是，他竟然判决将希帕索斯淹死．这是希腊数学的最大悲剧，只有在他死后无理数才得以安全地被讨论．后来，欧几里得以反证法证明是无理数．

3.3.3 欧几里得

欧几里得(Euclid，公元前325～公元前265)，古希腊数学家．以其所著的《几何原本》(简称《原本》)闻名于世．关于他的生平，现在知道得很少．早年大概就学于雅典，深知柏拉图的学说．公元前300年左右，在托勒密王(公元前364～公元前283)的邀请下，来到亚历山大，长期在那里工作．他是一位温良敦厚的教育家，对有志数学之士，总是循循善诱．但反对不肯刻苦钻研、投机取巧的作风，也反对狭隘实用观点．据普罗克洛斯(公元410～485)记载，托勒密王曾经问欧几里得，除了他的《几何原本》之外，还有没有其他学习几何的捷径．欧几里得回答说：“在几何里，没有专为国王铺设的大道．”这句话后来成为传诵千古的学习箴言．斯托贝乌斯(公元500)记述了另一则故事，说一个学生才开始学第一个命题，就问欧几里得学了几何学之后将得到些什么．欧几里得说：给他三个钱币，因为他想在学习中获取实利．

欧几里得

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欧几里得将公元前7世纪以来希腊几何积累起来的丰富成果整理在严密的逻辑系统之中，使几何学成为一门独立的、演绎的科学．除了《几何原本》之外，他还有不少著作，可惜大都失传．《已知数》是除《原本》之外惟一保存下来的他的希腊文纯粹几何著作，体例和《原本》前6卷相近，包括94个命题，指出，若图形中某些元素已知，则另外一些元素也可以确定．《图形的分割》现存拉丁文本与阿拉伯文本，论述用直线将已知图形分为相等的部分或成比例的部分．《光学》是早期几何光学著作之一，研究透视问题，叙述光的入射角等于反射角，认为视觉是眼睛发出光线到达物体的结果．还有一些著作未能确定是否属于欧几里得，而且已经散失．

没有谁能够像伟大的希腊几何学家欧几里得那样，声誉经久不衰．有些人物，如拿破仑、亚历山大大帝和马丁·路德，他们生前的声望远比欧几里得大，但就长期而言，欧几里得的名望可能要比他们持久．

尽管如此，欧几里得一生的细节仍然鲜为人知．虽然我们知道他在大约公元前300年在埃及的亚历山大当过教师，然而他的出生及去世的日期则无法确定．我们甚至不知道他出生在哪个州，更不知道他出生在哪个城市了．他写过另外几本书，其中有些流传至今．然而确立他历史地位的，主要是那本伟大的几何教科书《几何原本》．

《几何原本》的重要性并不在于书中提出的哪一条定理．书中提出的几乎所有的定理在欧几里得之前就已经为人知晓，使用的许多证明亦是如此．欧几里得的伟大贡献在于他将这些材料做了整理，并在书中作了全面的系统阐述．这包括首次对公理和公设作了适当的选择(这是非常困难的工作，需要超乎寻常的判断力和洞察力)．然后，他仔细地将这些定理做了安排，使每一个定理与以前的定理在逻辑上前后一致．在需要的地方，他对缺少的步骤和不足的证明也作了补充．值得一提的是，《几何原本》虽然基本上是平面几何和立体几何的发展，也包括大量代数和数论的内容．

《几何原本》作为教科书使用了两千多年．在形成文字的教科书之中，无疑这本书是最成功的．欧几里得的杰出工作，使以前类似的东西黯然失色．该书问世之后，很快取代了以前的几何教科书，而后者也就很快在人们的记忆中消失了．《几何原本》是用希腊文写成的，后来被翻译成多种文字．这本书首版于1482年，即谷登堡发明活字印刷术30多年之后．自那时以来，《几何原本》已经出版了上千种不同版本．

在训练人的逻辑推理思维方面，《几何原本》比亚里士多德的任何一本有关逻辑的著作影响都大得多．在完整的演绎推理结构方面，这是一个十分杰出的典范．正因为如此，自该书问世以来，思想家们为之而倾倒．

公正地说，欧几里得的这本著作是现代科学产生的一个主要因素．科学绝不仅仅是把经过细心观察的东西和小心概括出来的东西收集在一起而已．科学上的伟大成就，就其原因而言，一方面是将经验同试验进行结合；另一方面，需要细心的分析和演绎推理．

我们不清楚为什么多数自然科学产生在欧洲而不是在东方．但可以肯定地说，这并非偶然．毫无疑问，像牛顿、伽利略、哥白尼和凯普勒这样的卓越人物所起的作用是极为重要的．也许一些基本的原因，可以解释为什么这些出类拔萃的人物都出现在欧洲，而不是东方．或许，使欧洲人易于理解科学的一个明显的历史因素，是希腊的理性主义以及从希腊人那里流传下来的数学知识．

对于欧洲人来讲，只要有了几个基本的物理原理，其他都可以由此推演而来的想法似乎是很自然的事．因为在他们之前有欧几里得作为典范(总的来讲，欧洲人不把欧几里得的几何学仅仅看做是抽象的体系；他们认为欧几里得的公设，以及由此而来的定理都是建立在客观现实之上的)．

上面提到的所有人物都接受了欧几里得的传统．他们的确都认真地学习过欧几里得的《几何原本》，并使之成为他们数学知识的基础．欧几里得对牛顿的影响尤为明显．牛顿的《数学原理》一书，就是按照类似于《几何原本》的“几何学”的形式写成的．自那以后，许多西方的科学家都效仿欧几里得，说明他们的结论是如何从最初的几个假设逻辑地推导出来的．许多数学家，如伯莎德·罗素、阿尔弗雷德·怀特海，以及一些哲学家，如斯宾诺莎也都如此．同中国进行比较，情况尤为令人瞩目．多少个世纪以来，中国在科学技术方面一直领先于欧洲．但是从来没有出现一个可以同欧几里得对应的中国数学家．其结果是，中国从未拥有过欧洲人那样的数学理论体系(中国人对实际的几何知识理解得不错，但其几何知识从未被提高到演绎体系的高度)．直到1600年，欧几里得才被介绍到中国来．此后，又用了几个世纪的时间，他的演绎几何体系才在受过教育的中国人之中普遍知晓．在这之前，中国人并没有从事实质性的科学工作．

在日本，情况也是如此．直到18世纪，日本人才知道欧几里得的著作，并且用了很多年才理解了该书的主要思想．尽管今天日本有许多著名的科学家，但在欧几里得之前却没有一个．人们不禁会问，如果没有欧几里得的奠基性工作，科学会在欧洲产生吗？

如今，数学家们已经认识到，欧几里得的几何学并不是能够设计出来的惟一的一种内在统一的几何体系．在过去的150年间，人们已经创立出许多非欧几里得几何体系．自从爱因斯坦的广义相对论被人们接受以来，人们的确已经认识到，在实际的宇宙之中，欧几里得的几何学并非总是正确的．例如，在黑洞和中子星的周围，引力场极为强烈．在这种情况下，欧几里得的几何学无法准确地描述宇宙的情况．但是，这些情况是相当特殊的．在大多数情况下，欧几里得的几何学可以给出十分近似于现实世界的结论．

不管怎样，人类知识的这些最新进展都不会削弱欧几里得学术成就的光芒．也不会因此贬低他在数学发展和建立现代科学成长必不可少的逻辑框架方面的历史重要性．