§2.3 再叙数论——数学之皇后

数学王子—高斯

图2-3

哥德巴赫猜想原稿

图2-4

数学的“大家庭”中包含着各式各样的“成员”．以研究数(特别是自然数)的规律的数论就是众多“成员”之一．对于数学家来说，数论如同“数学王子”高斯所认为的那样，是整个数学王国中的“数学皇后”．那么究竟是什么原因使数论赢得了这一美誉呢？

首先，这一迷人的数学领域产生了许多富于刺激性的难题，丰富而辉煌，堪称数学家的金矿．正如，希尔伯特所说：“只要一个科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止．”数论就是一个包含着大量尚未解决的问题的数学领域，这就向一代一代的数学家提出了挑战．高斯曾把数论描绘成“一座仓库，贮藏着用之不尽的，能引起人们兴趣的真理”．

其次，数论的一个真正诱惑是这些问题简单得甚至连小学生都能看懂．然而，却使一代又一代世界一流数学家为它付出了艰苦的努力．如著名的费尔马大定理就曾困惑了世间智者360余年，到1995年才最终获得解决．而这类至今尚未解决的问题在数论中比比皆是，如哥德巴赫猜想、奇完全数存在性、孪生素数对问题等．问题表述的简单与解答的极端复杂，作为这一数学分支看似反常的特点吸引着无数的专家与业余爱好者．

再次，人们为了解决这些问题使用了很多极其复杂的手段．在现今的数论进展中，代数、实数与复数分析、几何，甚至概率论的方法，都做出了至关重要的贡献．这些不同数学方法的深刻的相互影响，使人们清楚地看到了一个惊人的事实，从而也让人们几乎不可避免地会产生一种玄秘的感觉．有些结论的陈述，仅仅牵涉到一些关于自然数的最简单的概念如素数，然而要证明这些结论，却非得用到分析、代数几何之类的复杂工具不可，尽管只看假设条件或结论是怎么也想不到会要这样大动干戈的．哥德巴赫猜想就是一个极好的例证．国内著名的数论专家曾形容那些试图仅用初等数学或简单的微积分知识就能解决这一猜想的努力是“蹬着自行车上月球”，“好比拿着锯、刨子造一架航天飞机”，因为他们的工具太原始了，于是再多的努力都是白费．而要解决这一猜想，需要全新的观念与更先进的工具才行．话说回来，人们的确很难解释，人的认知机制为什么非要这么七弯八转兜上一个大圈子，才能在一个假设条件和另一个看上去跟该假设条件那么相近的结论之间建立起联系来．不过，这种定理陈述的简单性，所用方法的深奥性，却以极其明显的形式刻画了数学的和谐一致性，从而使数论深深地吸引了世世代代的数学家．希尔伯特把数论看成“一幢出奇的美丽而又和谐的大厦”；“它有简单的基本定律，它有直接了当的概念，它有纯正的真理”．还有一部分数学家是因为数论脱离实用的“纯正洁白”而着迷．数论的研究课题并不马上招致对科学的应用．如同1896年鲍尔所说：“这门学科本身是一个特别引人、特别雅致的学科，但它的结论没什么实际意义．”确实，如果按通常分法把数学分为“纯粹”数学与“应用”数学，数论或许是数学中所能达到的最纯粹的了．费尔马、欧拉、拉格朗日、勒让德、高斯等都是出自数论内在的趣味及其特有的美而研究人类知识这一领域的，他们确实毫不在乎那些优美的定理是否会有什么“有用的”应用．高斯认为皇后不愿弄脏她那洁白的双手．而英国数论专家哈代曾为自己所研究的数论问题无用而干杯．尽管数论居于数学中最美妙的思想之列，但在哈代以前却从未被用于任何非常实际的目的．不过，这一现象现在已被改变．如大素数分解问题已与密码破译紧密联系在一起了．

或许正是这些极为独特的风格带来的迷人魅力终使数论能高居“数学皇后”的宝座之上，并吸引无数门外汉们与极富才智者一起为之如醉如痴、流连忘返吧．