§1.3 数学分支巡礼

对于非数学专业的读者而言，在了解数学文化的同时，了解一些关于数学分支概况是十分有益的，然而，要完全准确地把所有的数学分支都罗列出来，也不是一件容易的事．因为科学技术不断地发展，数学各门分支的内容也在迅速地发展，现代数学的许多分支常常和其他学科相互交叉和渗透，又形成一门门新的分支学科．但是有许多新的学科，从其内容、方法、意义和应用范围来说，已经不单单属于数学的范畴了．比如，系统工程，信息科学等就是数学和其他学科相互渗透、凝合而成的新兴边缘学科．因此，这里只能根据现在数学界已经公认的资料进行一般的介绍．

现在数学的分支一般包括：代数学、数论、几何学、数学分析(微积分学)、函数论、泛函分析、微分方程、概率论与数理统计、运筹学、数理逻辑、计算数学等，有的分支又再分出更细的分支，这里仅就几门主要分支的内容和意义作简要的叙述．

1.3.1 基本概况

1.代数学

代数学是数学中最古老的分支之一，也是基础性的重要数学分支，代数学起源于算术，是由算术推广发展起来的．所谓代数，顾名思义就是指用符号来代表数字进行计算的一种数学方法．

“代数”这个词，作为一个数学专有名词，代表一门数学分支在我国正式使用，最早是在1859年，那年，清代数学家李善兰(1811～1882)和英国人伟烈亚力(A.Wylie，1815～1887)共同翻译了英国人棣莫根(A.De Morgan，806～1871)所写的一本书，译本的名称叫做《代数学》，代数的名称就从此开始使用了．当然，代数的内容和方法在我国早就产生了，比如《九章算术》中就有方程问题，方程问题就是代数学的内容．

“代数学”在拉丁文中是algebra，它是由阿拉伯文翻译过来的，我们说代数学是由算术演变而来，但是代数和算术不同，算术所研究的内容是具体的正整数、零和正分数相互之间的加、减、乘、除四种运算，并解答和这类计算有关的具体简单应用题，代数不但讨论正的整数、分数和零，而且还讨论负数、实数、虚数和复数，数的概念大大地扩大了．代数的特点是用字母符号来表示各种数．这样，许多复杂计算问题，代数学都可以通过一套字母符号列成方程求解，使应用题的解法大大简化．

今天，代数学的发展，研究对象进一步扩大，代数学本身已发展为包括线性代数、群论、环论、域论等十多个分支的学科，代数学也就由低级到高级、由初等代数发展到高等代数，一个多世纪以来，代数的内容更加抽象了．

2.数论

数的概念的形成和发展经过了漫长的历史阶段．最初是自然数也就是正整数，后来出现了正分数、零和负数；由于实践的需要，为了解决度量连续量的问题，在数的计算中引入了无理数；为了开方的需要，引进了虚数，这样又出现了复数的概念．

整数是最简单明显的数学概念，它和客观实际紧密相联，从1，2，3，…这些正整数本身看来，它们是十分简单的，但是它们又都具有一定的特性．比如，可以把它们用各种方法进行分类，把它们分成奇数和偶数，素数和合数，代数数与超越数等．

正整数的数和数之间有一定的排列次序，相互之间有一定的关系．研究正整数的性质和相互关系，就形成了一门分支学科——数论．

一般认为数论是一门纯数学理论，实际应用不多，但是，数值计算实质上是利用整数进行的，电子计算机，算术计算器和各种数学表格也都是这样的；数学并不只是研究整数，比如计算任意实数(比如π)的时候，实际上是用有理数来代替的，数论还研究怎样用有理数来逼近实数，从而达到所需要的精确度；现代天文学在计算闰月、日月食等，就应用了数论的理论．

按照研究方法来分，数论可以分成初等数论、解析数论、代数数论和几何数论．

3.几何学

几何学和代数学一样也是基础性的重要数学分支，几何学在两千多年前，就形成了严密的体系，是最古老、成熟最早的数学分支之一．

几何学发展到现在，内容丰富，应用广泛，分支繁多．最早的几何学就是欧几里得(Euclid)几何学，或叫欧氏几何．后来又产生了解析几何，非欧几里得几何，射影几何等分支．到了近代，和其他数学分支的结合，又形成了拓扑，微分几何和代数几何等近世几何学．

4.解析几何学

解析几何学包括平面解析几何和空间解析几何两部分，解析几何学的产生对于微积分学的建立具有重要的作用．

平面解析几何最基本的概念是直角坐标系，另外还有极坐标系等，平面解析几何通过点与坐标的对应，把几何问题转化为代数问题，也有把代数问题转化为几何问题．这样，平面解析几何能解决的主要问题有：

第一，通过计算解决作图问题，比如分线段成已知比，计算三角形面积，求两曲线的交点等．

第二，求出由某种几何性质给定曲线的方程．

第三，用代数方法来证明新的几何定理，也可以从几何方面来看代数方程，证明代数方程的性质．

5.非欧几何学

非欧几何是和欧氏几何不同的一种几何学，其不同点是：欧氏几何建立在经验的、三维的合理系统基础上，非欧几何却是建立在另一组公理系统的基础上．非欧几何改变了欧氏几何的平行公理．

虽然欧氏几何和非欧几何都反映了现实空间的相对真理，用欧氏几何的形式还可以把非欧几何在某些曲面上表达出来；但是，非欧几何的概念和公理与欧氏几何是不同的．

非欧几何有狭义的、广义的和通常意义的这三种不同的含义，狭义的非欧几何是单指罗巴切夫斯基(Н.И.Лобаучевский，1792～1856)几何，广义的非欧几何泛指一切和欧氏几何不同的几何，通常意义的非欧几何是指罗氏几何(也叫做双曲几何)和黎氏几何(也叫椭圆几何)．

6.数学分析

数学分析包括微分学和积分学，级数论、函数论、微分方程、积分方程、变分法、泛函分析等许多的数学分支．这些分支都以函数作为研究对象，构成了内容广泛的分析领域．

但是，由于这许多分支都已经发展成为内容庞杂的独立学科，所以有时候就把数学分析看成单指微积分学，我们这里也只说微积分学．微积分学是微分学和积分学的统称，是研究函数的导数，积分的性质和应用的一门数学分支学科．

微积分以函数概念为基本概念，以极小理论为基本方法．进而产生无穷大量与无穷小量，又有无穷大、无穷小的概念．微积分最重要的就是导数、微分、积分的概念，只有引入了这些概念，数学才能精确地回答力学、物理学、工程学、几何学等提出的一些问题．比如瞬时速度、比热、密度、面积等问题．导数和微分的概念是利用极限的概念才得到的．导数在解决实际问题方面，用途十分广泛．

7.函数论

函数论包括实变函数论，复变函数论等．以实数作为自变量的函数叫做实函数．实变函数论是微积分学的进一步发展．实变函数论的基础是点集论．点集论是专门研究点所组成的集合的性质的理论．

实变函数论就是在点集论的基础上研究分析数学中一些最基本的概念和性质的．比如研究点集函数、序列、极限、连续、可微性、积分等．

以复数作自变量的函数叫做复变函数．复变函数论所研究的问题，有些是由其本身在发展中提出的，有些是由实际问题或其他学科提出的．对于自然科学的其他分支如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理学等，以及数学的其他分支如微分方程、积分方程、概率论、数论等，复变函数论都有重要的应用．

8.微分方程

凡是表示未知函数和未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，叫做微分方程，微分方程又分为常微分方程(即未知函数只有一个变量)和偏微分方程(未知函数出现多个变量)．

微分方程的基本问题是：在一定条件下，确定由微分方程所描述的运动状态或者从所给微分方程解出的未知函数，也就是通常所说的定解问题．所求的未知函数叫做微分方程的解．此外，附加于方程的对解的限制条件就叫做定解条件(包括始终条件和边界条件等)．

现代科学技术如空间技术、现代物理学、力学等都有许多问题需要用微分方程来求解，甚至在化学、生命科学、医药学、经济学等方面，微分方程的应用也越来越多．这些情况反过来又推动了微分方程的发展．

9.概率论与数理统计

概率论与数理统计是研究随机事件的数量规律的科学．

在一定条件下，可能出现也可能不出现的现象，就叫做随机事件．自然界中存在大量的随机事件，比如：“掷五分钱硬币国徽面朝上”，“明年七月间的平均温度是28℃”，“射击命中目标”等都是随机事件．

由于随机事件是普遍存在的，因此概率论与数理统计的概念、方法具有极其普遍的意义，已经被广泛应用于各门自然科学、各个工业领域和经济领域中去．

10.运筹学

运筹学是一门比较新的数学分支．运筹学可以用来解决生产实践中有关安排、筹划、调度、使用、控制等方面的问题．

运筹学的内容庞杂，应用范围很广，从发展趋势来看，不仅运筹学本身有发展成为一门独立学科的趋向，而且运筹学所包含的一些分支也有发展成为一些独立学科的趋向．

运筹学的主要分支有：规划论、优选法、对象论、排队论等．

11.数理逻辑

数理逻辑是用数学的方法研究推理的规律，研究正确思维所遵循的规律的科学．数理逻辑还以数学中的逻辑问题，数学理论的形式结构、数学中所使用的方法等作为自己特殊的研究对象，这种研究往往叫做数学基础．

采用数学方法研究相关问题是数理逻辑的学科特点之一．所谓采用数学方法，就是说数理逻辑像近代数学一样，系统地使用符号、公式来陈述处理自己的问题，对于理论中的概念作出严格的定义．对于定理作出严格的证明，等等．数理逻辑从其研究对象来说，是一门逻辑学．但是由于采用了数学方法，就使得其本身也成为一门数学了．

研究数理逻辑扩大了逻辑学(形式逻辑)的范围，把逻辑学的应用范围扩大到其他科学技术方面．用数理逻辑来研究某些数学理论中的问题，并且规定统一的方法判定它们是不是定理，用统一的方法对定理给予证明，这些都给数学提供了新的研究方法，影响着数学的发展．

12.计算数学

现代科学技术的迅速发展特别是计算机的出现，由于计算工具的大变革，数值计算对于生产的发展开始显出巨大的作用和潜力．因此，数学中的一个虽有悠久历史，但是发展比较缓慢的分支——计算数学也开始取得了新的实践意义，发展了新的内容．

现代计算数学，就其主要部分来说，可以看做是关于运用现代计算技术解决具体问题的数学方法的科学．其主要任务是对于科学、技术、经济、文化生活中提出的数学问题，进行研究怎样运用计算机来解决的途径和方法，并且相应地发展关于计算过程的基本理论．现代计算数学的一个特点是与实践的联系和应用都十分广泛．

目前，计算数学大致可以分成两个方面：第一，数值计算方法．第二，程序设计和程序自动化．

1.3.2 数学分支的新发展

20世纪50年代，大学数学系的课程以《高等微积分》、《高等代数》、《高等几何》为主体，俗称“老三高”．时至今日，大家认为光靠这“老三高”已经不够用了，应该发展“新三高”，这就是抽象代数、泛函分析、拓扑学．现代数学理论是由这三根支柱支撑着的．除此之外，一些新数学分支也涌现出来．

1.控制论

控制论是20世纪40年代由数学家诺伯特·维纳(N.Wiener，1894～1964)创立的一门学科，1948年一本题为《Cybernetics》的书出版了，字典上查不到这个词．译为《控制论》的这本书不胫而走，控制理论由此诞生，作者诺伯特·维纳贡献给人们一个崭新的思想，他拓展了数学的新领域．

在目前快速发展的科学技术中，控制论科学正处在数学、计算机科学和工程学交叉学科的发展前沿，控制理论已把强有力的理论成果带到现代技术中，作为控制系统工程的理论基础，控制论正处在以自动化、计算机和机器人为代表的新技术革命的核心地位，控制理论的成果在美国Apollo登月计划实施中起着实质性的作用．

人类从诞生之日起，就开始逐步认识世界，并在获得认识的基础上利用和改造世界，以达到改善生活条件的目的，对于客观世界的改造就是一种“控制”，从观念上讲，控制可以描述为影响动态系统行为的过程，控制问题是基于可以利用的数据，去确定系统的输入，以达到设定的目的．

2.非标准分析

牛顿(Newton.I)时代的无穷小量，既不是0(可以用Δx去除)，却又等于0(最后忽略不计，Δx就消失了)，这套办法似乎有点像变魔术，马克思称略去Δx是“暴力镇压”，大主教贝克莱则称之为“逝去量的鬼魂”．围绕微积分的一场争论曾在18世纪激烈进行，并因此引起一场数学危机(后文将叙述)．19世纪，数学家柯西(Cauchy)着手使“无穷小分析”严格化，这就是著名的ε-Ν和ε-δ说法，但是人们抱怨微积分越来越难学．

1960年秋，事情有了转机，数理逻辑学家鲁宾孙(A.Robinson，1918～1974)指出，现代数理逻辑的概念和方法能为“无限小”和“无限大”作为“数”进入微积分提供合适的框架，1961年，鲁宾孙在荷兰阿姆斯特丹皇家科学院学报上发表文章，题为《非标准分析》，表明这一新数学分支已经呱呱坠地了．

鲁宾孙的基本思想是：无穷小既然不是一个“数”，即在实数系R中没有它的位置，那么我们是否能把实数系扩大，使之成为新的数系R，而微积分在R中实施时，能否保持当年牛顿—欧拉时代的直观和简便易行？鲁宾孙用数理逻辑中模型论的方法做到了这一点．在R^*中，每一通常实数是标准数，该通常实数的周围聚集许多“无限小”(非标准实数)，在R^*中没有阿基米得性质，即任取数α和β，不一定都能找到自然数n，使nα＞β，因为无穷小是大于0的非标准实数，它的任意整数倍仍是无穷小，不可能大于正标准数β．

这套数理逻辑的方法是相当繁琐的．许多数学家支持，也有数学家持怀疑态度，因为要弄懂它比搞清微积分概念要困难得多，但是，无穷小毕竟又重返数坛，成为逻辑上站得住脚的数学中的一员．这是令人高兴的，从哲学上看，也自有它的意义，否定之否定，微积分的基础又得到新发展，真是柳暗花明又一村．

3.突变理论

突变理论的创始人是菲尔兹奖获得者，法国数学家托姆(Rene Thom，1923～)，他于1968年开始陆续发表文章，论述“突变理论(Catastrophe Theory)，1972年，出版《构造稳定性和形态发生学》一书，一时风靡世界．托姆在该书中，用微分拓扑中的结论去解释胚胎生长的突变，物理光学中的突变化的现象，不少人认为托姆这本书可能给他们带来了福音．可以用突变理论解释的学科有：胚胎学、人性学、医学、生态学、地质学、光学、激波、船舶稳定，以至囚犯骚动、战争爆发、市场崩溃等，几乎无所不包．

英国齐曼(Erik Christopher Zeeman，1925～)教授称突变理论是“数学界的一次智力革命——微积分之后最重要的发现”．

齐曼认为：对于充满突变和跳跃的自然现象，如水突然沸腾，火山爆发，房屋倒塌，蝗虫急速繁殖，病人突然休克，由量变发展为质变等，乃是司空见惯的现象，但迄今为止，还没有一种数学理论能够从数量上给出一个模型，现在托姆居然做到了．

4.模糊数学

模糊数学的创始人是美国自动控制专家查德(L.A.Zadeh)教授．他的第一篇论文《模糊集合》(Fuzzy set)中，引入了“隶属函数”这个概念，来描述差异的中间过渡，这是精确性对模糊性的一种逼近，因而他首次成功地运用了数学方法描述模糊概念，这无疑是一个开创性的有意义的工作．

模糊数学是用数学方法研究和处理具有“模糊性”现象的数学．在日常生活中，常常遇到一些模糊概念，例如“高个子”、“清洁”、“污染”、美与丑，“有矿与无矿”、“冷与热”，等等，都是难以明确地划定界限的．

精确数学是建立在集合论的基础上的，但是随着科学的发展，过去那些与数学毫无关系或关系不大的学科如生物学、心理学、语言学及社会科学等，都迫切要求定量化和数学化，这就使人们遇到大量的模糊概念，这也正是这些学科本身的特点所决定的，模糊数学就是在这样的背景下诞生的．

模糊数学除了应用广泛外，还给数学的发展增添了新的活力，由此产生了许多新的数学分支，如模糊拓扑、模糊逻辑、模糊集合、模糊控制等．

虽然，模糊数学也曾遭到一些人的非议，但国际著名的应用数学家考夫曼(A.Kauffman)教授在访华时说：“他们攻击是毫无道理的，不必管人家说什么，我们努力去做就是”．

5.生物数学

生物数学(biomathematics)是一门介于生物学与数学之间的边缘学科．这门学科以数学方法研究和解决生物学问题，并对与生物学有关的数学方法进行理论研究．生物数学的分支学科较多，从生物学的应用划分，有数量分类学、数量遗传学、数量生态学、数量生理学和生物力学等．这些分支是数学与生物学不同领域相结合的产物，在生物学中有明确的研究范围．从研究使用的数学方法划分，生物数学又可以分为生物统计学、生物信息学、生物系统论、生物控制论和生物方程等分支．这些分支与前述不同，它们没有明确的生物研究对象，只研究那些涉及生物学应用有关的数学方法和理论．

生物数学具有完美的数学理论基础，包括集合论、概率论、统计数学、随机过程、对策论、微积分、微分方程、线性代数、矩阵论和拓扑学．还包括一些近代数学分支，如信息论、图论、控制论、系统论和模糊数学等．由于生命现象复杂，从生物学中提出的数学问题往往也十分复杂，需要进行大量的计算工作．因此，计算机是生物数学产生和发展的基础，是研究和解决生物学问题的重要工具．然而，不论数学内容多么丰富，计算机的地位多么重要，就整个学科而言生物数学需要解决和研究的本质方面是生物学问题，数学和计算机仅仅是解决问题的工具和手段．因此生物数学与其他生物边缘学科一样，通常被归属于生物学而不属于数学．

1.3.3关于数学体系结构

前已述及，数学有许多的分支，这并不是说数学理论的结构体系处于分割矛盾状态．其实，数学有自身的发展规律．这就是数学发展的相对独立性和数学体系结构的稳定性．即，数学的体系结构不会随社会经济的兴衰、政治体制的更替和国家的兴亡而发生重大改变，数学体系结构只受数学自身矛盾运动的作用和影响．

1.数学体系结构的整体性

数学体系结构的稳定性，首先表现在数学是一个有机的整体，其各分支之间，各分支与整体之间存在着相互作用、相互制约的关系，具体地说，有以下几点：

(1)数学的任何一门理论都是在其他理论的作用和影响中形成、发展起来的，事实上，数学从远古发展到现在，已形成数百个大大小小的分支理论，而且如前所述分支下仍然在不断地派生出新的分支．

数学的分支理论尽管如此之多，但它们并不是互相割裂、各自单科独进的，而是在思想方法上彼此相互渗透、相互借鉴．例如，数论是一门十分古老的数学分支理论，该理论主要研究整数的性质．最早的数论也称初等数论，其许多问题都是借助于初等代数和初等几何的方法解决的，如关于有理整数的整除性，定方程和同余式的初等理论等问题．微积分逐渐成为数论研究的工具，微积分使许多初等数论十分难解的问题得到了解决．如著名的勒让德猜想，在首项和公差互素的算术级数中存在无限多个素数，就是由德国数学家狄里克莱于1837年通过引进“狄里克莱(Dirichlet)函数”给出证明的．

运用微积分的理论和方法，数学家们还得出了许多重要的数论问题．例如著名的高斯(Gauss)猜想．

其中P(x)表示不超过实数x的素数的个数，就是微积分向数论渗透的产物．正是微积分的产生和向数论的渗透，开拓了数论研究的一个新领域——解析数论．

同样，代数学的发展把数论的研究对象从有理整数扩张到代数整数，由此开拓出代数数论这一新的数论研究领域．几何学的发展导致了几何数论的产生，几何数论研究的对象是“空间格点”，即直角坐标系中坐标全是整数的点．20世纪40年代，随着电子计算机科学的产生和应用数学的兴起，数论得到了新的更深入的发展．由此可见，数论的每一次重大进展，都离不开其他数学理论的影响和作用．

(2)数学的体系结构是有层次的，不同层次的数学理论之间在思想方法上也是相互渗透的．

数学的体系结构是在历史上逐渐形成和发展起来的，现今，数学体系结构已变得极其复杂，要想从逻辑角度对这众多的数学分支理论加以严格分类，几乎是不可能的，然而，如果我们从历史上看数学体系结构的形成和演变，不难发现数学的体系结构并不是杂乱无章的．而是有着鲜明的层次性，下面我们从不同的角度来加以分析．

1)从所研究的量及其关系上是否可变，我们可以把数学分为常量数学和变量数学两个不同的层次．

2)从所研究的现象在量及其关系上是否有必然性因果联系，我们可以把数学分为必然数学和或然数学两个不同的层次．

3)从所研究的对象在量及其关系是否有分明的界限，我们可以把数学分为明晰数学和模糊数学两个不同的层次．

4)从数学理论在社会实践中应用的程度不同，我们可以把数学分为纯粹数学和应用数学两个不同的层次．

5)从数学理论的形式化程度不同，我们可以把数学分为非形式化和形式化两个不同的层次．

上述关于数学的层次性考察了其体系结构，这种层次性反映了数学发展的阶段性，即数学体系结构的形成和演化是有一定规律的．

(3)在数学中，不仅使用着相同的逻辑工具，而且存在着不同理论和概念的亲缘关系，存在着具有统一性的各种理论．

数学体系结构的整体性，还表现在数学知识的统一性上，这种统一性在近代数学、现代数学发展中表现得尤为明显．正是这种统一性的存在，使得从19世纪开始相继出现了好几种具有统一性的理论、观点和方法．例如，1872年，德国数学家克莱因(F.Klein)提出著名的“爱尔兰根纲领”，用变换群的观点作为几何分类的基础．依照这种观点，在每一种几何学里，主要研究在相应的变换下的不变性和不变量．如欧氏几何学是研究图形在运动变换下的不变性(结合性、平行性和直交性)和不变量(角度和距离)；射影几何是研究图形在射影变换下的不变性(结合性)和不变量(交比)，等等．将几何学与变换群联系起来，用群论的观点来统一几何学，促进了几何学的整体化发展．

1874年，德国哈勒大学教授康托尔(G.Cantor)创立集合论，随着集合论的发展和向数学各分支学科的全面渗透，集合论已成为全部数学的基础．也就是说，各种不同数学概念都可以用“集合”概念定义出来，各种复杂的数学理论都可以借助集合论的思想方法建立起来．现代数学几乎所有的分支理论都用到集合的概念、原理和方法．

希尔伯特(D.Hilbert)在1900年巴黎国际数学家大会上所作的《数学问题》的报告中，曾经强调指出：“数学理论越是向前发展，它的结构就变得越加调和一致，并且，这门科学一向相隔绝的分支之间也会显露出原先意想不到的关系．因此，随着数学的发展，它的有机的特性不会丧失，只会更清楚地呈现出来．”希尔伯特本人曾致力于数学统一性的研究，他倡导的公理化运动，就是旨在以合理系统作为数学的统一基础．

20世纪30年代，法国的布尔巴基学派，在公理化思想的基础上，又提出了结构的观点，用以统一数学的思想方法．这个学派把数学看成是关于结构的科学，认为最普遍、最基本的数学结构有三类：代数结构、序结构和拓扑结构，并把这三类结构称为母结构．在他们看来，整个数学大厦就是以这些结构为基础建立起来的．

1948年，美国的麦克伦(S.McClen)和波兰的爱伦伯克(A.Lunвок)提出了范畴和函子理论，以此作为统一数学的基础．

后来，还出现了一些“整体性”的数学分支学科，这些数学理论从整体、大范围入手研究现实世界中的量及其关系，从系统综合的角度研究各种复杂的问题．如整体微分几何、大范围分析，就是这样的一类理论，可以预料，随着现代数学的发展，还将出现一些体现数学统一性的新理论、新观点．

2.数学知识增长的连续性

数学体系结构的稳定性，还表现在数学知识增长是一个持续不断的过程，这个过程不会因社会生产的破坏，社会经济的崩溃而中断．同时，数学知识一经产生出来，可以被任何阶级，任何时代的人所利用．其实，任何自然科学理论的发展都具有前后继承性的，只是数学表现得最为突出．数学知识增长的连续性特征，可以从以下三个方面看出．

(1)数学发展的每一步都是以已有的知识作为前提实现的

数学发展的继承性主要有以下几个方面的内容．

第一，继承数学理论．数学理论是在总结和概括已有数学成果的基础上所形成的系统性知识，数学理论具有高度的逻辑严谨性和可靠性，数学向前发展的时候，产生出的新理论总是把先前相关的理论加以精确化、补充和推广．就欧氏几何、仿射几何和射影几何而言，后两者是在前者的基础上产生的，即有：射影几何＜仿射几何＜欧氏几何．

第二，继承数学方法．和数学理论一样，数学方法也是在历史上形成和发展起来的．任何一种数学方法都不是凭空产生的，都有其特定的科学背景和数学背景，而且作为一种数学方法一旦被确立下来，就会被后人反复使用，并且加以补充、丰富和推广．公理法产生和演变的历史就充分地说明了这一点．

第三，继承数学问题．数学问题是数学中的一种疑难和矛盾，数学问题的产生和解决是推动数学发展的重要力量．数学问题也是历史的产物，每个时代都会产生出大量而重要的数学问题，这些问题有的被同代人所解决，有的要留给后代人去解决．历史表明，许多重大的数学问题都是在产生之后，经过几代人的努力才得以解决的．如“欧氏第五公设问题”历经两千多年，“五次以上代数方程的公式解问题”历经三百多年才找到正确答案．

总之，无论何人，若不从已有的数学成果出发，不从前人的工作中吸取必要的思想和方法，要有所发现是根本不可能的．

(2)数学的发展是一个不断创新和突破的过程

数学知识连续地增长，还表现为数学的发展是一个充满创新和不断突破的过程．如果只有继承而无创新，那么数学就不能出现新的理论和方法，也不能不断解决各个时代提出的问题，数学知识的连续增长也就无从谈起．创新是指新的发现和发明，是给数学的知识体系添加前所未有的新东西．突破则是指那些具有重大意义的创新，突破往往能够引起数学思想方法以及整个数学知识体系的变革．

数学创新的内容是丰富多样的，总的看来，主要有以下几种情况：

第一，提出新概念．概念是科学成果的一种重要形式，是形成科学原理和理论的重要基础．各门科学都有自己特定的概念．数学也是如此．数学理论的体系就是由概念，以及由概念组成的定理和法则等构成的．在数学中，每当产生一个新的重要概念都会使数学获得重大进展，有些甚至引起数学思想方法的重大变革．例如，无理数、四元数、微积分等，都曾在历史上引起过数学思想方法的变革．

第二，建立新理论．任何数学理论都有自己的适用范围，超过这个范围就可能导致谬误．因此，每当发现新的数学矛盾而原有的数学理论又不能解释时，就会产生出新的理论以适应数学发展的需要．这种新的数学理论一旦遇到自身不能解决的问题，更新的数学理论仍会代之而起．从几何学的历史演变可以清楚地看到这一点．

第三，创造新方法．数学的各种方法作为历史的产物，也各有其应用的局限性．对于某一个数学问题，当已有的各种方法不能凑效时，就有必要创造新的方法，以使问题得以解决．

继承和创新是数学知识连续增长的内在根据，两者有辩证统一的关系．继承是创新的基础和前提，创新是继承的目的和发展，现在的创新又将被后人所继承．“继承—创新—再继承—再创新”，这是数学发展的一条客观规律，也是数学发展相对独立性的一种重要表现．

(3)数学探索是人类对客观世界量的认识永无止境的深化过程

现实世界的量及其关系是无限多样的，这种无限多样性决定了数学探索将是一个永无止境的认识过程．这是数学知识连续增长的现实基础．

数学探索是人类对客观世界量的性质和关系的认识不断深化的过程，在这个过程中，不存在至善至美的终极理论和至高无上的权威．也就是说，在数学中，任何已有的理论都有其特定的适用范围，超过这个范围就有可能走向谬误．因此，数学探索不存在什么偶像，任何人为制造的偶像都是虚设的，站不住脚的．在数学发展历史上，几乎每个时代都有人试图把某种理论奉为终极的真理或作为绝对权威顶礼膜拜．然而，历史又总是一次又一次无情地将这些偶像推翻．

例如，在19世纪以前，人们一直把欧几里得几何奉为神明；把欧氏几何看做宇宙惟一的可能的几何，并且认为欧氏几何的公理是牢不可破、不可变动的．16世纪意大利数学家卡当说：“欧几里得的原理无懈可击，它的真理性是至善至美的”，欧氏几何学的绝对权威一直统治数学界长达两千多年．可是，19世纪20年代非欧几何的发现却表明，欧氏几何学只是多种几何学中的一种，与所有其他几何学一样，只有相对的真理性，只适用于描述宏观世界空间的几何属性，超过这个范围就会显示某种不精确性．这告诉我们，数学探索作为人类认识活动的一种，是一个相对真理走向绝对真理的无限过程，超出已有的理论框架，创立新的理论，是数学探索始终如一的任务，这也是不以人的意志为转移的客观规律．