§11.2 分形几何学

11.2.1 欧几里得几何的局限性

自公元前3世纪欧几里得几何基本形成至今已有2000多年．欧几里得几何的重要性可以从人类的文明史中得到证明．欧几里得几何主要是基于中小尺度上，点、线、面之间的关系．这种观念与特定时期人类的实践、认识水平是相适应的，数学的发展历史告诉我们，有什么样的认识水平就有什么样的几何学．当人们全神贯注于机械运动时，头脑中的图像多是一些圆锥曲线、线段组合，受认识主、客体的限制，欧几里得几何具有很强的“人为”特征．这样说并非要否定欧几里得几何的辉煌历史，只是我们应当认识到欧几里得几何是人们认识、把握客观世界的一种工具，但不是惟一的工具．

进入20世纪以后，科学的发展极为迅速．特别是第二次世界大战后，大量的新理论、新技术以及新的研究领域不断涌现，同以往相比，人们对物质世界以及人类社会的看法有了很大的不同．其结果是，有些研究对象已经很难用欧几里得几何来描述了，如对植物形态的描述，对晶体裂痕的研究，等等．

11.2.2 分形几何的产生

数学家在深入研究数学时讨论了一类很特殊的集合(图形)，如Cantor集、Peano曲线、Koch曲线等，这些在连续观念下的“病态”集合往往是以反例的形式出现在不同的场合．当时它们多被用于讨论定理条件的强弱性，其更深一层意义并没有被大多数人所认识．

1973年，曼德勃罗(B.B.Mandelbrot)在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想．1975年，Mandelbrot在其《自然界中的分形几何》一书中引入了分形(fractal)这一概念．从字面意义上讲，fractal是碎块、碎片的意思，然而这并不能概括Mandelbrot的分形概念，尽管目前还没有一个让各方都满意的分形定义，但在数学上大家都认为分形有以下几个特点：

(1)分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说分形集具有无限精细的结构；

(2)分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似；

(3)一般，分形集的“分形维数”，严格大于分形集相应的拓扑维数；

(4)在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生等．

上述(1)、(2)两项说明分形在结构上的内在规律性．自相似性是分形的灵魂，自相似性使得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息．第(3)项说明了分形的复杂性．第(4)项则说明了分形的生成机制．Koch曲线处处连续，但处处不可导，其长度为无穷大，以欧几里得几何学的眼光来看，这种曲线是病态的，是被打入另类的，从逼近过程中每一条曲线的形态可以看出分形四条性质的种种表现．以分形的观念来考察前面提到的“病态”曲线，可以看出它们不过是各种分形．

实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明．对分形的定义也可以同样地处理．

11.2.3 分形几何与传统几何的比较

我们把传统几何的代表欧几里得几何与以分形为研究对象的分形几何作一比较，可以得到这样的结论：欧几里得几何是建立在公理之上的逻辑体系．其研究的是在旋转、平移、对称变换下各种不变的量，如角度、长度、面积、体积，其适用范围主要是人造的物体．而分形从根本上讲反映了自然界中某些规律性的东西，以植物为例，植物的生长是植物细胞按一定的遗传规律不断发育、分裂的过程，这种按规律分裂的过程可以近似地看做是递归、迭代过程，这与分形的产生极为相似．在此意义上，人们可以认为一种植物对应一个迭代函数系统，人们甚至可以通过改变该系统中的某些参数来模拟植物的变异过程．

分形几何还被用于海岸线的描绘及海图制作、地震预报、图像编码理论、信号处理等领域，并在这些领域内取得了令人瞩目的成绩．作为多个学科的交叉，分形几何对以往欧几里得几何不屑一顾(或者说是无能为力)的“病态”曲线的全新解释是人类认识客体不断开拓的必然结果．当前，人们迫切需要一种能够更好地研究、描述各种复杂自然曲线的几何学，而分形几何恰好可以堪当此用．所以说，分形几何也就是自然几何，以分形或分形的组合的眼光来看待周围的物质世界就是自然几何观．

由此可见，为什么要研究分形？首先，分形形态是自然界普遍存在的，研究分形，是探讨自然界的复杂事物的客观规律及其内在联系的需要，分形提供了新的概念和方法．其次，分形具有广阔的应用前景，在分形的发展过程中，许多传统的科学难题，由于分形的引入而取得显著进展．

分形作为一种新的概念和方法，正在许多领域开展应用探索．20世纪80年代初国外开始的“分形热”经久不息．美国著名物理学家惠勒说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人．

11.2.4 关于曼德勃罗

曼德勃罗(Mandelbrot)毕业于巴黎工学院，获得理科硕士学位，后在巴黎大学获得数学博士学位．他是一个爱思索“旁门左道”问题的人，擅长形象地图解问题，博学多才．1973年他在法兰西学院讲课期间提出了分形几何的思路，1975年当Bill.Gates与GB创业时，他提出了分形(fractal)术语，1983年出版《自然界的分形几何》，分形概念迅速传遍全球．

据曼德勃罗教授自己说，fractal一词是1975年夏天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的．这个词源于拉丁文形容词fractus，对应的拉丁文动词是frangere(“破碎”、“产生无规则碎片”)．此外与英文的fraction(“碎片”、“分数”)及fragment(“碎片”)具有相同的词根．20世纪70年代中期以前，曼德勃罗一直使用英文fractional一词来表示他的分形思想．因此，取拉丁词之头，撷英文之尾的fractal，本意是不规则的、破碎的、分数的．曼德勃罗是想用这个词来描述自然界中传统欧几里得几何学所不能描述的一大类复杂无规则的几何对象．例如，弯弯曲曲的海岸线，起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花缭乱的满天繁星等．它们的特点是，极不规则或极不光滑．直观而粗略地说，这些对象都是分形．