§7.2 数学悖论

悖论一词来源于哲学和逻辑学．意指一种自相矛盾的论述．中国古代关于“矛盾”的故事是对悖论的最通俗的解释．

数学中的悖论内容广泛，包括自相矛盾的陈述，对广泛认同的事实的误解和反驳，形似正确的错误命题和形似错误的正确命题等．

悖论实际上蕴含着真理．不过悖论是真理的倒置．当人们把悖论倒过来的时候，或者把悖论解释清楚之后，便会获得认识上的飞跃．

数学中的悖论极具魅力．常常使人流连忘返，乐在其中．又常常令人焦躁不安，欲罢不能．

下面给出历史上的一些重要悖论．供读者欣赏．

1.芝诺悖论

第3章已叙述，芝诺悖论除了涉及空间和时间的概念外，还与无限问题有密切联系．这表明当时人们对无限的认识是缺乏严密逻辑基础的．因此，芝诺悖论的提出也影响了数学的发展．

2.理发师悖论

数学中最著名的悖论是罗素(B.Russell，1872～1970)于1902年提出的．这位英国近代哲学家和数学家对新创立的集合论发动了猖狂的进攻，使整个数学界极为震惊，让逻辑学家们不知所措．悖论是这样叙述的：

一理发师宣称：他给所有自己不刮脸的人刮脸，而不给自己刮脸的人刮脸．

一智者问：理发师先生，你是否应该为自己刮脸呢？

理发师无言以答．假如他给自己刮脸，就与他宣称的“不给自己刮脸的人刮脸”相矛盾．假如他不给自己刮脸，根据他的原则，他就应该给自己刮脸，也产生了矛盾．

高明的罗素让当时所有信赖集合论的数学家掉进了陷阱，他真正的悖论是针对集合定义的．什么是集合，集合论者给出了明确的定义：

把一些确定的可以区别的事物看做一个整体，这个整体就是集合．罗素对集合论者的定义针锋相对地制造了一个集合

A={z z∈Z}

即集合A是由那些不属于自身的那些集合所构成的集合，换言之，对任一集合Z，如果z∈Z，z就是A的元素；反之，如果z∈A，则z∈Z.

现在的问题是A是否属于A呢？

如果A是A的元素，应该有A∈A；如果A不是A的元素，按A的定义，A应该属于A，得到不可调和的矛盾．罗素制造的集合A，让集合的定义者们出了一身冷汗．不知如何是好．

这个悖论的通俗解释就是理发师的那个宣言．

罗素的悖论从根本上动摇了康托的集合论体系．使数理逻辑学家不得不创造新的公理化体系；再也不敢对集合作严格的定义．只好把“集合”当做不定义的“原始项”，如平面几何中把点、直线和平面当做不加定义的原始项一样．这种做法是合理的．用甲、乙、丙去理解丁，……那么用什么解释最先的一个事物甲呢？最好的办法是对于甲不作任何解释，否则就会出现循环．

3.说谎悖论

公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如下断言：“所有的克里特岛人所说的每一句话都是谎话．”

试问这句话是真话还是假话？如果这句话是真的，由于伊壁门尼德斯本人也是克里特岛人，从而可以推出这句话假．因而由这句话为真可以导致这句话为假．反之由这句话为假并不导致任何矛盾．但是经过公元4世纪欧几里得的改进，就变成了悖论．说谎者悖论：“我现在所说的是假话．”

如果这句话为真，则可以推出这句话为假．反之，由这句话的假，可以导致这句话为真．

4.康托悖论

康托是集合论的创始人，集合论逐渐成为现代数学的基石．但是康托在1899年却发现了如下的矛盾，该矛盾被称为康托悖论．

设集合M是所有集合的集合．试问，集合的基数与集合M的幂P(M)的基数哪个大？

根据康托定理：任何集合A的基数皆小于其幂集P(A)的基数．故可以推得

另一方面，由于P(M)是M的幂集，可知P(M)的任一元素X都是M的子集．即x是集合．从而x∈M(因M是所有集合的集合)．又可以推得P(M)∈M．即P(M)是M的子集．从而又有

根据集合论的Bernstein定理，式(7-1)、式(7-2)两式不能同时成立．

5.理查德悖论

1905年，理查德(Richard)提出下面的悖论：

“不可用少于100个字而定义的最小自然数”实际上可由本语句在100个字内定义．这是一个矛盾．

这个悖论实际上是希腊的克里特岛说谎者悖论的发展．

6.毕达哥拉斯悖论

古希腊时期，毕达哥拉斯学派认为宇宙中一切现象都可以归纳为整数与整数之比，所谓“万物皆数”，后来该学派发现了毕达哥拉斯定理，由此而产生了毕达哥拉斯悖论，该悖论说：

设两直角边为1的直角三角形的斜边长为是既约整数，则p，q至少有一个是奇数，按照毕达哥拉斯定理，，从而p²=2q²，p必为偶数，设p=2r，则4r²=2q²，q²=2r²，q必为偶数．

这一悖论是由于认为线段长总是有理数这一错误而产生的，当人们的认识从有理数域扩展为实数域后，这一悖论自然消失．该悖论正是是无理数的证明．

7.伽利略悖论

伽利略指出，在正整数与它们平方之间可以建立一一对应n＜＜n²，n=1，2，…，这样一来，整体和部分相等了．这与传统的认识“整体大于部分”相矛盾，我们知道整体大于部分是有限集的特征．对于无限集来说，其特征是“整体可以和部分相等．”因为无限集就是能和自己的某一子集基数相等的集合．随着集合论的出现，伽利略悖论也就不是悖论了．

集合论悖论对于数学家们的震动是巨大的．由于集合论成为现代数学的基础，因此集合论悖论的威胁不只局限于集合论，而遍及整个数学甚至还包含逻辑．这就不得不使希尔伯特感叹道：“必须承认，在这些悖论面前，我们目前所处的情况是不能长久忍受下去的．试想，在数学这个号称可靠性和真理性的典范里，每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果，如果甚至数学思考也失灵，那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢？”

著名数学家外尔(C.H.H.Wey)曾说：“数学的最后基础和终极意义仍旧没有解决，我们不知道沿着哪一个方向去寻找最后的解答．甚至也不知道我们是否能够找到一个最后的客观的回答．”

著名逻辑学家兼数学家弗雷格在即将完成他的巨著《算术的基本原则》第二卷时，他接到罗素的一封信，信中把集合论的悖论告诉了他．弗雷格在第二卷的末尾说：“一个科学家不会碰到比这更难堪的事情了．即在工作完成的时候，它的基础坍塌了．当这部著作只等付印时，罗素先生的一封信就使我处于了这种境地．”现在人们把集合论悖论的出现和引起的争论称为数学史上第三次危机．