§6.2 哥德巴赫猜想

我国著名的数学家陈景润证明了哥德巴赫猜想的“1+2”，在摘取皇冠上的明珠的征途上迈出了重要一步．这一纪录至今仍然还在国际数学界居于领先地位.国人都为此而荣耀．许多人也想知道，什么是哥德巴赫猜想．

6.2.1 哥德巴赫猜想

1.哥德巴赫(Goldbarh Ch，1690～1764)，德国数学家，出生于格奥尼格斯另尔格(现为加里宁城)．本学法学，由于在访问欧洲各国期间结识了贝努利家族，因而对数学研究产生了兴趣．1725年到俄国，同年被选为彼得堡科学院院士.1725～1740年担任该院的会议秘书职务．1742年移居莫斯科，并在外交部任职．

2.哥德巴赫猜想：1729～1764年，哥德巴赫与大数学家欧拉(Euler)保持过长期的书信来往．在数学方面的许多问题，就是通过这些书信进行讨论的．1742年6月7日，作为普鲁士公使派遣驻俄罗斯的哥德巴赫在给欧拉的信中，提出了关于正整数与素数之间关系的两个推测，用现在的确切的说法就是：

(1)每一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和．(2)每一个不小于9的奇数都是三个奇素数之和．

这就是著名的哥德巴赫猜想．一般把猜想(1)作为“关于偶数的哥德巴赫猜想”，把猜想(2)作为“关于奇数的哥德巴赫猜想”．由于2n+1=2(n－1)+3，所以，从猜想(1)的正确性可以推出猜想(2)的正确性．欧拉虽然没有能够证明这两个猜想，但是对于其正确性是深信不疑的．1742年6月30日，在给哥德巴赫的一封信中，欧拉写道：“我认为，这是一个肯定的定理，尽管我还不能证明出来．”

3.几个例子，为了能直观的理解哥德巴赫猜想，这里举几个例子，即

6=3+38=3+510=3+712=5+714=3+11=7+7

16=3+13=5+1118=5+13=7+1120=3+17=11+13．

6.2.2 关于哥德巴赫猜想的研究

哥德巴赫猜想提出到今天已有260多年了，可是至今还不能最后肯定其真伪．人们积累了许多的数值资料，都表明这两个猜想是合理的．这种合理以及猜想本身所具有的极其简单明确的形式，使人们和欧拉一样，也不由得不相信哥德巴赫猜想是正确的．因而二百多年来，这两个猜想一直吸引了许许多多的数学家和数学爱好者们的注意和兴趣，并为此作出了艰巨的努力．

从提出哥德巴赫猜想到19世纪结束这160年中，虽然许多数学家对哥德巴赫猜想进行了研究，但并没有得到实质性的结果和提出有效的研究方法．这些研究大多是对猜想进行数值的验证，提出一些简单的关系式，或者一些新的推测．数学家们还想不出如何着手对这两个猜想进行哪怕是有条件的极初步的有意义的探讨．难怪在1900年，在巴黎召开的第二届国际数学家大会上，德国数学家希尔伯特在其展望20世纪数学发展前景的著名演讲中，提出的他以为23个最重要的没有解决的数学问题，作为今后数学研究的重要方向，并期待在新一个世纪里数学家们能够解决这些问题.哥德巴赫猜想就是希尔伯特所提出的第8个问题．

但是，在此以后的一段时间里，对于哥德巴赫猜想的研究并未取得什么进展.1912年，德国数学家朗道在英国剑桥召开的第五届国际数学家大会上十分悲观地说：“即使要证明下面较弱的命题(3)，也是当代数学家所力不能及的．”

(3)存在一个正整数k，使每一个≥2的整数都不超过k个素数之和．

1921年，英国数学家哈代(G.H.Hardy)在哥本哈根数学会作的一次演讲中认为：哥德巴赫猜想可能是没有解决的数学问题中的最困难的一个．

就在一些著名数学家作出悲观预言和感到无能为力的时候，他们没有料到，或者没有意识到，对于哥德巴赫猜想的研究正在开始从几个不同方向取得了为以后证明是重大的突破．这就是1920年前后，英国数学家哈代和印度数学家Ramanujan所提出的“圆法”，1920年前后，挪威数学家Brun所提出的“筛法”以及1930年前后苏联数学家什尼列尔曼所提出的“密率”.在不到50年时间里，沿着这几个方向对哥德巴赫猜想的研究取得了十分惊人的成果，同时也有力的推进了数论和其他一些数学分支的发展.

迄今为止，得到的最好结果是：

(1)1937年维诺格拉多夫(Bhhoppaiobh·M)证明了：每一个充分大的奇数都是三个奇素数之和，任何一个偶数可以用不多于四个素数的和表示．

这个结果基本上证明了猜想(2)是正确的．至所以说是“基本上”是因为后来巴雷德金计算过，当奇数N＞e^e16.038时，就能表示为三个奇素数之和．这就是说，除有限个奇数外，命题(2)都成立．但那个数太大了，是一个比10⁴⁰⁰还要大的数．而对如此大的数字我们根本没有可能来一一验证对所有小于N的每一个奇数来说，猜想(2)是否成立．

尽管如此，现在人们说到哥德巴赫猜想时，总是只指猜想(1)，即关于偶数的哥德巴赫猜想．

(2)1966年，我国数学家陈景润通过对筛法作改进，证明了“每一个充分大的偶数都可以表为一个素数与一个不超过两个素数的乘积之和，即偶数=1+2，这是一个十分杰出的成就．

从1966年陈景润宣布他的证明到今天已经过了40多个年头了，应当说在这个时期中，对于哥德巴赫猜想的研究没有重大的实质性的进展．事情往往是如此，对于研究一个问题来说，完成这最后的一步所要克服的困难可能并不比我们已经走过的道路容易，我们还不能预测哥德巴赫猜想可能解决的最后日程．

1966年我国数学家陈景润证明了1+2，作出蜚声中外创纪录的贡献．国际数学界称为陈氏定理．其证明属解析数论范畴，推理深邃，篇幅浩繁．1978年，潘水洞教授、丁夏畦研究员和王元研究员又证明了均值定理，对1+2的证明作了进一步简化，研究工作还在继续进行.