§4.2 黄金分割(黄金比，黄金数)

早在两千多年前，欧几里得就在《几何原本》里提出了“中外比”的几何作图问题，而卡勒说：“几何学有两大宝藏，其一为毕达哥拉斯定理，其二为将一线段分成外内比.前者如黄金，后者如珍珠．”

外内比线段：如图4-3所示，将线段分为两段，使其中较短线段与较长线段的比等于较

长线段与整个线段的比．

图4-3

为了能够用尺规作出该点，人们往往是先求出它的代数表达式，为简便计，设所给的AB的长为1，且设C为所求的分点，同时设AC=x，则CB=1－x依题意有：解出，另一根(舍去)．

注意到，上述长段与短段之比值，恰为斐氏数列后项与前项比的极限值，(这是Simson在1753年首先发现的).此数称为黄金比(golden ratio)、黄金分割(golden proportion)或黄金数(golden number).一线段中使长段与短段之比为黄金比的那一点，称为该线段的黄金分割(golden section)点．有时，人们对黄金比、黄金数、黄金分割不加区别，而实际意义的黄金数指：的比.此时，正好是的倒数.

1.黄金分割的几何作图

设有线段AB，过B作AB之垂线，并取C点，使，连接A，C，以C点为圆心，以CB为半径画弧，交AC于E点，再以A为圆心，AE为半径，画弧交AB于D点，则D点即为AB之黄金分割点，如图4-4所示．

2.黄金长方形之作图

首先，作长方形ABCD，取DC中点E，以E为圆心，BE为半径画弧交DC之延长线于G点(见图4-5)，过G作DG之垂线，交AB之延长线于H，则AHGD为所求．

数学上认为黄金长方形为一极美的图形.在数学、艺术、建筑、自然界，甚至广告等方面，处处可以见到黄金长方形．心理学家曾做过实验，证实黄金长方形是让人看起来最顺眼且最舒服的一种长方形.一般窗户的高与宽，矩形画面，照片，书籍等长与宽之比大多接近黄金分割比.黄金长方形中截去以短边为边长的正方形，那么余下的长方形与原长方形相似，也是黄金长方形.

图4-4

图4-5

3.黄金三角形

称底腰之比为0.618的三角形为黄金三角形.

即(这样的三角形必顶角、底角分别为72°，36°)

命题4.1如图4-6所示，黄金三角形中截去以腰为底的等腰三角形，余下的以底为腰的△DBC为黄金三角形．

取AB上的D点设AD=BC(底)，从黄金三角形定义可知△ABC为等腰三角形.于是△BCD是黄金三角形.

命题4.2黄金三角形中以底为腰截去一小等腰三角形，使得与原来等腰三角形的面积之比为0.618，则余下部分为等腰三角形．

4.五角星与黄金比

其实，如图4-7所示.毕达哥拉斯学派的学者们早已发现了五角星中蕴藏着许多中外比

或许出于不解，或许出于新奇，毕达哥拉斯学派居然用五角星作为他们的徽标.同时在五角星五个顶点上标着ν，γ，ι，ει'，α，它们恰好组成希腊文中的“健康”一词(νγιει'α)，如图4-8所示．

图4-6

正五角星中还隐藏着两种特殊的等腰三角形.一种顶角为36°，如△ABC；一种是底角为36°；如△AGD，毕达哥拉斯学派称之为“黄金三角形”.

5.黄金数趣谈

(1)优选法与黄金分割

美国人吉弗(Kiefer·J，美国全国科学院院士，1980年曾来我国讲学)于1953年提出了一种多、快、好的科学试验方法——优选法.因此优选法也叫快速优选法.20世纪70年代，经过已故华罗庚教授的倡导和推广，在我国优选法的应用取得了巨大的成功.

所谓优选法，就是用最快的速度把最优的方案选出来.优选法被广泛运用于科学实验，工业生产以及日常生活中．在实际操作中，常用“折纸法”来安排实验，同时还要用到黄金分割数0.618，因而“优选法”又被称为“黄金分割法”．

图4-7

图4-8

下面举例说明优选法的操作方法：

设某工厂为配制某种合金淬火用水溶液，应该放入多少氢氟酸才能达到最好的效果？为此，需在1～100mL间比较选择.可以离散地从1mL起每次实验增加1mL，做101次实验，比较结果，筛选出最优方案.能否少做一些实验？能否兼顾到在两离散数之间可能存在的最优方案？

下面采用黄金分割法，如图4-9所示，AB长表示100mL，在其中取D，C两点为黄金分割点，使得AC∶AB=DB∶AB=0.618．

图4-9

做两次实验：(100－61.8)=38.2(mL，D)，61.8(mL，C).比较两者得到较优效果，不妨说D为优，则最优就肯定在CA之间，即61.8～100mL之间不可能出现最优方案，如果C为优，作类似的处理.

再做两次实验：在AC之间取两黄金分割点，其中一个是E，另一个就是D(由黄金数性质).取相应毫升数做实验，评比谁较优.不妨说就是E最优，就舍去DC间毫升数.再在AD间求两个黄金分割点.择优依次类推，就可以得到一个含所需精度的最优答案——在0～100mL区间，取多少氢氟酸使结果为最优.

(2)用纸折出黄金分割点

如图4-10所示，取一张正方形纸片ABCD先折出BC的中点E，然后折出直线AE.再通过折叠使得EB落到直线EA上，折出点B的新位置G，因而EG=EB．

类似地，在AB上折出点X，使得AX=AG.这时点X就是AB的黄金分割点．

(3)小康型购物公式

吴振奎先生曾以黄金数0.618为尺度，提出了一个“小康型购物公式”，如图4-11所示．

小康型消费价格=0.618×(高档消费价格－低档消费价格)+低档消费价格．

这就是说，在选购商品时，消费者可以根据自己的财力状况，若认为高档价格过于昂贵，而低档价格的商品又不尽人意，则消费者可以选购价格为上面公式所给出的档价的商品——该价格中等偏上.堪称得上“小康”水准.

图4-10

图4-11

举例来说：若消费者需要购买一台手提电脑，据调查，得知高档价格在12 800元左右，低档价格在2 800元左右，那么消费者的小康消费水准为

(128 000－2 800)×0.618+2 800=8 980元

换句话说，价格为9 000元左右为宜.这正是大多数电脑爱好者喜欢且接受的档次．

上述公式对指导商品生产等也有实际价值．

(4)黄金分割与美学

黄金分割，顾名思义，当有着黄金一样的价值，人们喜欢黄金分割．

所谓“黄金比”，即具有黄金一样宝贵的性质，事实上，黄金分割的确与众不同，黄金分割在艺术上和建筑上都非常有用.无论是古埃及的金字塔，古希腊的巴特农神庙，还是巴黎圣母院，印度泰姬陵，以至于近代法国的埃菲尔铁塔，加拿大多伦多电视发射塔，都有不少与黄金比有关的数据.人们发现，这种比例用于建筑上，可以除去人们视觉上的凌乱.加强建筑形体上的美感．

达·芬奇还把黄金分割引入了绘画艺术之中.其名画《蒙娜丽莎》就是按黄金矩形来构图的．

不少著名乐章高潮在全曲的0.618处.一幅画挂在墙上的高度，离地面是画高的0.618处让人看起来很舒服.在艺术舞台上，一位有经验的节目主持人，报幕时所站的位置，大约在离左边或右边的多一点的地方.这样观众在视觉上感到演员自然大方.在听觉上感到音响效果比较好.用数学的观点来解释，就是主持人站的位置正好符合黄金分割的法则．

芭蕾舞演员之所以用脚尖跳舞，就是因为这样能使观众感到演员的腿长与身高的比例更加符合黄金分割的法则.舞姿显得更加优美．

有趣的是，人体中有着许多的黄金分割的例子：如：人的肚脐是人体长的黄金分割点，而膝盖又是人体肚脐以下部分体长的黄金分割点．

德国天文学家研究植物叶序问题(即叶子在茎上的排列顺序)时发现，叶子在茎上的排列也遵循着黄金比．

比如三叶轮状排布的植物，其两叶在茎垂直平面上投影的夹角是137°28'，这种角度恰好把圆分成1∶0.618…时两半径的夹角．

科学家们研究发现叶子的这种排列对于植物通风、采光都是最佳的(正因为如此，建筑学家们仿照植物叶子在茎上的排列方式设计，建造了新式仿生房屋.不仅外形新颖、别致、美观大方，同时还有优良的通风、采光性能)．

(5)军事上也有黄金分割数——是巧合还是必然

前面我们罗列了黄金数——美丽的数．上述所罗列的事例还仅仅是沧海一粟，因此在人们眼里，黄金数总是与美联系在一起的.难怪有人称，黄金数具有黄金一样的价值．然而，任何事物都有两面.黄金数也不例外，在血与火的战场上，黄金数却给战争之神披上了神秘的面纱．

读点战史人们会发现，在战争中，攻击方选择主要攻击点大多在整个战线的黄金分割点上.马其顿帝国的亚历山大与波斯帝国大流亡的阿贝拉之战，亚历山大把他的攻击点选在了军队的左翼中央结合部，这个部位恰好是整个战线的“黄金分割点”．

1942年6月开始的前苏联卫国战争的转折点——斯大林格勒战役，不早不晚，正好发生在战争爆发后的第17个月.正是德军由盛转衰的26个月时间轴上的“黄金分割点”上．更有趣的是海湾战争中，美国在发动地面战之前摧毁了伊军4 280辆坦克中的38%，2 280辆装甲车的32%，3100门火炮中的47%，这时伊军的实力已经下降至60%左右，接近黄金数，这正是军队丧失战斗力的临界点．